図形の性質｜円周角について
今回は円周角について学習しましょう。
円周角についてはすでに中学で学習済みですが、高校では三角形に加えて四角形との関係も学習します。既習内容を確認しながら取り組んでいくと理解がより深まるでしょう。
また、「図形の性質」でもいくつかの定理や性質を学習したので、証明問題を扱うようになってきます。
積極的に取り組んで、論理的に記述する能力を向上させましょう。他の科目でもきっと役立つはずです。
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円周角の定理とその定理の逆
この単元では、円周角の定理とその定理の逆について学習します。
円周角の定理は、中学で既に学習しましたが、次の２つの事柄が成り立つ定理です。
円周角の定理
- １つの弧に対する円周角の大きさは等しい。
- 円周角は中心角の半分（１/２）である。
中学では、どちらも成り立つという前提で利用していただけです。ですから、本当に成り立つことを証明せよ、と言われると困る人は多いかもしれません。
それに対して高校では、これらの証明問題が出題されることがあるので、きちんと準備しておくことが望ましいでしょう。
円周角の定理の逆は次の事柄が成り立つ定理です。こちらは四角形を扱った問題でよく出題されます。
円周角の定理の逆
２点Ｐ，Ｑが直線ＡＢの同じ側にあって、∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＢが成り立つとき、４点Ａ，Ｂ，Ｐ，Ｑが同一円周上にある。
円周角の定理とその逆の関係を整理してみましょう。ちゃんと逆の関係になっていることが分かります。
円周角の定理とその逆の関係
円周上に４点がある ⇒ 円周角が等しい（円周角の定理）
４点があり、（円周角に相当する）角の大きさが等しくなる ⇒ ４点は同一円周上にある（円周角の定理の逆）
はじめに円が与えられていない場合、円周角の定理の逆が成り立つことに全く気付かないことがよくあります。多めに演習をこなしておきましょう。
円周角の定理を証明しよう
円周角の定理
- １つの弧に対する円周角の大きさは等しい。
- 円周角は中心角の半分（１/２）である。
まず「円周角は中心角の半分（１/２）である。」ことを証明してみましょう。「１つの弧に対する円周角の大きさは等しい」ことの証明を後に回した方が易しくなります。
中心をＯとする円の周上に３点Ａ，Ｂ，Ｐがあるとします。このとき、円周角∠ＡＰＢができます。
円周角∠ＡＰＢができる位置は、点Ｐの位置によって異なります。中心Ｏの位置に注目して、３通りのパターンに場合分けして証明します。
「円周角は中心角の半分（１/２）である」ことの証明は３パターンの場合分け
- 中心Ｏが円周角∠ＡＰＢの内部にあるとき
- 中心Ｏが円周角を作る線分ＡＰ上にあるとき
- 中心Ｏが円周角∠ＡＰＢの外部にあるとき
３パターンありますが、証明の流れは大筋で変わりません。
また、既習内容で証明できるので、良い復習になります。ぜひ挑戦してみて下さい。
中心Ｏが円周角∠ＡＰＢの内部にあるとき
中心Ｏが円周角∠ＡＰＢの内部にあるとき、円周角は中心角の半分（１/２）であることを証明します。
補助線として直線ＯＰを引き、直線ＯＰと円との交点をＱとします。
直線ＯＰを引いたことで、線分ＯＡ，ＯＢ，ＯＰが半径に等しくなりました。
このことから、△ＯＡＰ，△ＯＢＰは二等辺三角形になります。
二等辺三角形の性質を利用すると、角の関係が得られます。
二等辺三角形の性質を利用する
\begin{align*} \quad OA = OB = OP \end{align*}より、$\triangle OAP \ , \ \triangle OBP$ は二等辺三角形。
よって
\begin{align*} &\quad \angle OAP = \angle OPA \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \angle OBP = \angle OPB \quad \cdots \text{②} \end{align*}
次は三角形の外角を利用します。
三角形の外角を利用する
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle OBP &= \angle OPB \quad \cdots \text{②} \end{align*}三角形の外角より
\begin{align*} &\quad \angle AOQ = \angle OAP + \angle OPA \\[ 7pt ] &\quad \angle BOQ = \angle OBP + \angle OPB \end{align*}これと①，②より
\begin{align*} &\quad \angle AOQ = 2 \angle OPA \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \angle BOQ = 2 \angle OPB \quad \cdots \text{④} \end{align*}さいごに中心角∠ＡＯＢを円周角∠ＡＰＢで表します。
中心角∠ＡＯＢを円周角∠ＡＰＢで表す
