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複素数と方程式|複素数の基本について

数学2 複素数と方程式 数学II

今回から新しい単元「複素数と方程式」について学習します。ここでは、複素数の基本について学習しましょう。

数学2で学習する「複素数」についての内容は、基本的な事柄ばかりです。ですから、複素数の有用性をほとんど感じることができないかもしれません。

本格的な内容は、数学3(複素数平面)で学習します。複素数平面まで学習すると、複素数のことがもっと分かるでしょう。ここでは複素数の定義や基本的な扱い方をマスターするのが目標になります。

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複素数

複素数について、基本事項は3つあります。複素数を扱うためのお約束なので、しっかり覚えましょう。

複素数の基本

  • 虚数単位
  • 複素数の表し方
  • 複素数の相等

複素数とは、実数と虚数の総称です。実数については、数学1の「数の定義」で学習済みです。

虚数単位

虚数は、実数でないものですが、虚数単位を用いて表されます。虚数単位は以下のように定義されています。

虚数単位
\begin{align*}
&\text{虚数単位を $i$ とすると} \\[ 10pt ]
&\quad i^{\scriptsize{2}} = -1 \\[ 10pt ]
&\text{を満たす。}
\end{align*}

定義から分かるように、虚数単位 i は、二乗すると-1になる数であり、-1の平方根となります。ちなみに、実数では、二乗して負の数になるものはありません

虚数単位
\begin{align*}
&\text{虚数単位を $i$ とすると} \\[ 10pt ]
&\quad i = \sqrt{-1}
\end{align*}

複素数の表し方

実数と虚数を含む複素数は、以下のように表されます。

複素数の表し方
\begin{align*}
&\text{$a \ , \ b$ を実数、$i$ を虚数単位とする。} \\[ 10pt ]
&\text{このとき、複素数は} \\[ 10pt ]
&\quad a+bi \\[ 10pt ]
&\text{と表される数である。} \\[ 10pt ]
&\text{また、$a$ を複素数の実部、$b$ を複素数の虚部という。}
\end{align*}

複素数は、実数と虚数との和で表されます。このような複素数において、実数部分 a を複素数の実部、虚数部分の b を複素数の虚部と言います。

この実部と虚部によって、実数と虚数を含む表し方が可能となります。

実数と虚数
\begin{align*}
&\text{$a \ , \ b$ を実数、$i$ を虚数単位とする。} \\[ 10pt ]
&\text{複素数} \ a+bi \\[ 10pt ]
&\quad =
\begin{cases}
\text{実数} \ a & ( b = 0 ) \\
\text{虚数} \ a+bi & ( b \neq 0 ) \\
\text{純虚数} \ bi & ( a=0 \ , \ b \neq 0 )
\end{cases}
\end{align*}

虚数の中でも、実部を持たないものを純虚数と言います。以後、特に断りがない場合、i は虚数単位を表すものとします。

確認問題1

ここで、理解度を確認するために、色々な複素数の実部や虚部を考えてみましょう。

確認問題1
\begin{align*}
&\text{次の複素数の実部と虚部を答えよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad 3-\sqrt{2}i \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{-1+i}{2} \\[ 10pt ]
&(3) \quad 4i \\[ 10pt ]
&(4) \quad -\frac{1}{3}
\end{align*}

確認問題1の解答・解説

複素数の表し方を思い出しましょう。

複素数の表し方
複素数: $a+bi$ で表される数
$a$:実数、複素数の実部
$b$:実数、複素数の虚部
$i$:虚数単位

複素数の定義に合うように、与式をそれぞれ変形します。

解答例① 定義の式に変形する
\begin{align*}
&(1) \quad 3-\sqrt{2}i = 3+\bigl( -\sqrt{2} \bigr)i \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{-1+i}{2} = -\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i \\[ 10pt ]
&(3) \quad 4i = 0+4i \\[ 10pt ]
&(4) \quad -\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}+0 \cdot i
\end{align*}

