複素数と方程式|x,yに関する2次式の因数分解について

数学2

今回は、x,yに関する2次式の因数分解について学習しましょう。2次式を因数分解するとき、乗法公式を利用した因数分解が難しい2次式が出てきます。

特に、文字が2種類もあると、因数分解の難易度は高くなります。この単元も応用的な内容になるので、じっくり腰を据えて取り組みましょう。

2次式の因数分解

2次式を因数分解するとき、文字が何種類あったとしても、基本は2次方程式にしてしまうことです。そのことは、少し前の単元で学習した事柄から分かります。

2次方程式の左辺の因数分解

\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 7pt ] &\text{の $2$ つの解を} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \\[ 7pt ] &\text{とする。} \\[ 5pt ] &\text{このとき、$2$ 次方程式の左辺は} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c = a \left(x-\alpha \right) \left(x-\beta \right) \\[ 7pt ] &\text{と因数分解できる。} \end{align*}

2次式を2次方程式にすると、文字がxだけの1種類であれば、普段からよく扱っている1元2次方程式となります。それに対して、文字がx,yの2種類であれば、2元2次方程式となります。

このような方程式の解を求めれば、2次式の因数が分かるので、それをもとに2次式を因数分解できます。

1元2次方程式であれば、慣れているので容易に因数分解できるでしょう。それに対して、2元2次方程式であれば、少し戸惑うかもしれません。そうは言っても、このような式の扱い方については、すでに数1で学習しています。

2元2次方程式の因数分解

実際に例題を扱いながらの方が分かりやすいので、次の例題を考えてみましょう。

例題

$4x^{\scriptsize{2}}+7xy-2y^{\scriptsize{2}}-5x+8y+k$ が $x \ , \ y$ の $1$ 次式の積に分解できるように、定数 $k$ の値を定めよ。

与式は、2種類の文字x,yを含む2次式です。この与式をいくつかの1次式に分解します。

例題の解答・解説

まず、与式の2次式をxについての2次方程式にします。

例題の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{与式から} \\[ 5pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{2}}+7xy-2y^{\scriptsize{2}}-5x+8y+k=0 \\[ 7pt ] &\text{とおいた方程式を $x$ についての $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\text{と考えて} \\[ 5pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{2}}+\left(7y-5 \right)x- \left(2y^{\scriptsize{2}}-8y-k \right)=0 \quad \cdots \text{①} \end{align*}

文字が複数あるので、特定の文字に注目しましょう。ここでは、xについての2次方程式と考えて、降べきの順に整理します。

文字が複数あるときは、特定の文字に注目した方程式として扱おう。

xについての2次方程式と考えて、この方程式の解を求めます。そうすれば、方程式の左辺、すなわち与式を因数分解できます。

ここで、解の公式で解を求める前に、2次方程式の判別式を求めておきます。

例題の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{2}}+\left(7y-5 \right)x- \left(2y^{\scriptsize{2}}-8y-k \right)=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{ここで、①の判別式を $D_{1}$ とすると、} \\[ 5pt ] &\quad D_{1}=\left(7y-5 \right)^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 4 \cdot \left\{ -\left(2y^{\scriptsize{2}}-8y-k \right) \right\} \\[ 7pt ] &\text{これを整理すると} \\[ 5pt ] &\quad D_{1}=81y^{\scriptsize{2}}-198y+25-16k \end{align*}

判別式を求めた理由は、解の公式を思い浮かべると分かります。

解の公式

\begin{align*} &\text{$ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の解は、解の公式より} \\[ 5pt ] &\quad x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ] &\text{ここで、判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ] &\quad D=b^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ] &\text{であるので、解は} \\[ 5pt ] &\quad x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[ 7pt ] &\text{と表せる。} \end{align*}

解の公式において、根号の中の式は判別式で表せます。

例題の2次方程式の解を判別式なしで求める場合、かなり煩雑な式変形になります。これだけが理由ではないのですが、先に根号の中の判別式を求めておいた方が、答案を記述しやすくなることは確かです。

判別式が分かったので、①式の解を求めて与式を因数分解します。

例題の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{2}}+\left(7y-5 \right)x- \left(2y^{\scriptsize{2}}-8y-k \right)=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad D_{1}=81y^{\scriptsize{2}}-198y+25-16k \\[ 7pt ] &\text{よって、①の解は} \\[ 5pt ] &\quad x=\frac{-\left(7y-5 \right) \pm \sqrt{D_{1}}}{8} \\[ 7pt ] &\text{であるので、与式は} \\[ 5pt ] &\quad ( \ \text{与式} \ ) = 4\left\{ x- \frac{-\left(7y-5 \right) – \sqrt{D_{1}}}{8} \right\} \left\{ x- \frac{-\left(7y-5 \right) + \sqrt{D_{1}}}{8} \right\} \\[ 7pt ] &\text{と変形できる。} \end{align*}