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \angle AOB &= \angle AOQ + \angle BOQ \\[ 7pt ] &= 2 \angle OPA + 2 \angle OPB \quad \text{(③，④より)} \\[ 7pt ] &= 2 ( \angle OPA + \angle OPB ) \\[ 7pt ] &= 2 \angle APB \\[ 7pt ] \therefore \ \angle APB &= \frac{1}{2} \angle AOB \end{align*}以上のことから、中心Ｏが円周角∠ＡＰＢの内部にあるとき、円周角は中心角の半分（１/２）であるので、円周角の定理は成り立ちます。
証明のポイントは、補助線として引いた直線ＯＰ（直径）です。
中心Ｏが円周角を作る線分ＡＰ上にあるとき
中心Ｏが円周角を作る線分ＡＰ上にあるとき、円周角は中心角の半分（１/２）であることを証明します。
このパターンでは、直線ＯＰに対応する直径ＡＰがあるので、補助線は必要ありません。
パターン①と同じ流れで証明します。△ＯＢＰが二等辺三角形になることを利用します。
二等辺三角形の性質を利用する
\begin{align*} \quad OB = OP \end{align*}より、$\triangle OBP$ は二等辺三角形。
よって
\begin{align*} \quad \angle OBP = \angle OPB \quad \cdots \text{①} \end{align*}次は三角形の外角を利用します。∠ＡＯＢは、△ＯＢＰの外角ですが、中心角でもあることに注意します。
三角形の外角を利用する
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle OBP &= \angle OPB \quad \cdots \text{①} \end{align*}三角形の外角より
\begin{align*} \quad \angle AOB = \angle OBP + \angle OPB \end{align*}これと①より
\begin{align*} \quad \angle AOB &= 2 \angle OPB \\[ 7pt ] \quad \angle OPB &= \frac{1}{2} \angle AOB \\[ 7pt ] \therefore \ \angle APB &= \frac{1}{2} \angle AOB \end{align*}以上のことから、中心Ｏが円周角を作る線分ＡＰ上にあるとき、円周角は中心角の半分（１/２）であるので、円周角の定理は成り立ちます。
３つのパターンの中で最も簡単な証明になるので、証明の流れを把握するのに利用しましょう。
中心Ｏが円周角∠ＡＰＢの外部にあるとき
中心Ｏが円周角∠ＡＰＢの外部にあるとき、円周角は中心角の半分（１/２）であることを証明します。
補助線として直線ＯＰを引き、直線ＯＰと円との交点をＱとします。少し複雑な図になりますが、パターン①と同じ流れで証明します。
直線ＯＰを引いたことで、線分ＯＡ，ＯＢ，ＯＰは半径に等しくなりました。
このことから、△ＯＡＰ，△ＯＢＰは二等辺三角形になります。
二等辺三角形の性質を利用します。
二等辺三角形の性質を利用する
\begin{align*} \quad OA = OB = OP \end{align*}より、$\triangle OAP \ , \ \triangle OBP$ は二等辺三角形。
よって
\begin{align*} &\quad \angle OAP = \angle OPA \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \angle OBP = \angle OPB \quad \cdots \text{②} \end{align*}次は三角形の外角を利用します。
三角形の外角を利用する
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle OBP &= \angle OPB \quad \cdots \text{②} \end{align*}三角形の外角より
\begin{align*} &\quad \angle AOQ = \angle OAP + \angle OPA \\[ 7pt ] &\quad \angle BOQ = \angle OBP + \angle OPB \end{align*}これと①，②より
\begin{align*} &\quad \angle AOQ = 2 \angle OPA \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \angle BOQ = 2 \angle OPB \quad \cdots \text{④} \end{align*}さいごに中心角∠ＡＯＢを円周角∠ＡＰＢで表します。
中心角∠ＡＯＢを円周角∠ＡＰＢで表す
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \angle AOB &= \angle BOQ – \angle AOQ \\[ 7pt ] &= 2 \angle OPB – 2 \angle OPA \quad \text{(③，④より)} \\[ 7pt ] &= 2 ( \angle OPB – \angle OPA ) \\[ 7pt ] &= 2 \angle APB \\[ 7pt ] \therefore \ \angle APB &= \frac{1}{2} \angle AOB \end{align*}以上のことから、中心Ｏが円周角∠ＡＰＢの外部にあるとき、円周角は中心角の半分（１/２）であるので、円周角の定理は成り立ちます。
