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複素数と方程式|x,yに関する2次式の因数分解について

数学2 複素数と方程式 解と係数の関係数学II

今回は、x , y に関する2次式の因数分解について学習しましょう。2次式を因数分解するとき、乗法公式を利用した因数分解が難しい2次式が出てきます。特に、文字が2種類もあると、因数分解の難易度は高くなります。

この単元も応用的な内容になるので、じっくり腰を据えて取り組みましょう。

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2次式の因数分解

2次式を因数分解するとき、文字が1種類であろうと、2種類以上あろうと、基本は2次方程式にしてしまうことです。

そのことは、少し前の単元で学習した事柄から分かります。

2次方程式の左辺の因数分解
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、2次方程式の左辺は} \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c = a \bigl( x-\alpha \bigr) \bigl( x-\beta \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{と因数分解できる。}
\end{align*}

参考
複素数と方程式|2次式の因数分解について
複素数と方程式|2つの数を解とする2次方程式の作成について

2次式を2次方程式にすると、文字が x だけの1種類であれば、普段からよく扱っている1元2次方程式となります。また、文字が x , y の2種類であれば、2元2次方程式となります。

このような方程式の解を求めれば、2次式の因数が分かるので、それをもとに2次式を因数分解できます。

1元2次方程式であれば、慣れているので、容易に因数分解できるでしょう。それに対して、2元2次方程式であれば、少し戸惑うかもしれません。しかし、このような式の扱い方については、すでに数1で学習しています。

2元2次方程式の因数分解

実際に例題を扱いながらの方が分かりやすいので、次の例題を考えてみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{$4x^{\scriptsize{2}}+7xy-2y^{\scriptsize{2}}-5x+8y+k$ が $x \ , \ y$ の1次式の積に} \\[ 5pt ]
&\text{分解できるように、定数 $k$ の値を定めよ。}
\end{align*}

与式は2種類の文字 x , y を含む2元2次方程式です。この与式をいくつかの1次式に分解します。

例題の解答・解説

まず、与式の2次式を2次方程式にします。

例題の解答例①
\begin{align*}
&\text{(与式)=0とおいた方程式を $x$ について2次方程式と考えて} \\[ 5pt ]
&\quad 4x^{\scriptsize{2}}+\bigl(7y-5 \bigr)x- \bigl(2y^{\scriptsize{2}}-8y-k \bigr)=0 \quad \text{…①}
\end{align*}

ここで注意したいのは、特定の文字に注目することです。文字 x についての2次方程式と考えて、降べきの順に整理しておきましょう。

文字 x についての2次方程式として扱おう。

文字 x についての2次方程式と考えたとき、この方程式の解を求めれば、方程式の左辺、すなわち与式を因数分解できます。ここで、解の公式で解を求める前に、2次方程式の判別式を求めておきます。

例題の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad 4x^{\scriptsize{2}}+\bigl(7y-5 \bigr)x- \bigl(2y^{\scriptsize{2}}-8y-k \bigr)=0 \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\text{ここで、①の判別式を $D_{1}$ とすると、} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1}=\bigl(7y-5 \bigr)^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 4 \cdot \Bigl\{ -\bigl(2y^{\scriptsize{2}}-8y-k \bigr) \Bigr\} \\[ 7pt ]
&\text{これを整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1}=81y^{\scriptsize{2}}-198y+25-16k
\end{align*}

判別式を求めた理由は、解の公式を思い浮かべると分かります。

解の公式
\begin{align*}
&\text{$ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の解は、解の公式より} \\[ 5pt ]
&\quad x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{ここで、判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad D=b^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\text{であるので、解は} \\[ 5pt ]
&\quad x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{と表せる。}
\end{align*}

解答例②で判別式を求めましたが、判別式なしで解を求めるとなると、かなり煩雑な式変形になることが予想できます。これだけが理由ではないのですが、先に根号の中の判別式を求めておいた方が、答案を記述しやすくなることは確かです。

