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複素数と方程式|2次方程式の係数と2つの解の符号について

数学2 複素数と方程式 解と係数の関係数学II

今回は、2次方程式の係数と2つの解の符号について学習しましょう。これまでの学習で、2次方程式の係数が、2つの解と関わりがあることが分かりました。ここでは、この関係を2つの解の符号と絡めて学習します。

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2次方程式の実数解の符号

2次方程式が2つの実数解をもつとき、これらの符号からどのような条件が成り立つのかを考えてみましょう。

2つの実数解が取り得る符号の組み合わせは3通りあります。

2つの実数解が取り得る符号の組み合わせは3通り

  • 2つの実数解の符号がともに正
  • 2つの実数解がともに負
  • 2つの実数解が異符号

それぞれの場合について、どのような条件が成り立つのかを考えます。

2つの実数解の符号がともに正の場合

2次方程式の解を考えるとき、2次関数のグラフを用いると視覚化されて理解しやすくなります。

2次関数のグラフでは、2次方程式の解は、グラフと x 軸との共有点の x 座標です。ですから、グラフが x 軸と共有点をもてば、2次方程式は実数解をもつことになります。

2つの実数解の符号がともに正であるということは、2つの共有点の x 座標がともに正であるということです。ですから、以下のようにグラフを図示できます。

図のように、グラフが x 軸と共有点をもつためには、以下のような条件が成り立つ必要があります。

2つの実数解の符号がともに正である場合(1)
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{また、判別式を $D=b^{\scriptsize{2}}-4ac$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{$\alpha \gt 0$ かつ $\beta \gt 0$ となるには、$f(x)=ax^{\scriptsize{2}}+bx+c \ (a \gt 0)$ の} \\[ 5pt ]
&\text{グラフと $x$ 軸との共有点の関係から} \\[ 5pt ]
&\quad D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \ -\frac{b}{2a} \gt 0 \ , \ f(0) \gt 0 \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\text{が成り立てばよい。}
\end{align*}

この条件は2次関数のグラフと x 軸との位置関係から得られます。ただ、この単元では、解と係数との関わりを中心に学習しています。ですから、2つの実数解を用いて条件を書き出してみましょう。以下のようになります。

2つの実数解の符号がともに正である場合(2)
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{また、判別式を $D=b^{\scriptsize{2}}-4ac$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{$\alpha \gt 0$ かつ $\beta \gt 0$ となるには、} \\[ 5pt ]
&\quad D \geqq 0 \ , \ \alpha+\beta \gt 0 \ , \ \alpha \beta \gt 0 \quad \text{…②} \\[ 7pt ]
&\text{が成り立てばよい。}
\end{align*}

判別式だけでは、実数解の個数しか決定できません。2つの実数解の符号を決定するには、2つの実数解の和と積を利用します。2つの実数解の符号がともに正であるためには、2つの実数解の和と積がともに正でなければなりません。

2つの条件の違い

2次関数のグラフを用いたときと、2次方程式の2つの実数解で考えたときの条件を整理すると以下のようになります。

2つの条件の違いを比較する(1)
\begin{align*}
&\text{2次関数のグラフから得られる条件} \\[ 5pt ]
&\quad D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \ -\frac{b}{2a} \gt 0 \ , \ f(0) \gt 0 \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\text{2次方程式から得られる条件} \\[ 5pt ]
&\quad D \geqq 0 \ , \ \alpha+\beta \gt 0 \ , \ \alpha \beta \gt 0 \quad \text{…②}
\end{align*}

条件①と条件②は、全く別物のように感じるかもしれませんが、そうでもありません。もう少し詳しく調べてみると、2つの条件が等価であることが分かります。

2つの条件の違いを比較する(2)
\begin{align*}
&\quad \text{軸} \ -\frac{b}{2a} \gt 0 \quad \text{より} \quad -\frac{b}{a} \gt 0 \\[ 7pt ]
&\quad \alpha+\beta \gt 0 \quad \text{より} \quad -\frac{b}{a} \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{となり、等価である。また、} \\[ 5pt ]
&\quad f(0) \gt 0 \quad \text{より} \quad c \gt 0 \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta \gt 0 \quad \text{より} \quad \frac{c}{a} \gt 0 \quad \text{すなわち} \quad c \gt 0 \quad (a \gt 0) \\[ 7pt ]
&\text{となり、こちらも等価である。}
\end{align*}

条件②では、解と係数の関係を利用しています。得られる条件の見た目は違っていますが、最終的には同じ条件が得られるので実質的に等価です。ですから、2次方程式の2つの実数解の和と積を用いて、2つの実数解の符号が成り立つ条件を考えて構わないのです。

