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式と証明|二項定理の利用について

数学2 式と証明 数学II

今回は二項定理の利用について学習しましょう。二項定理を式の展開に用いながらも、他の数量について考える問題が出題されます。どちらかと言うと記述試験向きの内容なので難しく感じるかもしれません。しかし、二項定理の式を覚えていれば、それほど難しくないので、完答を目指しましょう。

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二項定理の利用について

二項定理を利用する問題は、主に2パターンあります。

  • 桁に関する問題。
  • 余りに関する問題。

桁に関する問題として、例えば以下のような問題が出題されます。

例題1 桁に関する問題
$101^{\scriptsize{100}}$ の 下位 $5$ 桁を求めよ。

流石に101の100乗を素直に計算するのは大変です。このようなときに二項定理を利用して考えます。

また、余りに関する問題として、例えば以下のような問題が出題されます。

例題2 余りに関する問題
$29^{\scriptsize{45}}$ を $900$ で割った余りを求めよ。

こちらも29の45乗を素直に計算した後に、900で割るのは現実的ではありません。このようなときにも二項定理を利用して考えます。

実は似たようなことは、中学数学や数学1ですでに学習しています。たとえば、101の2乗を計算するとき、そのまま計算しても良いのですが、少し工夫すると暗算で解くことができます。

工夫して計算する
\begin{align*}
101^{\scriptsize{2}} &= (100+1)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
&= 100^{\scriptsize{2}} +2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
&= 10000 + 200 +1 \\[ 5pt ]
&= 10201
\end{align*}

発想はこれと同じです。文字を含まない数だけの計算になると、なぜか公式を使わなくなります。しかし、公式に当てはまれば、数だけの計算でも公式を使って計算することは全く問題ありません。展開だけに限らず、因数分解もそうです。

工夫して計算する
\begin{align*}
25^{\scriptsize{2}} – 15^{\scriptsize{2}} &= (25+15)(25-15) \\[ 5pt ]
&= 40 \cdot 10 \\[ 5pt ]
&= 400
\end{align*}

因数分解すると、計算が一歩後退するように感じるのかもしれませんが、筆算するよりも遥かに簡単に計算できるときもあります。このようなことが二項定理でもできるので、そのことを利用しようというのがここで学習することです。

例題の解答・解説

例題を通して、どのように二項定理を利用するのかを確認してみましょう。

例題1の解答・解説

例題1
$101^{\scriptsize{100}}$ の 下位 $5$ 桁を求めよ。

例題1は、桁に関する問題です。二項定理が利用できるように与式を変形します。

例題1の解答例
\begin{align*}
101^{\scriptsize{100}} &= (1+100)^{\scriptsize{100}} \\[ 5pt ]
&= \bigl( 1+10^{\scriptsize{2}} \bigr)^{\scriptsize{100}}
\end{align*}

この問題では桁を考えるので、100よりも10の累乗の方が扱いやすいことを考慮して変形しておきます。また、10の2乗は、二項式において2番目の項にしておくと、展開するときに組合せの添字と数字が揃うので記述ミスが少なくなります。

桁に関する問題は10の累乗を利用しよう。

二項式になったので、二項定理を利用して展開します。

例題1の解答例つづき
\begin{align*}
101^{\scriptsize{100}} &= \bigl( 1+10^{\scriptsize{2}} \bigr)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
&= {}_{100} \mathrm{ C }_0 1^{\scriptsize{100}} + {}_{100} \mathrm{ C }_1 1^{\scriptsize{99}} \ \bigl(10^{\scriptsize{2}} \bigr)^{\scriptsize{1}} + {}_{100} \mathrm{ C }_2 1^{\scriptsize{98}} \ \bigl(10^{\scriptsize{2}} \bigr)^{\scriptsize{2}} + {}_{100} \mathrm{ C }_3 1^{\scriptsize{97}} \ \bigl(10^{\scriptsize{2}} \bigr)^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{100} \mathrm{ C }_{99} 1^{\scriptsize{1}} \ \bigl(10^{\scriptsize{2}} \bigr)^{\scriptsize{99}} + {}_{100} \mathrm{ C }_{100} \bigl(10^{\scriptsize{2}} \bigr)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
&= {}_{100} \mathrm{ C }_0 + {}_{100} \mathrm{ C }_1 10^{\scriptsize{2}} + {}_{100} \mathrm{ C }_2 10^{\scriptsize{4}} + {}_{100} \mathrm{ C }_3 10^{\scriptsize{6}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{100} \mathrm{ C }_{99} 10^{\scriptsize{198}} + {}_{100} \mathrm{ C }_{100} 10^{\scriptsize{200}}
\end{align*}

