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図形の性質|2円の位置関係について

数学A 図形の性質数学A

今回は2円の位置関係について学習しましょう。この単元からの問題は、新課程になる以前ではよく出題されていましたが、新課程以降ではあまり見かけなくなりました。そうは言っても、きちんと対応できるようにしておく必要があります。

円だけを扱った問題であれば易しいのですが、たとえば、三角形や四角形などと併せて出題されると複雑さが増すのか、正答率が低く、差が付きやすくなります。ですから、他の図形も一緒に扱った入試レベルの問題をこなしておいた方が良いでしょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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2円の位置関係と共通接線

2つの円があるとき、それらの位置関係は5種類に分類されます。

2円の位置関係

  1. 円O’が円Oの外部にある。
  2. 2円O , O’が外接する。
  3. 2円O , O’が2点で交わる。
  4. 2円O , O’が内接する。
  5. 円O’が円Oの内部にある。

この5種類の位置関係に応じて、線分の長さを求めたり、線分の長さの大小関係を考えたりする問題が出題されます。

また、共通接線とは、複数の図形に対して同時に接している直線のことです。1本の直線がそれぞれの図形と接点だけを共有しています。複数の図形に対して、共通接線が何本引けるかなどの問題がよく出題されます。

2円の位置関係と共通接線

2円の中心間距離と2円の半径との関係

2円の位置関係によって、2円の中心間距離と2円の半径との関係が変わるので注意しましょう。作図しながら考えるとよく分かります。

円O’が円Oの外部にあるとき

2円O , O’の半径をそれぞれ $r \ , \ r’$、2円の中心間距離を $d$ とします。円O’が円Oの外部にあるときを図示すると、以下のような図になります。

円O'が円Oの外部にあるときの図

図から分かるように、中心間距離 $d$ は、2円の半径の和 $(r+r’)$ よりも必ず大きくなります。この関係を不等式で表すことができます。

円O’が円Oの外部にあるときの中心間距離と半径の関係
\begin{align*}
&\quad d \gt r+r’ \\[ 10pt ]
&\text{ただし、} \\[ 5pt ]
&\quad d \ :\text{2円の中心間距離} \\[ 5pt ]
&\quad r \ :\text{円Oの半径} \\[ 5pt ]
&\quad r’:\text{円O’の半径}
\end{align*}

2円O , O’が外接するとき

2円O , O’が外接するときを図示すると、以下のような図になります。

2円O , O'が外接するときの図

図から分かるように、中心間距離 $d$ は、2円の半径の和 $(r+r’)$ に必ず等しくなります。この関係を等式で表すことができます。

2円O , O’が外接するときの中心間距離と半径の関係
\begin{align*}
&\quad d = r+r’ \\[ 10pt ]
&\text{ただし、} \\[ 5pt ]
&\quad d \ :\text{2円の中心間距離} \\[ 5pt ]
&\quad r \ :\text{円Oの半径} \\[ 5pt ]
&\quad r’:\text{円O’の半径}
\end{align*}

2円O , O’が2点で交わるとき

2円O , O’が2点で交わるときを図示すると、以下のような図になります。

2円O , O'が2点で交わるときの図

図から分かるように、中心間距離 $d$ は、2円の半径の和 $(r+r’)$ よりも必ず小さくなり、2円の半径の差 $|r-r’|$ よりも必ず大きくなります。この関係を不等式で表すことができます。

一般に、差は絶対値をつけて表されますが、図では $r \gt r’$ であるとして、差に絶対値をつけていません。以下の図でも同様です。

2円O , O’が2点で交わるときの中心間距離と半径の関係
\begin{align*}
&\quad |r-r’| \lt d \lt r+r’ \\[ 10pt ]
&\text{ただし、} \\[ 5pt ]
&\quad d \ :\text{2円の中心間距離} \\[ 5pt ]
&\quad r \ :\text{円Oの半径} \\[ 5pt ]
&\quad r’:\text{円O’の半径}
\end{align*}

この不等式は三角形の成立条件から得られます。図のように、2円の中心と交点によって三角形ができています。三角形の3辺の長さは $d \ , \ r \ , \ r’$ になります。

2円O , O’が2点で交わるとき、$d \ , \ r \ , \ r’$ を3辺とする三角形ができるので、三角形の成立条件が成り立つはずです。

ちなみに、三角形の成立条件は以下のようになります。

三角形が存在するとき、次の条件を満たす。

  • 2辺の長さの和は他の1辺の長さより大きい
  • 2辺の長さの差は他の1辺の長さより小さい

2円O , O’が内接するとき

2円O , O’が内接するときを図示すると、以下のような図になります。

2円O , O'が内接するときの図

図から分かるように、中心間距離 $d$ は、2円の半径の差 $|r-r’|$ に必ず等しくなります。この関係を等式で表すことができます。

2円O , O’が内接するときの中心間距離と半径の関係
\begin{align*}
&\quad d = |r-r’| \\[ 10pt ]
&\text{ただし、} \\[ 5pt ]
&\quad d \ :\text{2円の中心間距離} \\[ 5pt ]
&\quad r \ :\text{円Oの半径} \\[ 5pt ]
&\quad r’:\text{円O’の半径}
\end{align*}

円O’が円Oの内部にあるとき

円O’が円Oの内部にあるときを図示すると、以下のような図になります。

円O'が円Oの内部にあるときの図

図から分かるように、中心間距離 $d$ は、2円の半径の差 $|r-r’|$ よりも必ず小さくなります。この関係を不等式で表すことができます。

円O’が円Oの内部にあるときの中心間距離と半径の関係
\begin{align*}
&\quad d \lt |r-r’| \\[ 10pt ]
&\text{ただし、} \\[ 5pt ]
&\quad d \ :\text{2円の中心間距離} \\[ 5pt ]
&\quad r \ :\text{円Oの半径} \\[ 5pt ]
&\quad r’:\text{円O’の半径}
\end{align*}

よく間違える位置関係なので注意しましょう。次は、2円に接する共通接線の本数を考えてみましょう。

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