定義の式と見比べると、実部と虚部に相等する実数が分かります。

解答例② 定義の式と見比べる
\begin{align*}
&(1) \quad \text{実部 $3 \quad$ 虚部 $-\sqrt{2}$} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \text{実部 $-\frac{1}{2} \quad$ 虚部 $\frac{1}{2}$} \\[ 10pt ]
&(3) \quad \text{実部 $0 \quad$ 虚部 $4$} \\[ 10pt ]
&(3) \quad \text{実部 $-\frac{1}{3} \quad$ 虚部 $0$}
\end{align*}

虚部について、虚数単位をつけたままにしたり、符号ミスをしたりすることが多いので、気をつけましょう。

複素数の定義をしっかり覚えよう。

複素数の相等

2つの複素数について、等式が成り立つとき、実部と虚部に以下のような関係が成り立ちます。

複素数の相等その1
\begin{align*}
&\quad a+bi = c+di \\[ 5pt ]
&\text{ならば、} \\[ 5pt ]
&\quad a=c \quad \text{かつ} \quad b=d \\[ 10pt ]
&\text{また、} \\[ 5pt ]
&\quad a=c \quad \text{かつ} \quad b=d \\[ 5pt ]
&\text{ならば、} \\[ 5pt ]
&\quad a+bi = c+di
\end{align*}

この関係を複素数の相等と言います。また、以下の事柄も成り立ちます。

複素数の相等その2
\begin{align*}
&\quad a+bi = 0 \\[ 5pt ]
&\quad \Longleftrightarrow \text{$a=0$ かつ $b=0$}
\end{align*}

複素数の相等については、つねに等式が成り立つことから、恒等式と捉えても良いでしょう。

確認問題2

ここで、理解度を確認するために、色々な複素数の実部や虚部を考えてみましょう。

確認問題2
\begin{align*}
&\text{次の等式を満たす実数 $x \ , \ y$ の値を求めよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad x+2i = 9-yi \\[ 10pt ]
&(2) \quad \bigl( 2x-1 \bigr)+\bigl( y+3 \bigr)i=0
\end{align*}

確認問題2の解答・解説

複素数の相等を利用して求めます。

複素数の相等
\begin{align*}
&\quad a+bi = c+di \\[ 5pt ]
&\quad \Longleftrightarrow \text{$a=c$ かつ $b=d$} \\[ 10pt ]
&\quad a+bi = 0 \\[ 5pt ]
&\quad \Longleftrightarrow \text{$a=0$ かつ $b=0$}
\end{align*}

複素数の相等より、両辺の実部と虚部について、それぞれ等式が成り立ちます。

解答例① 複素数の相等を利用する
\begin{align*}
&(1) \quad x+2i = 9-yi \\[ 5pt ]
&\text{$x \ , \ y$ は実数であるので} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$x=9$ かつ $2=-y$} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \bigl( 2x-1 \bigr)+\bigl( y+3 \bigr)i=0 \\[ 5pt ]
&\text{$2x-1 \ , \ y+3$ は実数であるので} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$2x-1=0$ かつ $y+3=0$}
\end{align*}

実部と虚部はともに実数であることに注意しましょう。それぞれ条件式を導くことができたら整理します。

解答例② 条件式を整理する
\begin{align*}
&(1) \quad \text{$x=9$ かつ $2=-y$ より、$x=9 \ , \ y=-2$} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \text{$2x-1=0$ かつ $y+3=0$ より、$x=\frac{1}{2} \ , \ y=-3$}
\end{align*}

今後、色々な複素数を扱うので、実部と虚部をしっかり把握できるようにしておきましょう。

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さいごにもう一度まとめ

  • 複素数は実数と虚数の総称。
  • 実部と虚部はともに実数。
  • 複素数が実数や虚数(純虚数)になるときの条件を覚えておこう。
  • 複素数では、虚数単位を用いる。
  • 複素数の相等では恒等式をイメージしよう。
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日々是鍛錬 ひびこれたんれん
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