例題では与式を因数分解する必要がないので、記述しなくても構いません。ただし、問題によっては「因数分解の結果を示せ」と指示されることがあります。そのときは記述しておくと良いでしょう。

さて、これで与式を1次式の積で表せたと思うかもしれませんが、そうでもありません。問題は解の次数です。果たして1次式でしょうか。

根号部分を見ると、その中に判別式があります。この判別式はyについての2次式です。根号の中にあるせいで、正直、解の次数がよくわからない状態です。

解の次数をはっきりさせるためには、根号がなくなればすべて丸く収まります。

根号がなくなるのは、中の数や式が平方の形で表されるときです。ですから、yの2次式(判別式)を含む根号部分が、1次式であるための条件は以下のようになります。

yの2次式D1について

\begin{align*} &\text{与式を因数分解した後の因数が $x \ , \ y$ の $1$ 次式となるためには} \\[ 5pt ] &\quad \text{$\sqrt{D_{1}}$ が $y$ の $1$ 次式} \\[ 5pt ] &\qquad \Leftrightarrow \ \text{$D_{1}$ の $y$ の $2$ 次式が完全平方式} \\[ 7pt ] &\text{が成り立てばよい。} \\[ 5pt ] &\text{したがって、$D_{1}$ の $y$ の $2$ 次式が完全平方式となるのは、} \\[ 5pt ] &\quad \text{$D_{1}=0$ すなわち ( $y$ の $2$ 次式) $=0$ が重解をもつとき} \\[ 7pt ] &\text{である。} \end{align*}

先に判別式を求めたのは、解が1次式になるための条件について言及するためでもあります。これを踏まえて、解答例の続きを記述します。

例題の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad D_{1}=81y^{\scriptsize{2}}-198y+25-16k \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{与式が $x$ と $y$ の $1$ 次式の積に分解されるための} \\[ 5pt ] &\text{必要十分条件は、①の解が $y$ の $1$ 次式となること、} \\[ 5pt ] &\text{すなわち $D_{1}$ が $y$ の完全平方式となることである。} \\[ 5pt ] &\text{このとき、$D_{1}=0$ とおいた $y$ の $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad 81y^{\scriptsize{2}}-198y+25-16k=0 \\[ 7pt ] &\text{の判別式を $D_{2}$ とすると} \\[ 5pt ] &\quad \frac{D_{2}}{4} = \left(-99 \right)^{\scriptsize{2}}-81 \left(25-16k \right) \\[ 7pt ] &\text{これを整理すると} \\[ 5pt ] &\quad \frac{D_{2}}{4} = 81 \left\{11^{\scriptsize{2}}-\left(25-16k \right) \right\} \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad \frac{D_{2}}{4} = 81 \left(96+16k \right) \end{align*}

判別式を求めるとき、意外と大きい数を扱うので、工夫する必要があります。共通因数(ここでは81)でくくっておくと、小さな数を扱うことができるので、計算ミスを減らせます。

yの2次式が完全平方式となるのは、yについての2次方程式が重解をもつときです。言い換えると、判別式の値が0となるときです。

このことを利用して、定数kについての方程式を導き、定数kの値を求めます。

例題の解答例 5⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \frac{D_{2}}{4} = 81 \left(96+16k \right) \\[ 7pt ] &\text{$D_{2}=0$ となればよいので} \\[ 5pt ] &\quad 81 \left(96+16k \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad k=-6 \end{align*}

だいぶ長くなったので、流れを整理しておきましょう。

文字x,yを含む2次式を1次式の積で表す

  1. xについての2次方程式を作る。
  2. 2次方程式の解を求める。
  3. 解がyについての1次式となるためには、根号の中の判別式D1が完全平方式となればよい。
  4. 判別式D1=0とおいて、yについての2次方程式を作る。
  5. 3の条件を満たすのは、yについての2次方程式が重解をもつ、すなわち判別式D2の値が0となるとき。
  6. 判別式D2=0から定数kについての方程式を導く。
  7. 方程式を解いて、定数kの値を求める。

判別式が2回出てくるので混乱しないように気を付けましょう。2次方程式と判別式は1対1の関係なので、対応関係をしっかり押さえましょう。

次は、x,yに関する2次式の因数分解を扱った問題を実際に解いてみましょう。