図形の性質｜円周角について
円周角の定理やその逆を扱った問題を解いてみよう
次の問題を考えてみましょう。
問(1)の解答・解説
問(1)
図における角 $x \ (= \angle ACB)$
中心角∠ＡＯＢと円周角∠ＡＣＢはともに同一の弧ＡＢに対してできた角です。円周角の定理が成り立つことを利用して角ｘを求めます。
問(1)の解答例
$\angle AOB$ は弧 $AB$ に対する中心角、$\angle ACB$ は弧 $AB$ に対する円周角である。
円周角の定理より
\begin{align*} \quad x &= \frac{1}{2} \angle AOB \\[ 7pt ] &= \frac{1}{2} \cdot 40^{\circ} \end{align*}問(1)は中学レベルの問題なので、確実に解けるようにしておきましょう。
円周角と中心角の関係を考えるとき、弧の確認を徹底しよう。
問(2)の解答・解説
問(2)
図における角 $y \ (= \angle CAD)$
∠ＢＡＣと∠ＢＤＣに注目します。
２点Ａ，Ｄは直線ＢＣの同じ側にあり、∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝３５°です。このことから、円周角の定理の逆が成り立ちます。
円周角の定理の逆から、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが同一円周上にあると言えます。このとき、四角形ＡＢＣＤは円に内接する四角形となります。
このことに気付けば、円周角の定理を利用して角ｙを求めることができます。
問(2)の解答例
直線 $BC$ の同じ側にある $2$ 点 $A \ , \ D$ について
\begin{align*} \quad \angle BAC = \angle BDC = 35^{\circ} \end{align*}円周角の定理の逆より、$4$ 点 $A \ , \ B \ , \ C \ , \ D$ は同一円周上にある。
これより
\begin{align*} \quad y = \angle CBD \end{align*}$\angle CBD= 30^{\circ}$ より
\begin{align*} \quad y = 30^{\circ} \end{align*}問(2)のように円がないと、円周角の定理の逆に気付かないことが多いので注意しましょう。
四角形を扱った角度の問題では、円周角の定理の逆を利用することが多いので要注意です。円がないので気付かないことが多いので、多めに演習をこなしておきましょう。
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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう
- １つ（同一）の弧に対する円周角の大きさは等しい。
- １つ（同一）の弧に対して、円周角は中心角の半分（１/２）になる。
- 円周角の定理の逆が成り立つとき、４点は同一円周上にある。
- 円周角の定理の逆は、主に四角形を扱った問題で出題される。