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集合と論理|逆、裏、対偶について

集合と論理数学I

今回は、逆、裏、対偶について学習しましょう。命題を色んな視点から扱います。

物事を一方向だけから見ることに慣れてしまうと、独りよがりな結論になっていることに気付けず、失敗してしまいます。それを防ぐためには、様々な角度から検証したり、論理的に思考したりする客観性を身に付けることです。一般に、数学Aではそのような能力を向上させることができるのではないかと思います。

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ある命題の逆、裏、対偶

ある命題「 $p \Rightarrow q$ 」の真偽を調べるとき、どうしても真偽を判定するのが難しい命題があります。そのような命題の真偽を調べるとき、命題の逆、裏、対偶を利用すると命題の真偽が簡単に分かることがあります。もとの命題とその逆、裏、対偶とがどのような関係があるかを知りましょう。

命題の逆、裏、対偶の定義

命題の逆、裏、対偶

逆とは、命題「 $p \Rightarrow q$ 」において、仮定と結論を入れ替えた「 $q \Rightarrow p$ 」のことです。また裏は、命題「 $p \Rightarrow q$ 」において、仮定と結論を否定した「 $\bar{p} \Rightarrow \bar{q}$ 」のことです。

さらに対偶は、命題「 $p \Rightarrow q$ 」において、命題の逆の裏、または命題の裏の逆となる「 $\bar{q} \Rightarrow \bar{p}$ 」のことです。詳細は後述しますが、逆、裏、対偶のうち、もとの命題の真偽と必ず一致するのは対偶だけです。

命題とその逆、裏、対偶との関係

先ほど述べましたが、命題によっては真偽を判定したり、真であることを証明するのが難しい命題があります。

たとえば「ある数が無理数である」ことの証明は意外と難しい証明です。無理数は、これが無理数だと言える数ではなく、単に有理数の定義にあてはまらない数だからです。

しかし、命題の対偶を利用した証明であれば遥かに楽になります。このように真偽の判定や証明の難しい命題に対しては、逆、裏、対偶を利用して視点を変えることで、真偽の判定や証明が楽になることがあります。

逆、裏、対偶の利用について

初見の問題だけでなく、たとえば大学別の個別試験(2次試験)などでは、色んな視点から問題を眺めることが必要になります。ですから、この単元はそのような視点で眺める訓練を積む単元だと思って取り組むと良いでしょう。また主観的にならず、客観的な視点を養うためにも必要な単元かと思います。

命題の真偽と、その逆、裏、対偶の真偽は一致するか

命題「 $p \Rightarrow q$ 」の真偽と、その逆、裏、対偶の真偽との関係を考えます。ある命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真であるとします。このとき、条件 $p \ , \ q$ に対応する集合 $P \ , \ Q$ には「 $P \subset Q$」という包含関係がありました。

命題が真であるときの包含関係

ベン図を使いながら、もとの命題が真であるときの逆、裏、対偶の真偽を調べてみましょう。

仮定 $p$ の否定 $\bar{p}$ は、ベン図では集合 $P$ の補集合 $\bar{P}$です。同じく結論 $q$ の否定 $\bar{q}$は、ベン図では集合 $Q$ の補集合 $\bar{Q}$です。これらの包含関係を考えれば、命題の逆、裏、対偶の真偽を判定することができます。

逆、裏、対偶と集合

命題の逆の真偽

命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真であるとき、その逆「 $q \Rightarrow p$ 」の真偽を考えてみましょう。ベン図から分かるように、反例が存在するので「 $Q \subset P$ 」という包含関係が成り立ちません。ですから、命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真であるからといって、その逆が必ず真になるとは限りません

もとの命題が真であっても、その逆が真とは限らない。

命題の裏の真偽

次は命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真であるとき、その裏「 $\bar{p} \Rightarrow \bar{q}$ 」の真偽を考えてみましょう。2つの補集合 $\bar{P} \ , \ \bar{Q}$ の包含関係をベン図を使って調べます。

ベン図から分かるように、反例が存在するので「 $\bar{P} \subset \bar{Q}$ 」という包含関係が成り立ちません。ですから、命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真であるからといって、その裏が必ず真になるとは限りません

もとの命題が真であっても、その裏が真とは限らない。

命題の対偶の真偽

次は命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真であるとき、その対偶「 $\bar{q} \Rightarrow \bar{p}$ 」の真偽を考えてみましょう。2つの補集合 $\bar{P} \ , \ \bar{Q}$ の包含関係をベン図を使って調べます。

ベン図から分かるように、「 $\bar{Q} \subset \bar{P}$ 」という包含関係が成り立ちます。ですから、命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真であるとき、その対偶は必ず真になります

もとの命題が真であれば、その対偶も真

このように与えられた命題が真であれば、その対偶は必ず真になります。命題の真偽を判定し辛いとき、この関係を利用します。

また、逆と裏は対偶の関係になるので、その真偽は一致します。ですから、命題とその逆、裏、対偶の真偽を調べるのは、実質、命題かその対偶のどちらかと、逆か裏のどちらかの2つの真偽を調べるだけで済みます。

命題とその逆、裏、対偶の関係を知っていれば、真偽を調べるのは実質2回で済む。

ベン図を使った真偽判定

逆、裏、対偶の真偽だけでなく、もとの命題の真偽を調べる問題は、センター試験でも頻出です。ベン図を上手に利用して、素早く真偽を調べましょう。

次は実際に問題を解いてみましょう。

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