判別式が分かったので、①式の解を求めて与式を因数分解します。

例題の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{よって、①の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x=\frac{-\bigl(7y-5 \bigr) \pm \sqrt{D_{1}}}{8} \\[ 7pt ]
&\text{であるので、与式は} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(与式)} \ = 4\Biggl\{ x- \frac{-\bigl(7y-5 \bigr) – \sqrt{D_{1}}}{8} \Biggr\} \Biggl\{ x- \frac{-\bigl(7y-5 \bigr) + \sqrt{D_{1}}}{8} \Biggr\} \\[ 7pt ]
&\text{と変形できる。}
\end{align*}

例題では与式を因数分解する必要がないので、記述しなくても構いません。問題によっては「因数分解の結果を示せ」と指示されることがあるので、そのときは記述しておくと良いでしょう。

さて、これで与式を1次式の積で表せたと思うかもしれませんが、そうでもありません。問題は解の次数です。果たして1次式でしょうか。

根号部分を見ると、その中に判別式があります。この判別式は、文字 y についての2次式です。根号の中にあるせいで、正直、解の次数がよくわからない状態です。

解の次数をはっきりさせるためには、根号がなくなればすべて丸く収まります。根号がなくなるのは、中の数や式が平方の形で表されるときです。ですから、文字 y の2次式(判別式)を含む根号部分が、1次式であるための条件は以下のようになります。

$y$ の2次式 $D_{1}$ について
\begin{align*}
&\text{与式を因数分解した後の因数が $x \ , \ y$ の1次式となるためには} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$\sqrt{D_{1}}$ が $y$ の1次式} \\[ 5pt ]
&\qquad \Longleftrightarrow \quad \text{$D_{1}$ の $y$ の2次式が完全平方式} \\[ 7pt ]
&\text{が成り立てばよい。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、$D_{1}$ の $y$ の2次式が完全平方式となるのは、} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$D_{1}=0$ すなわち ( $y$ の2次式)=0が重解をもつとき} \\[ 7pt ]
&\text{である。}
\end{align*}

先に判別式を求めたのは、解が1次式になるための条件について言及するためでもあります。これを踏まえて、解答例の続きを記述します。

例題の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{与式が $x$ と $y$ の1次式の積に分解されるための必要十分条件は、} \\[ 5pt ]
&\text{①の解が $y$ の1次式となること、すなわち $D_{1}$ が $y$ の完全平方式} \\[ 5pt ]
&\text{となることである。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、$D_{1}=0$ とおいた $y$ の2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad 81y^{\scriptsize{2}}-198y+25-16k=0 \\[ 7pt ]
&\text{の判別式を $D_{2}$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D_{2}}{4} = \bigl( -99 \bigr)^{\scriptsize{2}}-81 \bigl( 25-16k \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{これを整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D_{2}}{4} = 81 \Bigl\{11^{\scriptsize{2}}-\bigl( 25-16k \bigr) \Bigr\} \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D_{2}}{4} = 81 \bigl( 96+16k \bigr)
\end{align*}

判別式を求めるとき、意外と大きい数を扱うので、工夫する必要があります。共通因数(ここでは81)でくくっておくと、小さな数を扱うことができるので、計算ミスを減らせます。

文字 y の2次式が完全平方式となるのは、文字 y2次方程式が重解をもつ、すなわち判別式の値が0となるときです。このことを利用して、定数 k についての方程式を導き、定数 k の値を求めます。

例題の解答例⑤
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D_{2}}{4} = 81 \bigl( 96+16k \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{$D_{2}=0$ となればよいので} \\[ 5pt ]
&\quad 81 \bigl( 96+16k \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad k=-6
\end{align*}

だいぶ長くなったので、流れを整理しておきましょう。

文字 x , y を含む2次式を1次式の積で表す

  1. 文字 x についての2次方程式を作る。
  2. 2次方程式の解を求める。
  3. 解が文字 y について1次式となるためには、根号の中の判別式が完全平方式となればよい。
  4. 判別式から文字 y についての2次方程式を作る。
  5. 3の条件を満たすのは、2次方程式が重解をもつ、すなわち判別式の値が0となるとき。
  6. 判別式=0から定数 k についての方程式を導く。
  7. 方程式を解いて、定数 k の値を求める。

判別式が2回出てくるので混乱しないように気を付けましょう。2次方程式と判別式は一対の関係なので、対応関係をしっかり押さえましょう。

次は、x,yに関する2次式の因数分解を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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