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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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式と証明|二項係数と等式の証明について

数学2 式と証明 数学II

今回は二項係数と等式の証明について学習しましょう。二項定理が式の展開以外にも用いられることを知るための単元と言えます。証明問題の中でも易しいので、二項定理の式を覚えるために単元にしましょう。

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二項定理と二項係数について

二項定理は、二項式の累乗とその展開式との間に成り立つ関係を式で表したものです。以下のような式で表すことができます。

二項定理
\begin{align*}
( a+b )^{\scriptsize{n}} &= {}_n \mathrm{ C }_0 a^{\scriptsize{n}} + {}_n \mathrm{ C }_1 a^{\scriptsize{n-1}} \ b + {}_n \mathrm{ C }_2 a^{\scriptsize{n-2}} \ b^{\scriptsize{2}} + \\[ 5pt ]
&\qquad \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n b^{\scriptsize{n}}
\end{align*}

基本的には4次式以上の展開で用いられますが、もし3乗の展開の公式を忘れてしまったとしても、二項定理を利用して展開することができます。また、展開式において、各項の係数のことを二項係数と言います。

二項定理の二項係数
\begin{equation*}
{}_n \mathrm{ C }_r \quad ( r=0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \cdots \cdots , n )
\end{equation*}

このように二項係数は組み合わせの総数によって表されます。これから学習する等式の証明では、これと同じように等式にも二項係数が用いられます。そのような等式が成り立つことを、二項定理を用いて証明しようというのがここで学習することです。

等式の証明では、先ほどの二項定理の式だけでなく、以下の式が用いられることもあります。

二項定理その2
\begin{align*}
&\text{$a=1 \ , \ b=x$ とおくと、} \\[ 5pt ]
&\quad ( 1+x )^{\scriptsize{n}} = {}_n \mathrm{ C }_0 1^{\scriptsize{n}} + {}_n \mathrm{ C }_1 1^{\scriptsize{n-1}} \cdot x + {}_n \mathrm{ C }_2 1^{\scriptsize{n-2}} \cdot x^{\scriptsize{2}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r 1^{\scriptsize{n-r}} \cdot x^{\scriptsize{r}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^{\scriptsize{n}} \\[ 5pt ]
&\text{右辺を整理すると、} \\[ 5pt ]
&\therefore \ ( 1+x )^{\scriptsize{n}} = {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 x + {}_n \mathrm{ C }_2 x^{\scriptsize{2}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r x^{\scriptsize{r}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^{\scriptsize{n}}
\end{align*}

この式では、カッコの中の二項式が、xの1次式になっています。よく用いられるのはこの式になりますが、二項定理の式において、abを他の数や文字に置き換えると、色々な二項式の展開式を導出することができます

等式の証明では、abxが何らかの数に置き換えられています。ですから、等式の証明とは、結局のところ、「abxがどんな数に置き換わりましたか?」という問題を解くことだと言えます。

二項係数で表される等式

二項定理を利用する等式の証明では、たとえば以下の等式が成り立つことを証明します。

扱われる等式の例
\begin{equation*}
{}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 + {}_n \mathrm{ C }_2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n = 2^{\scriptsize{n}}
\end{equation*}

例で挙げられた等式の左辺は、二項係数の和で表されています。このような多項式が出てくれば、二項定理を利用することを考えましょう。先ほどのxの1次式を用いた式と見比べてみましょう。

2つの等式を比較する
\begin{align*}
{}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 x + {}_n \mathrm{ C }_2 x^{\scriptsize{2}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r x^{\scriptsize{r}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^{\scriptsize{n}} &= ( 1+x )^{\scriptsize{n}} \\[ 10pt ]
{}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 + {}_n \mathrm{ C }_2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n &= 2^{\scriptsize{n}}
\end{align*}

左辺どうし、右辺どうしを見比べてみると対応関係がよく分かります。例に挙げた等式は、二項定理において、x=1のときに成り立つ式であることが分かります。左辺が二項係数の和となっていて特徴的なので、二項定理を利用するかどうかはすぐに判断できます。

二項定理を扱った等式の証明では、abxにどんな値を代入すれば良いのかを考えることがポイントです。思ったほど難易度が高くないので、コツを掴めば得点源にできるでしょう。

二項係数の和

先ほど導出されたように、二項係数の和は、2のnで表されます。この等式の意味を考えてみましょう。

二項係数の和
\begin{equation*}
{}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 + {}_n \mathrm{ C }_2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n = 2^{\scriptsize{n}}
\end{equation*}

左辺は、n個の異なるものからr個を選ぶ方法のr = 0, 1, 2, …, nの場合の合計を表しています。つまり、選び方のすべての場合の数を考えています。

また、n個のそれぞれについて考えてみると、1つ1つは「選ばれる」か「選ばれない」かの2通りずつとなります。ですから、選ぶ方法の場合の合計は、右辺のように2のn乗となることが分かります。

具体例で考えてみましょう。3個の異なるものから選ぶ場合の合計を考えます。

  • 3個から0個を選ぶ。
  • 3個から1個を選ぶ。
  • 3個から2個を選ぶ。
  • 3個から3個を選ぶ。

以上の4通りの場合の合計になります。これらの和を計算します。3個のそれぞれの選び方は「選ばれる」か「選ばれない」かの2通りずつなので、その場合の数は2の3乗となるはずです。

場合の合計を計算する
\begin{align*}
&{}_3 \mathrm{ C }_0 + {}_3 \mathrm{ C }_1 + {}_3 \mathrm{ C }_2 + {}_3 \mathrm{ C }_3 \\[ 5pt ]
= &1 + 3 + 3 +1 \\[ 5pt ]
= &8 \\[ 5pt ]
= &2^{\scriptsize{3}}
\end{align*}

選ぶ方法の場合の合計は、予想通り2の3乗となりました。少しはイメージが湧いたのではないかと思います。なお、この関係は、場合の数や確率の単元でも利用できるので覚えておくと良いでしょう。

覚えておきたい式
(n個の異なるものからr個を選ぶ選び方の合計)=(2のn乗)

次は、二項定理を扱った等式の証明問題を実際に解いてみましょう。

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