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式と証明|割り算と整式の決定について

数学2 式と証明アイキャッチ02 数学II

今回は割り算と整式の決定について学習しましょう。数の割り算と同じように、割り算の結果からもとの割られる整式や割る整式を求めることができます。

ここでも整式の割り算をしなければならないので、ミスなく筆算しなければなりません。

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割り算と整式の決定

たとえば、以下のような割り算が行われたとします。

例題
(1) 整式 $A$ を整式 $2x^{\scriptsize{2}}-1$ で割ると、商が $2x-1$で、余りが $x-2$ であるとき、整式 $A$ を求めよ。
(2) 整式 $8x^{\scriptsize{3}}-18x^{\scriptsize{2}}+19x+1$ を整式 $B$ で割ると、商が $4x-3$で、余りが $2x+7$ であるとき、整式 $B$ を求めよ。

割り算の結果を利用して、割られる式や割る式を求める問題です。このような問題では、割り算の基本公式を利用して求めます。

割り算の基本公式
\begin{align*}
&\text{同じ1つの文字についての2つの整式 $A \ , \ B \ (B \neq 0)$ において、} \\[ 5pt ]
&\text{$A$ を $B$ で割ったときの商を $Q$、余りを $R$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad A = BQ + R \\[ 5pt ]
&\text{ただし、$R$ は $0$ か、$B$ より次数の低い整式}
\end{align*}

ことばで表せば、以下のようになります。

割り算の基本公式
(割られる式) = (割る式) × (商) + (余り)

問題によっては求めるものが商になるかもしれませんが、商や余りなどの情報が与えられている場合には、基本公式を利用できないか考えましょう。

例題を解いてみよう

例題を使って、解く過程を確認してみましょう。

例題(1)
整式 $A$ を整式 $2x^{\scriptsize{2}}-1$ で割ると、商が $2x-1$で、余りが $x-2$ であるとき、整式 $A$ を求めよ。

与えられた式のそれぞれを、割り算の基本公式に代入します。

基本公式に代入する
\begin{align*}
&\text{この割り算について、次の等式が成り立つ。} \\[ 5pt ]
&\quad A = (2x^{\scriptsize{2}}-1)(2x-1) + (x-2) \\[ 5pt ]
&\text{この等式の右辺を整理すると、} \\[ 5pt ]
&\quad A = (4x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}-2x+1) + (x-2) \\[ 5pt ]
&\text{よって、} \\[ 5pt ]
&A = 4x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}-x-1
\end{align*}

多項式を代入するときは、式をかっこでくくっておくと代入ミスをしなくなります。場合によっては掛け算の記号なども追記しておくと良いでしょう。

例題(2)
整式 $8x^{\scriptsize{3}}-18x^{\scriptsize{2}}+19x+1$ を整式 $B$ で割ると、商が $4x-3$で、余りが $2x+7$ であるとき、整式 $B$ を求めよ。

例題(2)も同じ要領で解きます。

基本公式に代入する
\begin{align*}
&\text{この割り算について、次の等式が成り立つ。} \\[ 5pt ]
&\quad 8x^{\scriptsize{3}}-18x^{\scriptsize{2}}+19x+1 = B \times (4x-3) + (2x+7) \\[ 5pt ]
&\text{この等式を変形すると、} \\[ 5pt ]
&\quad 8x^{\scriptsize{3}}-18x^{\scriptsize{2}}+17x-6 = B \times (4x-3)
\end{align*}

例題(2)で気をつけたいのは、整式Bを求める割り算をする前に、余りを処理することです。割られる式から余りを引いたので、整式Bを求める割り算は割り切れることに注意しましょう。

例題の割り算

基本公式に代入する
\begin{align*}
&\quad 8x^{\scriptsize{3}}-18x^{\scriptsize{2}}+17x-6 = B \times (4x-3) \\[ 5pt ]
&\text{より、左辺を $4x-3$ で割ると、割り切れ、その商が $B$ となる。} \\[ 5pt ]
&\text{筆算すると、} \\[ 5pt ]
&\quad B = 4x^{\scriptsize{2}}-3x+2
\end{align*}