ただし、グラフは視覚化することでイメージを明確できるので、図示しながら考えると良いでしょう。

2つの実数解の符号がともに正となるための条件
\begin{align*}
&\quad \text{$\alpha \gt 0$ かつ $\beta \gt 0$} \quad \Longleftrightarrow \quad D \geqq 0 \ , \ \alpha+\beta \gt 0 \ , \ \alpha \beta \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{ただし、2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta$} \\[ 5pt ]
&\text{判別式を $D=b^{\scriptsize{2}}-4ac$ とする。}
\end{align*}

グラフの様子もセットで覚えておきましょう。

2つの実数解の符号がともに負の場合

残りの符号の組み合わせの場合も同じ要領です。2次関数のグラフを図示すると、以下のようになります。

2次関数のグラフを用いたときと、2次方程式の2つの実数解で考えたときの条件を整理すると以下のようになります。

2つの実数解がともに負である場合
\begin{align*}
&\text{$\alpha \lt 0$ かつ $\beta \lt 0$ となるための条件は以下の通り。} \\[ 5pt ]
&\text{2次関数のグラフから得られる条件} \\[ 5pt ]
&\quad D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \ -\frac{b}{2a} \lt 0 \ , \ f(0) \gt 0 \quad \text{…③} \\[ 7pt ]
&\text{2次方程式から得られる条件} \\[ 5pt ]
&\quad D \geqq 0 \ , \ \alpha+\beta \lt 0 \ , \ \alpha \beta \gt 0 \quad \text{…④}
\end{align*}

2つの実数解の符号がともに負であるためには、2つの実数解の和が負、かつ積が正でなければなりません。条件③と条件④は、見た目は異なりますが、やはり等価です。

2つの実数解の符号がともに負となるための条件
\begin{align*}
&\quad \text{$\alpha \lt 0$ かつ $\beta \lt 0$} \quad \Longleftrightarrow \quad D \geqq 0 \ , \ \alpha+\beta \lt 0 \ , \ \alpha \beta \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{ただし、2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta$} \\[ 5pt ]
&\text{判別式を $D=b^{\scriptsize{2}}-4ac$ とする。}
\end{align*}

グラフもセットで覚えましょう。

2つの実数解の符号が異符号の場合

2つの実数解の符号が異符号の場合はこれまでよりも条件が少なくなりますが、同じ要領です。2次関数のグラフを図示すると、以下のようになります。

2次関数のグラフを用いたときと、2次方程式の2つの実数解で考えたときの条件を整理すると以下のようになります。

2つの実数解の符号が異符号である場合
\begin{align*}
&\text{$\alpha$ と $\beta$ の符号が異符号となるための条件は以下の通り。} \\[ 5pt ]
&\text{2次関数のグラフから得られる条件} \\[ 5pt ]
&\quad f(0) \lt 0 \quad \text{…⑤} \\[ 7pt ]
&\text{2次方程式から得られる条件} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha \beta \lt 0 \quad \text{…⑥}
\end{align*}

2つの実数解の符号が異符号であるためには、2つの実数解の積が負でなければなりません。和については、正のときも負のときもあるので一意に決まりません。

なお、これらの条件が成り立てば、2次方程式が2つの実数解をもつという条件(D >0)が成り立つので、判別式の条件は不要です。条件⑤と条件⑥は、これまでと同じように等価です。

2つの実数解の符号が異符号となるための条件
\begin{align*}
&\quad \text{$\alpha$ と $\beta$ の符号が異符号} \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha \beta \lt 0 \\[ 7pt ]
&\text{ただし、2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta$ とする。}
\end{align*}

グラフもセットで覚えましょう。

2つの実数解の符号の組み合わせとその条件のまとめ

3通りの組み合わせについて、まとめると以下のようになります。

2つの実数解の符号の組み合わせとその条件
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{また、判別式を $D=b^{\scriptsize{2}}-4ac$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{[1] $\alpha \gt 0$ かつ $\beta \gt 0$} \quad \Longleftrightarrow \quad D \geqq 0 \ , \ \alpha+\beta \gt 0 \ , \ \alpha \beta \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{[2] $\alpha \lt 0$ かつ $\beta \lt 0$} \quad \Longleftrightarrow \quad D \geqq 0 \ , \ \alpha+\beta \lt 0 \ , \ \alpha \beta \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{[3] $\alpha$ と $\beta$ の符号が異符号} \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha \beta \lt 0 \\[ 7pt ]
&\text{(ただし、[3]のとき、$D \gt 0$ が成り立つので、判別式の条件は不要。)}
\end{align*}

2次方程式の2つの実数解の符号についての問題では、2つの実数解の和と積を利用して条件を導きます。2つの実数解の和と積であれば、解と係数の関係から、係数や定数項についての式を導くことができます。

次は、2次方程式の係数と2つの解の符号を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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