図形の性質｜作図について
角の二等分線を引こう
角の二等分線とは、角の大きさを二等分する直線のことです。
∠ＡＯＢの二等分線を引いてみましょう。手順は３つあります。
角の二等分線の手順①
コンパスを使って、点Ｏを中心とする円（弧）を描きます。コンパスを開いたままにしておきます。
角をつくる線分ＯＡ，ＯＢ上にそれぞれ交点ができます。それぞれの交点をＰ，Ｑとすると、ＯＰ＝ＯＱです。
角の二等分線の手順②
手順①と同じ要領でコンパスを使って、今度は点Ｐ，Ｑをそれぞれ中心とする円（弧）を描きます。
２つの円（弧）が交わって交点ができます。この交点をＲとすると、同じ半径の円（弧）を描いたのでＯＰ＝ＯＱ＝ＰＲ＝ＱＲです。これまでと同じように、４辺が等しい四角形（ひし形）ができます。
角の二等分線の手順③
２点Ｏ，Ｒを通る半直線ＯＲを定規で引きます。この半直線ＯＲが∠ＡＯＢの二等分線です。
角の二等分線かどうかを調べてみよう
半直線ＯＲが∠ＡＯＢの二等分線であることを確かめてみましょう。
作図の様子から分かるように、線分ＯＲ，ＰＱは、ひし形ＯＰＲＱの対角線です。ですから、これらは直交し、互いに他を二等分します。このことと△ＯＰＱが二等辺三角形であることに注目します。
二等辺三角形である△ＯＰＱにおいて、線分ＯＲは、底辺ＰＱの垂直二等分線となるだけでなく、頂角の二等分線にもなります。
ですから、頂角である∠ＰＯＱは、線分ＯＲによって二等分されます。したがって、半直線ＯＲは∠ＡＯＢの二等分線になります。
二等辺三角形において、底辺の垂直二等分線は、頂角の二等分線でもある。
角の二等分線の性質
垂直二等分線と同じように、角の二等分線がもつ性質も頻出なので覚えておきましょう。
角の二等分線がもつ性質として、∠ＡＯＢの二等分線上の点から、２辺ＯＡ，ＯＢまでの距離が等しい（ＣＲ＝ＤＲ）という性質があります。
点Ｒが∠ＡＯＢの二等分線上のどこにあっても、△ＯＣＲと△ＯＤＲは合同な直角三角形になるからです。ここで、点と線分との距離は、２点間の距離とは異なり、点から線分に引いた垂線の長さになるので注意しましょう。
このことから、∠ＡＯＢの二等分線は、交わる２つの定直線ＯＡ，ＯＢから等距離にある点の集まり（軌跡）になります。このような角の二等分線は、たとえば内心を作図するときに利用されます。
角の二等分線は、内心を作図する問題で出題される。
角の二等分線を引く手順の一覧です。
点を通る平行線を引こう
平行線とは、すでに引かれた直線や線分に対して平行な直線のことです。
直線ℓに対して、点Ａを通る平行線を引いてみましょう。ただし、点Ａは直線ℓ上にない点です。手順は３つあります。
平行線の手順①
直線ℓ上に、点Ｐをつくります。コンパスを使って、点Ｐを中心とする半径ＡＰの円（弧）を描きます。コンパスを開いたままにしておきます。
円（弧）と直線ℓの交点ができるので、この交点をＱとします。このときＡＰ＝ＰＱです。
平行線の手順②
手順①と同じ要領でコンパスを使って、今度は点Ａ，Ｑをそれぞれ中心とする円（弧）を描きます。
２つの円（弧）が交わって交点ができます。ただし、交点は点Ｐと反対側に作りましょう。
交点をＲとすると、同じ半径の円（弧）を描いたのでＡＰ＝ＰＱ＝ＡＲ＝ＱＲです。これで４辺が等しい四角形（ひし形）ができます。
平行線の手順③
２点Ａ，Ｒを通る直線を定規で引きます。この直線ＡＲが、点Ａを通る平行線です。
直線ＡＲが、直線ℓの平行線であることを確かめてみましょう。
作図するときにコンパスの開きを変えていないので、四角形ＡＰＱＲはひし形です。ひし形は平行四辺形の性質をもつので、２組の対辺は平行で、長さが等しくなっています。ですから、直線ＡＲは、直線ℓに対して平行な直線になります。
特定の点を通る平行線を引く手順の一覧です。
角を移して平行線を作図する
角の移し方
なお、平行線の作図は、ひし形をつくる代わりに、垂線を繰り返し作図することでも可能です。
その他には、基本作図の「角を移す」方法もあります。「角を移す」方法は、繰り返し垂線を作図するよりも主流になっています。
角を移す作図では、移動側に合同な三角形をつくるイメージをもつと分かりやすいです。
注意したいのは、移す角の大きさは６０°とは限らないので、コンパスの開き方を変える必要があるということです。同じ開き方だと正三角形ができてしまいます。
∠ＡＯＢと同じ大きさの∠Ａ’Ｏ’Ｂ’を作るとします。右図の初期状態は、線分Ｏ’Ｂ’だけがある状態です。
図の番号に従って円（弧）を描いていきます。ここで、同じ番号の円（弧）は同じ半径になるようにします。
初めに点Oを中心として円（弧）を描きます。すると、線分ＯＡ，ＯＢ上に交点ができます（①）。コンパスの開きはそのままで、これと同じことを線分Ｏ’Ｂ’にも行います。
次に交点間の長さを測ります（②）。おそらく①のときの半径とは異なるので、コンパスの開きが変わっても構いません。
長さを測ったコンパスの開きのままで、これと同じことを線分Ｏ’Ｂ’にも行います。移す方に交点ができるので、定規で直線を引くと同じ大きさの角をつくることができます。
角を移す方法で平行線を引く
平行線を引くとき、角を移す方法を利用すると、∠ＡＰＱと大きさの等しい角を錯角となるように移すことで作図できます。
コンパスの開き具合を∠ＡＰＱに合わせて変えることに注意が必要ですが、ひし形を作図する方法と併せて覚えておきましょう。
次は、実際に作図を扱った問題を解いてみましょう。