次は、整式の割り算を実際に解いてみましょう。

整式の割り算を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&\text{次の条件を満たす整式 $A \ , \ B$ を求めよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \text{$A$ を $2x^{\scriptsize{2}}-x+4$ で割ると、商が $2x-1$、余りが $x-1$} \\[ 5pt ]
&(2) \quad \text{$x^{\scriptsize{3}}+x+10$ を $B$ で割ると、商が $\frac{x}{2}+1$、余りが $x+2$}
\end{align*}

整式によっては、筆算しても計算ミスをしやすい割り算があります。自分なりに工夫しながら、丁寧に計算しましょう。

問(1)の解答・解説

問(1)
\begin{equation*}
(1) \quad \text{$A$ を $2x^{\scriptsize{2}}-x+4$ で割ると、商が $2x-1$、余りが $x-1$}
\end{equation*}

割り算の基本公式に代入します。

問(1)の解答例
\begin{align*}
&\text{この割り算について、次の等式が成り立つ。} \\[ 5pt ]
&\quad A = (2x^{\scriptsize{2}}-x+4)(2x-1) + (x-1) \\[ 5pt ]
&\text{この等式の右辺を整理すると、} \\[ 5pt ]
&\quad A = (4x^{\scriptsize{3}}-4x^{\scriptsize{2}}+9x-4) + (x-1) \\[ 5pt ]
&\text{よって、} \\[ 5pt ]
&A = 4x^{\scriptsize{3}}-4x^{\scriptsize{2}}+10x-5
\end{align*}

どの式も欠けた次数がなく、降べきの順に整理されていたので、展開と同類項の整理を丁寧に行えば間違えることはないでしょう。割り算の基本公式を用いた問題の中でも基本レベルなので、確実にマスターしておきましょう。

問(2)の解答・解説

問(2)
\begin{equation*}
(2) \quad \text{$x^{\scriptsize{3}}+x+10$ を $B$ で割ると、商が $\frac{x}{2}+1$、余りが $x+2$}
\end{equation*}

2次の項や1次の項が欠けた式が与えられているので注意しましょう。問(1)と同じ要領で解きます。

問(2)の解答例
\begin{align*}
&\text{この割り算について、次の等式が成り立つ。} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}+x+10 = B \times \bigl( \frac{x}{2}+1 \bigr) + (x+2) \\[ 5pt ]
&\text{この等式を変形すると、} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}+8 = B \times \bigl( \frac{x}{2}+1 \bigr)
\end{align*}

例題2と同じように、このまま商で割り算しても良いのですが、係数が分数であることに注目します。係数が分数だと、少々面倒な割り算になります。そこで等式であることを利用して、係数を整数にしておきます。

問(2)の解答例つづき
\begin{align*}
&\quad x^{\scriptsize{3}}+8 = B \times \bigl( \frac{x}{2}+1 \bigr) \\[ 5pt ]
&\text{さらに両辺に $2$ を掛けて} \\[ 5pt ]
&\quad 2x^{\scriptsize{3}}+16 = B \times (x+2)
\end{align*}

この変形は等式だからできる変形です。いつでもできるわけではないので気をつけましょう。筆算して整式Bを求めます。

問(2)の解答例つづき
\begin{align*}
&\quad 2x^{\scriptsize{3}}+16 = B \times (x+2) \\[ 5pt ]
&\text{筆算すると、} \\[ 5pt ]
&\quad B = 2x^{\scriptsize{2}}-4x+8
\end{align*}

問(2)の筆算

もちろん、係数が分数のままでも同じ解を得ることはできますが、できるだけ易しいレベルにして解くようにしましょう。

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さいごにもう一度まとめ

  • 割られる式や割る式を求めるとき、割り算の基本公式を利用しよう。
  • 欠けている項があるときの割り算では、計算ミスが多いので注意しよう。
  • 商や余りの係数に分数が現れることもあることに注意しよう。
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