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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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図形の性質|角の二等分線と比について

数学A 図形の性質 数学A

今回から新しい単元になります。数Aの「図形の性質」という単元です。数学1・A全般に言えることですが、この単元も中学での履修内容がベースになっています。

もちろん新しい定理や公式が出てくるのですが、その導出ではこれまでに学習した図形の性質を利用します。復習もかねて導出の過程をしっかり熟読しましょう。その際には、中学の教科書も参照しながら学習すると良いでしょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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角の二等分線と比

角の二等分線と比の関係については、既に中学で学習しています。三角形の面積比を求めるときに利用しました。

なぜ面積比に利用できるのかを知らずに暗記した人もいるかもしれませんが、なぜ利用できるのかをこの単元で理解しましょう。

また、角の二等分線と比の関係だけでなく、この単元では内分や外分などの新しい用語についても学習します。これらとのつながりもしっかりと理解しましょう。

ここで学習する用語は以下のようなものがあります。

  • 内分
  • 外分
  • 三角形の内角の二等分線と比
  • 三角形の外角の二等分線と比

線分の内分

内分とは、線分上にある点で線分を分けることです。一般に「線分ABについて、$AP:BP = m:n$ が成り立つとき、線分ABは点Pによって $m:n$ に内分される」と言います。

線分の内分と内分点

また、線分を内分する点を内分点と言います。内分点は図を見ると分かるように必ず線分上に存在します。

内分後の線分の長さ

内分されると、もとの線分はいくつかの線分に分割されます。内分比を利用すると、内分後の線分の長さを求めることができます。

内分後の線分の長さを求める問題は頻出なので、確実にマスターしよう。

たとえば、線分ABを $2:1$ に内分する点をPとします。このとき、線分AP , BPの長さを線分ABで表わしてみましょう。

図のように、線分ABを内分点Pによって $2:1$ に内分するので、線分AP , BPに対応する比を書き込みます。なお、線分ABに対応する比は、線分ABを $2:1$ に内分に内分したので $2+1=3$です。

内分比の利用の仕方

比を書き込むときは、長さと区別するために丸や四角で囲んであげると分かりやすいです。また、比較している線分の比を同じ囲みにすることで、比較対象を簡単に区別できるのも利点です。

長さと比とを混同しないように気を付けよう。

線分ABに対応する比が分かったので、$AB:AP = 3:2$ という比例式が得られます。そして、内項の積と外項の積の関係を利用すると、この比例式からAPについての方程式を導くことができます。

線分APを線分ABで表す
\begin{align*}
AB:AP &= 3:2 \\[ 10pt ]
3 \cdot AP &= 2 \cdot AB \\[ 10pt ]
AP &= \frac{2}{3} AB
\end{align*}

また、線分BPについても $AB:BP = 3:1$ という比例式が得られるので、同じようにして解くと、線分BPを線分ABで表すことができます。

線分BPを線分ABで表す
\begin{align*}
AB:BP &= 3:1 \\[ 10pt ]
3 \cdot BP &= 1 \cdot AB \\[ 10pt ]
BP &= \frac{1}{3} AB
\end{align*}

これまでのまとめは以下のようになります。

内分比を利用した線分の長さ

比例式について

ちなみに、比例式とは2つの比を等号(=)でつないだ式のことです。

この比例式は等式ではありますが、このままではあまり使い道がありません。また、この比例式は内項(内側の比)の積と外項(外側の比)の積は常に等しいという性質を持っています。

この性質を利用すると、長さが未知の線分についての方程式を導出することができます。導出された方程式を解くと、所望の線分の長さを求めることができます。

線分の外分

外分とは、線分の延長線上にある点で線分を分けることです。一般に「線分ABについて $AQ:BQ = m:n$ が成り立つとき、線分ABは点Qによって $m:n$ に外分される」と言います。

線分の外分と外分点

また、線分を外分する点のことを外分点と言います。外分点は必ず線分上になく、線分の延長線上に存在します。

外分点で注意したいのは、内分点のときとは異なり、外分点は線分の左側か右側のどちらかにできるということです。たとえば、線分ABを $2:1$ に外分する場合、外分点は比の小さいB側にできます。

外分点は2パターンあるので注意しよう。

外分後の線分の長さ

外分でも線分の長さを求める問題が出題されます。ただ、外分点の作図は意外と間違えやすいので、演習をこなしておきましょう。

たとえば、線分ABを $3:1$ に外分する点をQとするとき、線分AQ , BQの長さを線分ABで表わしてみましょう。

図のように、線分ABを外分点Qによって $3:1$ に外分するので、線分AQ , BQに対応する比を書き込みます。なお、線分ABに対応する比は、線分ABを $3:1$ に外分したので $3-1=2$です。

外分比の利用の仕方

線分ABに対応する比が分かったので、$AB:AQ = 2:3$ という比例式が得られます。そして、内項の積と外項の積の関係を利用すると、この比例式からAQについての方程式を導くことができます。

線分AQを線分ABで表す
\begin{align*}
AB:AQ &= 2:3 \\[ 10pt ]
2 \cdot AQ &= 3 \cdot AB \\[ 10pt ]
AQ &= \frac{3}{2} AB
\end{align*}

また、線分QBについても $AB:BQ = 2:1$ という比例式が得られるので、同じようにして解くと、線分BQを線分ABで表すことができます。

線分BQを線分ABで表す
\begin{align*}
AB:BQ &= 2:1 \\[ 10pt ]
2 \cdot BQ &= 1 \cdot AB \\[ 10pt ]
BQ &= \frac{1}{2} AB
\end{align*}

これまでのまとめは以下のようになります。

外分比を利用した線分の長さ

内分比や外分比を使いこなそう

内分比や外分比を使って線分の長さを求めるとき、そのたびごとに比例式を記述するのは面倒です。比の意味を知っていれば、作図だけで線分の長さを求めることができます。

線分ABを $2:1$ に内分する例で求めた線分AP , BPの長さについて考えてみましょう。

内分比の利用の仕方

図から分かるように、線分ABを $2:1$ に内分するということは、ABの長さを3として、APの長さが2、BPの長さが1になるように分けるという意味です。

このとき、線分AB全体に対して、APの占める割合は $2/3$、BPの占める割合は $1/3$になります。この分数は、比例式から求めた結果から分かるように、AP , BPをABで表したときの係数です。

線分Ap , BPの長さ
\begin{align*}
AP &= \frac{2}{3} AB \\[ 10pt ]
BP &= \frac{1}{3} AB
\end{align*}

つまり、線分AB全体に占める割合が分かれば、線分ABの長さと割合との積によって線分の長さを表せることが分かります。

線分の長さ = (線分の全体に占める割合)×(全体の長さ)

毎回、比例式から線分の長さを求めるのは時間が掛かるので、慣れてきたら割合を使って一気に求めてしまいましょう。なお、教科書や参考書などでは、以下のように記載されていることがありますが、覚える必要のない式です。

線分ABを $m:n$ に内分するとき
\begin{align*}
AP &= \frac{m}{m+n} AB \\[ 10pt ]
BP &= \frac{n}{m+n} AB
\end{align*}

次は角と線分の比との関係についてです。作図しながら学習しましょう。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
kiri

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