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複素数と方程式|割られる式や余りの決定について

数学2 複素数と方程式 剰余の定理と因数定理数学II

今回は、割られる式や余りの決定について学習しましょう。ここでは、整式を割り算したときの割られる式や余りについて考えます。割り算に関する情報をもとに、割られる式や余りを決定します。

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割られる式と余りの決定

割り算の基本公式

整式の割り算に関する問題では、割り算の基本公式をよく利用します。これまで何度も見聞きしていますが、割り算の基本公式を確認しておきましょう。

割り算の基本公式
\begin{align*}
&\text{同じ1つの文字についての2つの整式 $A \ , \ B \ (B \neq 0)$ において、} \\[ 5pt ]
&\text{$A$ を $B$ で割ったときの商を $Q$、余りを $R$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad A = BQ + R \\[ 5pt ]
&\text{ただし、$R$ は $0$ か、$B$ より次数の低い整式}
\end{align*}

割られる整式Aは、割る整式B、商Q、余りRの3つを用いて表されます。

割り算の基本公式

割り算の基本公式を利用するとき、特に、余りの次数については忘れないようにしましょう。

余りと割る式の次数の関係
\begin{align*}
&\text{余り $R$ と割る式 $B$ の次数の関係は} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(余り $R$ の次数) $\lt$ (割る式 $B$ の次数)} \\[ 5pt ]
&\text{となる。}
\end{align*}

余りの次数はもちろん大切ですが、商の次数にも気を配る必要があります。たとえば、3次式を1次式で割る場合、商は2次式となります。ちなみに、余りは定数となります。

剰余の定理

余りの情報が与えられていれば、剰余の定理のことを意識しましょう。

剰余の定理
\begin{align*}
&\text{① 整式 $P(x)$ を1次式 $x-k$ で割ったときの余りは $P(k)$ [剰余の定理]} \\[ 5pt ]
&\text{② 整式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割ったときの余りは $P \biggl(-\frac{b}{a} \biggr)$}
\end{align*}

剰余の定理を利用できるのは、割る式が1次式のときだけです。しかし、筆算をせずに余りを調べることができるので、非常に便利な定理です。

整式の割り算を扱った問題では、以上の3つの事柄を上手に組み合わせて解いていきます。使い方をそれぞれマスターしておきましょう。

整式の割り算を扱った問題に出会ったら

  • 整式を割り算の基本公式で表す。
  • 割られる式、割る式、商、余りの次数を確認する。(特に、余りの次数)
  • 余りの情報には剰余の定理を利用する。

割られる式や余りを決定してみよう

次の例題を考えてみましょう。

例題
\begin{align*}
(1) &\quad \text{$f(x)=x^{\scriptsize{3}}-ax+b$ が $(x-1)^{\scriptsize{2}}$ で割り切れるとき、} \\[ 7pt ]
&\text{定数 $a \ , \ b$ の値を求めよ。} \\[ 7pt ]
(2) &\quad \text{$n$ を2以上の整数とするとき、$x^{\scriptsize{n}}-1$ を $(x-1)^{\scriptsize{2}}$ で} \\[ 7pt ]
&\text{割ったときの余りを求めよ。}
\end{align*}

例題(1)の解答・解説

例題(1)
\begin{align*}
(1) &\quad \text{$f(x)=x^{\scriptsize{3}}-ax+b$ が $(x-1)^{\scriptsize{2}}$ で割り切れるとき、} \\[ 7pt ]
&\text{定数 $a \ , \ b$ の値を求めよ。}
\end{align*}

例題(1)は、割られる式を決定する問題です。与えられた3次式は割られる整式です。またこの3次式を2次式で割ると割り切れる、言い換えると余りが0となるという情報が与えられています。

与えられた3次式を2次式 $(x-1)^{\scriptsize{2}}$ で割ったときの余りが0となるということは、3次式は2次式 $(x-1)^{\scriptsize{2}}$ を因数にもつということです。言い換えると、3次式は2個の $x-1$ を因数にもつと言えます。つまり、3次式は、1次式 $x-1$ で割ると割り切れることが分かります。

