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図形と方程式|座標を利用した証明について

数学2 図形と方程式 直線上の点、平面上の点数学II

今回は、座標を利用した証明について学習しましょう。辺の長さの関係を表す等式が成り立つことを証明する際に、辺の長さを求めるのではなく、座標を用います。

座標を用いることで証明しやすくなるのですが、上手に座標平面に図形を設置できなければ、かえって難しくなります。そうならないように、ポイントをしっかり押さえましょう。

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座標を利用した証明

上述したように、座標を利用すると図形の性質を簡単に証明できる場合があります。ここで注意したいのは2つです。

座標を用いた証明での注意点

  • 座標軸をどこにとるか
  • 与えられた図形を座標を用いてどう表すか

この2点を疎かにすると、計算が大変になり、かえって難しい証明になってしまいます。そうならないために、後の計算が楽になるように、座標軸を定める必要があります。

座標軸の定め方は1つではありませんが、次の2点を意識しましょう。

座標軸を定めるときのコツ

  • 頂点や特定の点の座標に、0が多く含まれるようにする。
  • 座標を定義するとき、できるだけ変数が少なくなるようにする。

座標に0が多く含まれるには、問題で扱う点がなるべく多く軸上にあるようにします。それができれば、辺の長さを求めるのが易しくなります。

また、変数を少なくするには、原点に対称になるように点をとるなどして、図形の対称性を利用します。それができれば、必要な方程式の数を減らすことができます。ほとんどの問題では、未知のものに対応させて変数を当てますが、そうすると変数が多くなります。ですから、変数をなるべく少なくするという考え方はとても大切です。

以上のことから分かるのは、証明する前の準備で難易度が決まるということです。できるだけ難易度を下げるために、しっかり考えた上で座標を設定しましょう。そうは言っても、設定の仕方はほとんど変わらないので、例題を真似てみるのが良いでしょう。

座標を利用して証明してみよう

例題
\begin{align*}
&\text{△ABCの重心をGとするとき、} \\[ 5pt ]
&\quad AB^{\scriptsize{2}}+BC^{\scriptsize{2}}+CA^{\scriptsize{2}}=3 \bigl( GA^{\scriptsize{2}}+GB^{\scriptsize{2}}+GC^{\scriptsize{2}} \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つことを証明せよ。}
\end{align*}

例題の解答・解説

図形を座標平面上にいきなり設置するのは、慣れていないと難しいので、まずは図形だけを作図してみて、どのような点が出てくるのかを確認しましょう。問題で出てくる点以外にも必要な点があることに気付くはずです。

重心をとるには、頂点とその対辺の中点とを結ぶ必要があります。対辺の中点は問題に出てきていません。中点も考慮して図形の配置を考えましょう。

まずは、座標軸を定めます。

例題の解答例①
\begin{align*}
&\text{直線BCを $x$ 軸に、辺BCの垂直二等分線を $y$ 軸にとると、} \\[ 5pt ]
&\text{線分BCの中点は原点Oになる。}
\end{align*}

座標軸が定まったら、点の座標を定義します。変数がなるべく少なくなるようにします。

例題の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{3点A,B,Cの座標を} \\[ 5pt ]
&\quad A(3a \ , \ 3b) \ , \ B(-c \ , \ 0) \ , \ C(c \ , \ 0) \\[ 7pt ]
&\text{とすると、点Gは重心であるので} \\[ 5pt ]
&\quad G(a \ , \ b) \\[ 7pt ]
&\text{と表すことができる。}
\end{align*}