補助線として直線ＯＰ（直径）を引くのはパターン①と同じです。異なるのは、中心角∠ＡＯＢを円周角∠ＡＰＢで表すとき、外角の和ではなく、外角の差になることです。注意しましょう。
どのパターンでも二等辺三角形を上手に利用しています。二等辺三角形があれば、底角や外角を利用して、円周角と中心角の関係を導出することができます。
１つの弧に対する円周角の大きさは等しいことの証明
「１つの弧に対する円周角の大きさは等しい」ことの証明は「円周角は中心角の半分（１/２）である」ことの証明を利用します。
円周角∠ＡＰＢは、中心Ｏとの関係によって３パターンに場合分けしましたが、すべての場合で中心角∠ＡＯＢを用いて表されます。
以上のことから、円周角の大きさは、点Ｐがどの位置にあっても中心角の半分で表され、すべて等しくなります。
定理の証明は、過去のセンター試験で何度も出題されている。定理の証明方法を知っておくことは入試対策になるので、暗記で済ませないようにしよう。
次は円周角の定理の逆を証明してみましょう。
円周角の定理の逆を証明しよう
円周角の定理の逆
２点Ｐ，Ｑが直線ＡＢの同じ側にあって、∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＢが成り立つとき、４点Ａ，Ｂ，Ｐ，Ｑが同一円周上にある。
円周角の定理の逆の証明は、逆説的に行うので、初見では難しいかもしれません。次の２パターンの場合に分けて証明します。
「円周角の定理の逆」の証明は２パターンの場合分け
- 点Ｐが△ＡＢＱの外接円の内部にあるとき
- 点Ｐが△ＡＢＱの外接円の外部にあるとき
△ＡＢＱの外接円に対する点Ｐの位置によって場合分けします。
点Ｐが△ＡＢＱの外接円の周上にあれば、円周角の定理より、∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＢ が成り立つのは明らかです。
点Ｐが△ＡＢＱの外接円の内部にあるとき
図のように、△ＡＢＱの外接円を考えます。
３点Ａ，Ｂ，Ｑは円周上にあるので、∠ＡＱＢは円周角です。
また、点Ｐは外接円の内部にあるので、∠ＡＰＢは円周角ではありません。
このとき、直線ＡＰと外接円との交点をＰ’とすると、∠ＡＰ’Ｂは円周角になります。
このような図形において、∠ＡＰＢと∠ＡＱＢの関係を調べます。
∠ＡＰＢと∠ＡＱＢの関係を調べる
点 $P’$ は円周上の点であるので
\begin{align*} \quad \angle AP’B = \angle AQB \end{align*}また、三角形の外角より
\begin{align*} \quad \angle APB = \angle AP’B + \angle P’BP \end{align*}であるので
\begin{align*} \quad \angle APB \gt \angle AP’B \end{align*}よって
\begin{align*} \quad \angle APB \gt \angle AQB \end{align*}以上のことから、点Pが外接円の内部にあるとき、∠ＡＰＢ≠∠ＡＱＢであることを証明できました。
点Ｐが△ＡＢＱの外接円の外部にあるとき
図のように、△ＡＢＱの外接円を考えます。
３点Ａ，Ｂ，Ｑは円周上にあるので、∠ＡＱＢは円周角です。
また、点Ｐは外接円の外部にあるので、∠ＡＰＢは円周角ではありません。
このとき、辺ＡＢ上に２点Ａ，Ｂとは異なる点Ｃをとります。そして、直線ＣＰと外接円との交点をＰ’とすると、∠ＡＰ’Ｂは円周角になります。
このような図形において、∠ＡＰＢと∠ＡＱＢの関係を調べます。
∠ＡＰＢと∠ＡＱＢの関係を調べる
三角形の外角より
\begin{align*} &\quad \angle APC = \angle AP’C \ – \angle PAP’ \\[ 7pt ] &\quad \angle CPB = \angle CP’B \ – \angle PBP’ \end{align*}また
\begin{align*} \quad \angle APB = \angle APC + \angle CPB \end{align*}であるので
\begin{align*} &\quad \angle APB = ( \angle AP’C + \angle CP’B ) \ – ( \angle PAP’ + \angle PBP’ ) \\[ 7pt ] &\quad \angle APB = \angle AP’B \ – ( \angle PAP’ + \angle PBP’ ) \end{align*}これより
\begin{align*} \quad \angle APB \lt \angle AP’B \end{align*}よって
\begin{align*} \quad \angle APB \lt \angle AQB \end{align*}以上のことから、点Ｐが外接円の外部にあるとき、∠ＡＰＢ≠∠ＡＱＢであることを証明できました。
どちらの場合も∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＢとはなりません。つまり、∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＢとなるには点Ｐも△ＡＢＱの外接円の周上になければならないということです。
したがって、２点Ｐ，Ｑが直線ＡＢの同じ側にあって、∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＢが成り立てば、４点Ａ，Ｂ，Ｐ，Ｑが同一円周上にあると言えます。
次は円周角の定理などを扱った問題を解いてみましょう。