与式が 2次式 $(x-1)^{\scriptsize{2}}$ で割り切れるとき、与式は 1次式 $(x-1)$ で割り切れる。

1次式 $x-1$ で割ったときの余りが分かったので、剰余の定理を利用します。

例題(1)の解答例①
\begin{align*}
&\text{$f(x)$ は $x-1$ で割り切れるので} \\[ 5pt ]
&\quad f(1)=0 \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad 1-a+b=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad b=a-1 \quad \text{…①}
\end{align*}

定数 b を定数 a を用いて表すことができました。これを割られる3次式に代入して、文字の種類を減らします

例題(1)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad b=a-1 \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\text{①を $f(x)$ に代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad f(x)=x^{\scriptsize{3}}-ax+a-1
\end{align*}

割られる3次式は、1次式 $x-1$ で割り切れるので、因数定理が成り立ちます。つまり、因数分解できるはずです。組立除法で割り算します。

組立除法による整式の割り算(5)

2次の項がないことに注意しましょう。組立除法の結果を用いて、割られる3次式を因数分解します。

例題(1)の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad f(x)=x^{\scriptsize{3}}-ax+a-1 \\[ 7pt ]
&\text{これを因数分解すると} \\[ 5pt ]
&\quad f(x)=\bigl(x-1 \bigr) \bigl(x^{\scriptsize{2}}+x+1-a \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad g(x)=x^{\scriptsize{2}}+x+1-a
\end{align*}

文字の種類を減らす利点は、割られる3次式を因数が分かる形で表せることです。

また、最後の行では、商の2次式だけを取り出しています。割られる3次式は、2個の1次式 $x-1$ を因数にもちます。2個のうち1個は割る式として出てきましたが、残り1個はまだ出てきていません。残り1個は商の中にあります。ですから、商の2次式は1次式 $x-1$ で割り切れるはずです。

商について剰余の定理を利用します。

例題(1)の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad g(x)=x^{\scriptsize{2}}+x+1-a \\[ 7pt ]
&\text{$g(x)$ は $x-1$ で割り切れるので} \\[ 5pt ]
&\quad g(1)=0 \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad 1+1+1-a=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad a=3
\end{align*}

定数 a の値が分かったので、残りの定数 b の値を求めます。

例題(1)の解答例⑤
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad a=3 \\[ 7pt ]
&\text{これと①より} \\[ 5pt ]
&\quad b=2 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad \therefore \ a=3 \ , \ b=2
\end{align*}

割る式が2次式であれば、剰余の定理を利用できません。しかし、因数に着目すると、剰余の定理、または因数定理を利用できる余地が出てきます。

割る式が2次式でも分けて考えれば、剰余の定理や因数定理を利用できる。

例題(2)の解答・解説

例題(2)
\begin{align*}
(2) &\quad \text{$n$ を2以上の整数とするとき、$x^{\scriptsize{n}}-1$ を $(x-1)^{\scriptsize{2}}$ で} \\[ 7pt ]
&\text{割ったときの余りを求めよ。}
\end{align*}

例題(2)は、余りを決定する問題です。割る式が2次式という情報から、求めたい余りは1次式であることが分かります。

また、割られる n 次式について、$x=1$ のときの式の値は0となるので、与えられた n 次式は1次式 $x-1$ を因数にもちます。因数定理が成り立つことにも注目しましょう。

商や余りを定義して、割り算の基本公式を利用します。

例題(2)の解答例①
\begin{align*}
&\text{$x^{\scriptsize{n}}-1$ を $(x-1)^{\scriptsize{2}}$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを} \\[ 5pt ]
&\text{$ax+b$ とすると、次の等式が成り立つ。} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{n}}-1=\bigl(x-1 \bigr)^{\scriptsize{2}} Q(x)+ax+b
\end{align*}

例題(1)と同じように、文字の種類を減らすことを考えましょう。

例題(2)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{n}}-1=\bigl(x-1 \bigr)^{\scriptsize{2}} Q(x)+ax+b \\[ 7pt ]
&\text{両辺に $x=1$ を代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad 0=a+b \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad b=-a \quad \text{…①}
\end{align*}