展開した後は、下位5桁の数を求めれば良いので、下位5桁に影響する項と影響しない項を調べます

例題1の解答例つづき
\begin{align*}
101^{\scriptsize{100}} &= \bigl( 1+10^{\scriptsize{2}} \bigr)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
&= \vdots \\[ 10pt ]
&= {}_{100} \mathrm{ C }_0 + {}_{100} \mathrm{ C }_1 10^{\scriptsize{2}} + {}_{100} \mathrm{ C }_2 10^{\scriptsize{4}} + {}_{100} \mathrm{ C }_3 10^{\scriptsize{6}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{100} \mathrm{ C }_{99} 10^{\scriptsize{198}} + {}_{100} \mathrm{ C }_{100} 10^{\scriptsize{200}} \\[ 10pt ]
&= 1 + 100 \cdot 10^{\scriptsize{2}} + 4950 \cdot 10^{\scriptsize{4}} + 10^{\scriptsize{6}}k \quad \text{($k$ は自然数)} \\[ 10pt ]
&= 10001 + 495 \cdot 10^{\scriptsize{5}} + 10^{\scriptsize{6}}k
\end{align*}

展開式の4項目以降には、必ず10の6乗が含まれるので、下位5桁に影響を与えない項となります。ここでは必要ない項となるので、文字を使ってまとめてしまいます。そうすると展開式を簡潔に表すことができます。結局、下位5桁に関係する項は1番目の項だけです。これより、下位5桁は10001となります。

例題2の解答・解説

例題2
$29^{\scriptsize{45}}$ を $900$ で割った余りを求めよ。

例題2は、余りに関する問題です。900が30の2乗であることに注目して、二項定理が利用できるように29の45乗を変形します。

例題2の解答例
\begin{align*}
29^{\scriptsize{45}} &= (30-1)^{\scriptsize{45}} \\[ 5pt ]
&= (-1+30)^{\scriptsize{45}}
\end{align*}

例題1と同じように、30の累乗の指数と組合せの添字の数字が揃うように、30を2番目の項にします。二項式になったので、二項定理を利用して展開します。

例題2の解答例つづき
\begin{align*}
29^{\scriptsize{45}} &= (-1+30)^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ]
&= {}_{45} \mathrm{ C }_0 (-1)^{\scriptsize{45}} + {}_{45} \mathrm{ C }_1 (-1)^{\scriptsize{44}} \ 30^{\scriptsize{1}} + {}_{45} \mathrm{ C }_2 (-1)^{\scriptsize{43}} \ 30^{\scriptsize{2}} + {}_{45} \mathrm{ C }_3 (-1)^{\scriptsize{42}} \ 30^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{45} \mathrm{ C }_{44} (-1)^{\scriptsize{1}} \ 30^{\scriptsize{44}} + {}_{45} \mathrm{ C }_{45} 30^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ]
&= 1 \cdot (-1) + 45 \cdot 1 \cdot 30 + {}_{45} \mathrm{ C }_2 (-1) \cdot 30^{\scriptsize{2}} + {}_{45} \mathrm{ C }_3 1 \cdot 30^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{45} \mathrm{ C }_{44} (-1) \cdot 30^{\scriptsize{44}} + {}_{45} \mathrm{ C }_{45} 30^{\scriptsize{45}}
\end{align*}

29の45乗を900で割るということは、展開式を900で割るということです。ですから、900、つまり30の2乗を含む項と含まない項を調べて、展開式を変形します。

例題2の解答例つづき
\begin{align*}
29^{\scriptsize{45}} &= (-1+30)^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ]
&= \vdots \\[ 10pt ]
&= 1 \cdot (-1) + 45 \cdot 1 \cdot 30 + {}_{45} \mathrm{ C }_2 (-1) \cdot 30^{\scriptsize{2}} + {}_{45} \mathrm{ C }_3 1 \cdot 30^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{45} \mathrm{ C }_{44} (-1) \cdot 30^{\scriptsize{44}} + {}_{45} \mathrm{ C }_{45} 30^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ]
&= -1 + 1350 + 30^{\scriptsize{2}} \bigl\{ {}_{45} \mathrm{ C }_2 (-1) + {}_{45} \mathrm{ C }_3 1 \cdot 30^{\scriptsize{1}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{45} \mathrm{ C }_{44} (-1) \cdot 30^{\scriptsize{42}} + {}_{45} \mathrm{ C }_{45} 30^{\scriptsize{43}} \bigr\} \\[ 10pt ]
&= -1 + 1350 + 30^{\scriptsize{2}}k \quad \text{($k$ は自然数)} \\[ 10pt ]
&= 1349 + 30^{\scriptsize{2}}k
\end{align*}

展開式の3項目以降には、必ず30の2乗が含まれるので、各項は900の倍数となります。これより、3項目以降をひとまとめにしておきます。これで30の2乗を含む項と含まない項とに分けることができました。しかし、ここで答えを急いではいけません。1349は900よりも大きい数です。1349は900で割ったときの余りではないこと注意しましょう。

例題2の解答例つづき
\begin{align*}
29^{\scriptsize{45}} &= (-1+30)^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ]
&= \vdots \\[ 10pt ]
&= 1349 + 30^{\scriptsize{2}}k \\[ 10pt ]
&= 900 \cdot 1 + 449 + 30^{\scriptsize{2}}k \\[ 10pt ]
&= 900(k+1) + 449
\end{align*}

1349を900で割ると、商が1で余りが449となります。この449が29の45乗を900で割ったときの余りとなります。余りに関する問題では、最後で間違える人が多いので気をつけましょう。

「割られる数=割る数×商+余り」の形で表そう。

次は、より実践的な問題を解いてみましょう。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

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