頂点Aの座標は、重心Gとの関係から定義します。線分AOは重心Gによって2:1に内分されます。これを踏まえて、重心Gの座標に分数が含まれないようにします。

また、頂点B,Cの座標は原点に関して対称なので、同じ変数を利用できます。

作図すると以下の通りです。

例題の図形を座標平面上に設置した図

ほとんどの問題では、底辺がx軸と重なるように三角形を設置すると上手くいきます。また、実際に答案を作成するときには、先に作図を済ませてから記述します。

座標軸や座標が定まったので、等式が成り立つことを証明します。左辺の計算です。

例題の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{このとき} \\[ 5pt ]
&\quad AB^{\scriptsize{2}}+BC^{\scriptsize{2}}+CA^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\quad =\Bigl\{ \bigl(-c-3a \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(0-3b \bigr)^{\scriptsize{2}} \Bigr\}+\Bigl\{ c-\bigl(-c \bigr) \Bigr\}^{\scriptsize{2}}+\Bigl\{ \bigl(3a-c \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(3b-0 \bigr)^{\scriptsize{2}} \Bigr\} \\[ 7pt ]
&\quad =\Bigl\{ \bigl(c+3a \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(3b \bigr)^{\scriptsize{2}} \Bigr\}+\bigl(2c \bigr)^{\scriptsize{2}}+\Bigl\{ \bigl(3a-c \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(3b \bigr)^{\scriptsize{2}} \Bigr\} \\[ 7pt ]
&\quad =\bigl(c^{\scriptsize{2}}+6ca+9a^{\scriptsize{2}}+9b^{\scriptsize{2}} \bigr)+4c^{\scriptsize{2}}+\bigl(9a^{\scriptsize{2}}-6ca+c^{\scriptsize{2}}+9b^{\scriptsize{2}} \bigr) \\[ 7pt ]
&\quad =18a^{\scriptsize{2}}+18b^{\scriptsize{2}}+6c^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\quad =3 \bigl(6a^{\scriptsize{2}}+6b^{\scriptsize{2}}+2c^{\scriptsize{2}} \bigr) \quad \text{$\cdots$ ①}
\end{align*}

辺BCは、x軸上にある2点間の距離なので、三平方の定理を利用せず、x座標だけで計算します。他の辺の長さの求め方とは異なるので注意しましょう。

次は、右辺の計算です。

例題の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{また} \\[ 5pt ]
&\quad GA^{\scriptsize{2}}+GB^{\scriptsize{2}}+GC^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\quad =\Bigl\{ \bigl(3a-a \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(3b-b \bigr)^{\scriptsize{2}} \Bigr\}+\Bigl\{ \bigl(-c-a \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(0-b \bigr)^{\scriptsize{2}} \Bigr\}+\Bigl\{ \bigl(c-a \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(0-b \bigr)^{\scriptsize{2}} \Bigr\} \\[ 7pt ]
&\quad =\Bigl\{ \bigl(2a \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(2b \bigr)^{\scriptsize{2}} \Bigr\}+\Bigl\{ \bigl(c+a \bigr)^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \Bigr\}+\Bigl\{ \bigl(c-a \bigr)^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \Bigr\} \\[ 7pt ]
&\quad =\bigl(4a^{\scriptsize{2}}+4b^{\scriptsize{2}} \bigr)+\bigl(c^{\scriptsize{2}}+2ca+a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \bigr)+\bigl(c^{\scriptsize{2}}-2ca+a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \bigr) \\[ 7pt ]
&\quad =6a^{\scriptsize{2}}+6b^{\scriptsize{2}}+2c^{\scriptsize{2}} \quad \text{$\cdots$ ②}
\end{align*}

右辺全体の計算ではなく、必要な部分だけを計算しておきましょう。①式と②式を用いると、等式が成り立っていることが分かります。

例題の解答例⑤
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{①,②より} \\[ 5pt ]
&\quad AB^{\scriptsize{2}}+BC^{\scriptsize{2}}+CA^{\scriptsize{2}}=3 \bigl( GA^{\scriptsize{2}}+GB^{\scriptsize{2}}+GC^{\scriptsize{2}} \bigr)
\end{align*}

このように座標を用いて等式を証明することができます。また、座標軸や点の座標を上手に定めると、2点間の距離を求める計算が易しくなります。

次は、座標を利用した証明を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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