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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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図形の性質|円周角について

数学A 図形の性質 数学A

今回は円周角について学習しましょう。円周角についてはすでに中学で学習済みですが、高校では三角形に加えて四角形との関係も学習します。既習内容を確認しながら取り組んでいくと理解がより深まるでしょう。

また「図形の性質」でもいくつかの定理や性質を学習したので、証明問題を扱うようになってきます。積極的に取り組んで、論理的に記述する能力を向上させましょう。他の科目でもきっと役立つはずです。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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円周角の定理とその定理の逆

この単元では、円周角の定理とその定理の逆について学習します。

円周角の定理は、中学で既に学習しましたが、次の2つの事柄が成り立つ定理です。

円周角の定理

  • 1つの弧に対する円周角の大きさは等しい。
  • 円周角は中心角の半分(1/2)である。

中学ではどちらも成り立つという前提で利用していただけで、本当に成り立つことを証明せよ、と言われると困る人は多いかもしれません。高校ではこれらの証明問題が出題されることがあるので、きちんと準備しておくことが望ましいでしょう。

円周角の定理の逆は次の事柄が成り立つ定理です。こちらは四角形を扱った問題でよく出題されます。

円周角の定理の逆
2点P , Qが直線ABの同じ側にあって、$\angle APB = \angle AQB$ が成り立つとき、4点A , B , P , Qが同一円周上にある。

円周角の定理とその逆の関係を整理してみましょう。ちゃんと逆の関係になっていることが分かります。

円周角の定理とその逆の関係
円周上に4点がある⇒円周角が等しい(円周角の定理)
4点があり、(円周角に相当する)角の大きさが等しくなる⇒4点は同一円周上にある(円周角の定理の逆)

はじめに円が与えられていない場合、円周角の定理の逆が成り立つことに全く気付かないことがよくあります。多めに演習をこなしておきましょう。

円周角の定理とその逆

円周角の定理を証明しよう

円周角の定理

  • 1つの弧に対する円周角の大きさは等しい。
  • 円周角は中心角の半分(1/2)である。

まず「円周角は中心角の半分(1/2)である」ことを証明してみましょう。「1つの弧に対する円周角の大きさは等しい」ことの証明は後に回した方が易しくなります。

中心をOとする円の周上に3点A , B , Pがあるとします。このとき、円周角∠APBができます。円周角∠APBの大きさは、点Pの位置によって異なります。中心Oの位置に注目して、3通りのパターンに場合分けして証明します。

円周角の定理を証明するための図

「円周角は中心角の半分(1/2)である」ことの証明は3パターンの場合分け

  • 中心Oが円周角∠APBの内部にあるとき
  • 中心Oが円周角を作る線分AP上にあるとき
  • 中心Oが円周角∠APBの外部にあるとき

3パターンありますが、証明の流れは大筋で変わりません。また、既習内容で証明できるので、良い復習になります。ぜひ挑戦してみて下さい。

中心Oが円周角∠APBの内部にあるとき

中心Oが円周角∠APBの内部にあるとき、円周角は中心角の半分(1/2)であることを証明します。補助線として直線OPを引き、直線OPと円との交点をQとします。

円周角の定理の証明その1の図

直線OPを引いたことで、線分OA , OB , OPが半径に等しくなりました。このことから、△OAP , △OBPは二等辺三角形になります。二等辺三角形の性質を利用すると、角の関係が得られます。

\begin{align*}
&\quad OA = OB = OP \\[ 5pt ]
&\text{より、$\triangle OAP \ , \ \triangle OBP$ は二等辺三角形。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、} \\[ 5pt ]
&\quad \angle OAP = \angle OPA \quad \text{…①} \\[ 5pt ]
&\quad \angle OBP = \angle OPB \quad \text{…②}
\end{align*}

円周角の定理の証明その1の図

次は三角形の外角を利用します。

\begin{align*}
&\text{三角形の外角より、} \\[ 5pt ]
&\quad \angle AOQ = \angle OAP + \angle OPA \\[ 5pt ]
&\quad \angle BOQ = \angle OBP + \angle OPB \\[ 5pt ]
&\text{これと①,②より、} \\[ 5pt ]
&\quad \angle AOQ = 2 \angle OPA \quad \text{…③} \\[ 5pt ]
&\quad \angle BOQ = 2 \angle OPB \quad \text{…④}
\end{align*}

円周角の定理の証明その1の図

さいごに中心角∠AOBを円周角∠APBで表します。

\begin{align*}
\angle AOB &= \angle AOQ + \angle BOQ \\[ 5pt ]
&= 2 \angle OPA + 2 \angle OPB \quad \text{(③,④より)} \\[ 5pt ]
&= 2 ( \angle OPA + \angle OPB ) \\[ 5pt ]
&= 2 \angle APB \\[ 5pt ]
\therefore \ \angle APB &= \frac{1}{2} \angle AOB
\end{align*}