定数 b を定数 a を用いて表すことができました。これを割られる n 次式に代入します。代入後、$x=1$ のとき、因数定理が成り立つことを利用して、等式を変形します。

例題(2)の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad b=-a \\[ 7pt ]
&\text{これを等式に代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{n}}-1=\bigl(x-1 \bigr)^{\scriptsize{2}} Q(x)+ax-a \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{n}}-1=\bigl(x-1 \bigr)^{\scriptsize{2}} Q(x)+a\bigl(x-1 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{n}}-1=\bigl(x-1 \bigr) \Bigl\{ \bigl(x-1 \bigr)Q(x)+a \Bigr\}
\end{align*}

文字の種類を減らすことで、等式の右辺を変形することができました。右辺は2つの整式の積の形になっています。割られる n 次式が、1次式 $x-1$ を因数にもつことが分かる形に変形できました。ただし、1次式 $x-1$ で割ったときの商は、波カッコの中の多項式であることに注意しましょう。

例題(1)と同じように、商だけを取り出します。このとき、以下の事柄を知っておかなければなりません。

n 次式の因数分解
\begin{align*}
&\text{$a^{\scriptsize{n}}-b^{\scriptsize{n}}$ を因数分解すると} \\[ 5pt ]
&\quad a^{\scriptsize{n}}-b^{\scriptsize{n}}=\bigl(a-b \bigr)\bigl(a^{\scriptsize{n-1}}+a^{\scriptsize{n-2}}b+a^{\scriptsize{n-3}}b^{\scriptsize{2}}+ \cdots \cdots +ab^{\scriptsize{n-2}}+b^{\scriptsize{n-1}} \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{ただし、$n$ は自然数。また、$a^{0}=1 \ , \ b^{0}=1$ である。} \\[ 7pt ]
&\text{$a=x \ , \ b=1$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{n}}-1=\bigl(x-1 \bigr)\bigl(x^{\scriptsize{n-1}}+x^{\scriptsize{n-2}}+x^{\scriptsize{n-3}}+ \cdots \cdots +x+1 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{特に $n=3$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}-1=\bigl(x-1 \bigr)\bigl(x^{\scriptsize{2}}+x+1 \bigr)
\end{align*}

3次式の因数分解で学習した公式を一般化したものです。このことを利用します。

例題(2)の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{n}}-1=\bigl(x-1 \bigr) \Bigl\{ \bigl(x-1 \bigr)Q(x)+a \Bigr\} \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{n}}-1=\bigl(x-1 \bigr)\bigl(x^{\scriptsize{n-1}}+x^{\scriptsize{n-2}}+x^{\scriptsize{n-3}}+ \cdots \cdots +x+1 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{であるので} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{n-1}}+x^{\scriptsize{n-2}}+x^{\scriptsize{n-3}}+ \cdots \cdots +x+1=\bigl(x-1 \bigr)Q(x)+a
\end{align*}

与えられた n 次式を1次式 $x-1$ で割ったときの商(波カッコの中の多項式)について、等式が得られます。この等式の両辺に $x=1$ を代入します。

例題(2)の解答例⑤
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{n-1}}+x^{\scriptsize{n-2}}+x^{\scriptsize{n-3}}+ \cdots \cdots +x+1=\bigl(x-1 \bigr)Q(x)+a \\[ 7pt ]
&\text{両辺に $x=1$ を代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad 1+1+1+ \cdots \cdots +1+1=a \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad 1 \times n =a \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad a=n
\end{align*}

代入後の左辺には1が n 個並んでいることに注意しましょう。定数 a の値から定数 b の値を求めると、求めたい余りが得られます。

例題(2)の解答例⑥
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad a=n \\[ 7pt ]
&\text{これと①より} \\[ 5pt ]
&\quad b=-n \\[ 7pt ]
&\text{したがって、求める余りは} \\[ 5pt ]
&\quad \therefore \ nx-n
\end{align*}

例題(1),(2)に共通するのは、文字の種類を減らすことです。文字の種類を減らした後、割られる式を変形し、商だけに注目しています。大筋では違いはありません。

次は、割られる式や余りの決定を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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