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確率|条件つき確率について

確率数学A

今回は条件つき確率について学習しましょう。ここ数年のセンター試験では出題されているので、確実に出題されると考えておいた方が無難です。しっかりマスターしておきましょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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条件つき確率、乗法定理の定義

条件つき確率とは、2つの事象A , Bについて、Aが起こったという条件のもとでBが起こる確率のことです。

このAが起こったという条件のもとでBが起こる条件付き確率のことを $P_{A} (B)$と表します。

また、2つの事象A , Bがともに起こる積事象の確率 $P(A \cap B)$は、Aが起こる確率 $P(A)$Aが起こったという条件のもとでBが起こる条件付き確率 $P_{A} (B)$との積で表されます。これを乗法定理と言います。

乗法定理
\begin{equation*}
P \left( A \cap B \right) = P(A) \times P_{A} \left( B \right)
\end{equation*}

式や記号を見れば、条件つき確率 $P_{A} (B)$ と積事象が起こる確率 $P(A \cap B)$ が異なるものだと分かります。しかし、実際に問題を解くときに2つを区別するのは、単なる暗記では少々難しいです。ですから暗記で済ますのではなく、演習をこなすことで、2つの違いを理解し、区別できるようにしておきましょう。

条件付き確率と乗法定理の定義

条件つき確率を求めよう

特定の事象を全事象に見立てる

事象Aが起こったという条件のもとで、事象Bが起こる確率のことを条件つき確率 $P_{A} (B)$ と言います。この「事象Aが起こったという条件のもと」の部分がポイントです。

事象Aが起こったという条件のもと」ということなので、事象Aの中だけで考えれば良いということになります。言い換えると、事象Aが全事象となったと捉えることができます。

このように全事象に見立てた事象Aから無作為に選ぶときの話が、条件付き確率の話になります。普段の全事象 $U$ とは異なるので注意しましょう。

条件付き確率では、事象Aを全事象に見立てて考えるのがポイント。

2つの事象に共通な事象は積事象

以上のことから、条件つき確率 $P_{A} (B)$ は、全事象に見立てた事象Aから無作為に選んだものがBに属する確率と捉えることができます。

条件付き確率の意味

ところで、事象Aから無作為に選んだものが事象Bにも属するというのは、言い換えれば、事象A , Bがともに起こる積事象 $A \cap B$に属するということです。このことはベン図を見れば明らかです。

つまり、「事象Aが起こったという条件のもとで、事象Bが起こる」というのは、要素に注目して言い換えれば、「事象Aに属する要素の中で、事象Bにも属する要素である」ということです。

ですから、条件付き確率では、一方の事象の中で無作為に選んだ要素が、他方の事象にも属する共通の要素である確率を求めていることが分かります。

このことから、事象Aが起こったという条件のもとで、事象Bが起こる条件つき確率 $P_{A} (B)$ は以下のような式で表されます。

条件つき確率 $P_{A} (B)$
\begin{align*}
P_{A} \left( B \right) &= \frac{n \left( A \cap B \right)}{n \left( A \right)} \\[ 10pt ]
&= \frac{ \frac{n \left( A \cap B \right)}{n \left( U \right)} }{ \frac{n \left( A \right)}{n \left( U \right)} } \\[ 10pt ]
&= \frac{P \left( A \cap B \right)}{P(A)}
\end{align*}

確率は場合の数で求めるのが基本ですが、条件付き確率でも同じように求めることができます。最初のうちは各事象の要素を使って条件付き確率を求める方が簡単で、理解しやすいと思います。

また、2~3行目のように、式の分母と分子を全事象 $U$ の場合の数 $n(U)$ でそれぞれ割ると、確率を使って表すこともできます。

この場合、注意したいのは、全事象 $U$ に対する事象Aや積事象 $A \cap B$ が起こる確率を使うことです。記号の意味を理解し、慣れてきたら、確率の方でも解いてみると良いでしょう。

なお、両辺に $P(A)$ を掛けると、積事象 $A \cap B$ が起こる確率 $P(A \cap B)$ を表す式(乗法定理)が導出されます。

条件付き確率の式

条件つき確率では時間的な順序は関係ない

学習したての頃によく間違えるのは「事象Aが起こったという条件のもとで」という表現の取り扱いです。この表現から「事象Aが先に起こり、その後に事象Bが起こる(起こらなければならない)」と解釈しがちです。

このような解釈のままでいると、条件付き確率を扱った問題を解けるようにはなりません。実は、事象Aが起こったあとに事象Bが起こるとは限らない場合があります。時間的な順序は関係ないことに注意しましょう。

具体例をいくつか見てみましょう。

条件付き確率の具体例1
1~10の10個の整数から1個を無作為に選ぶとき、それが偶数であるという条件のもとで3の倍数である確率

10個の整数から1個を選ぶ試行は1回だけ行われます。ですから、選んだ整数が偶数である事象選んだ整数が3の倍数である事象同時に起こっています。2つの事象に時間的な順序がついていないことが分かります。

条件付き確率では時間的な順序は無視できる

条件付き確率の具体例2
10本中3本が当たりのくじをX , Yの順に1本ずつ引くとき、Yが当たりを引く(引いた)という条件のもとでXが当たりを引く(引いていた)確率。ただし、引いたくじは戻さない。

X , Yの2人が順番にくじを引くので、2つの試行には時間的に順番がついています。しかし、事象Aに相当するのは、Yが当たりを引く(引いた)事象です。これは、2回目の試行における事象です。

このように事象Aに相当するものが時間的に後の結果であっても問題ありません。時間的な順序は無視するようにしましょう。

条件付き確率では時間的な順序は無視できる

これまでをまとめると以下のようになります。

条件付き確率のまとめ

各種の確率の混同に注意しよう

学習したての頃は、各種の確率 $P(A) \ , \ P(A \cap B) \ , \ P_{A} (B)$ をよく混同しやすいので注意しましょう。それぞれの違いは、ベン図を利用するとよく理解することができます。字面だけでなく、図解しながら学習しましょう。

事象に属する要素(根元事象)に注目して違いをまとめると以下のようになります。

用語の違いを理解しよう

  • 事象Aが起こる $P(A)$ …全事象 $U$の中から無作為に選んだ要素が、事象 $A$ に属する確率
  • 積事象が起こる $P(A \cap B)$ …全事象 $U$の中から無作為に選んだ要素が、積事象 $A \cap B$ に属する確率
  • 条件付き確率 $P_{A} (B)$ …事象Aの中から無作為に選んだ要素が、事象Bに属する確率

これまで扱ってきた確率では、全事象はすべての根元事象を含む事象 $U$でした。しかし、条件付き確率では、全事象は特定の事象です。これが大きな違いで、ここを押さえておけば条件付き確率をマスターするのも早いでしょう。

次は実際に問題を解いてみましょう。

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