円周角の定理の証明その1の図

以上のことから、中心Oが円周角∠APBの内部にあるとき、円周角は中心角の半分(1/2)であるので、円周角の定理は成り立ちます。証明のポイントは補助線として引いた直線OP(直径)です。

円周角の定理の証明その1

中心Oが円周角を作る線分AP上にあるとき

中心Oが円周角を作る線分AP上にあるとき、円周角は中心角の半分(1/2)であることを証明します。このパターンでは、直線OPに対応する直径APがあるので、補助線は必要ありません。

円周角の定理の証明その2の図

パターン①と同じ流れで証明します。△OBPが二等辺三角形になることを利用します。

\begin{align*}
&\quad OB = OP \\[ 5pt ]
&\text{より、$\triangle OBP$ は二等辺三角形。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、} \\[ 5pt ]
&\quad \angle OBP = \angle OPB \quad \text{…①}
\end{align*}

円周角の定理の証明その2の図

次は三角形の外角を利用しますが、△OBPの外角である∠AOBは中心角でもあります。

\begin{align*}
&\text{三角形の外角より、} \\[ 5pt ]
&\quad \angle AOB = \angle OBP + \angle OPB \\[ 5pt ]
&\text{これと①より、} \\[ 5pt ]
&\quad \angle AOB = 2 \angle OPB \\[ 5pt ]
&\quad \angle OPB = \frac{1}{2} \angle AOB \\[ 5pt ]
&\therefore \ \angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB
\end{align*}

円周角の定理の証明その2の図

以上のことから、中心Oが円周角を作る線分AP上にあるとき、円周角は中心角の半分(1/2)であるので、円周角の定理は成り立ちます。

3つのパターンの中で最も簡単な証明になるので、証明の流れを把握するのに利用しましょう。

円周角の定理の証明その2

中心Oが円周角∠APBの外部にあるとき

中心Oが円周角∠APBの外部にあるとき、円周角は中心角の半分(1/2)であることを証明します。補助線として直線OPを引き、直線OPと円との交点をQとします。少し複雑な図になりますが、パターン①と同じ流れで証明します。

円周角の定理の証明その3の図

直線OPを引いたことで、線分OA , OB , OPが半径に等しくなりました。このことから、△OAP , △OBPは二等辺三角形になります。二等辺三角形の性質を利用します。

\begin{align*}
&\quad OA = OB = OP \\[ 5pt ]
&\text{より、$\triangle OAP \ , \ \triangle OBP$ は二等辺三角形。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、} \\[ 5pt ]
&\quad \angle OAP = \angle OPA \quad \text{…①} \\[ 5pt ]
&\quad \angle OBP = \angle OPB \quad \text{…②}
\end{align*}

円周角の定理の証明その3の図

次は三角形の外角を利用します。

\begin{align*}
&\text{三角形の外角より、} \\[ 5pt ]
&\quad \angle AOQ = \angle OAP + \angle OPA \\[ 5pt ]
&\quad \angle BOQ = \angle OBP + \angle OPB \\[ 5pt ]
&\text{これと①,②より、} \\[ 5pt ]
&\quad \angle AOQ = 2 \angle OPA \quad \text{…③} \\[ 5pt ]
&\quad \angle BOQ = 2 \angle OPB \quad \text{…④}
\end{align*}

円周角の定理の証明その3の図

さいごに中心角∠AOBを円周角∠APBで表します。

\begin{align*}
\angle AOB &= \angle BOQ – \angle AOQ \\[ 5pt ]
&= 2 \angle OPB – 2 \angle OPA \quad \text{(③,④より)} \\[ 5pt ]
&= 2 ( \angle OPB – \angle OPA ) \\[ 5pt ]
&= 2 \angle APB \\[ 5pt ]
\therefore \ \angle APB &= \frac{1}{2} \angle AOB
\end{align*}

円周角の定理の証明その3の図

以上のことから、中心Oが円周角∠APBの外部にあるとき、円周角は中心角の半分(1/2)であるので、円周角の定理は成り立ちます。

補助線として直線OP(直径)を引くのはパターン①と同じですが、中心角∠AOBを円周角∠APBで表すとき、外角の和ではなく、外角の差になるので注意しましょう。

円周角の定理の証明その3

どのパターンでも補助線を引いて二等辺三角形を作っています。二等辺三角形ができれば、底角や外角を利用して、円周角と中心角の関係を導出することができます。

円周角の定理の証明

1つの弧に対する円周角の大きさは等しいことの証明

「1つの弧に対する円周角の大きさは等しい」ことの証明は「円周角は中心角の半分(1/2)である」ことの証明を利用します。

円周角∠APBは、中心Oとの関係によって3パターンに場合分けできましたが、すべて中心角∠AOBで表すことができました。ですから、弧が変わらなければ、点Pの位置がどこにあっても円周角の大きさは中心角の半分で表され、すべて等しくなります。

定理の証明はセンター試験で何度も出題されている。定理の証明方法を知っておくことは入試対策になるので、暗記で済ませないようにしよう。

次は円周角の定理の逆を証明してみましょう。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
kiri

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