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整数の性質|約数と倍数について

数学A

今回から「整数の性質」の単元になります。まず学習するのは、約数と倍数についてです。小中学校で学習した内容の続きになるので、忘れていないか確認しながら取り組みましょう。

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約数と倍数、倍数の判定法、素数、素因数分解

この単元では、以下のような事柄を学習します。

  • 約数と倍数
  • 倍数の判定法
  • 素数
  • 素因数分解

いずれもすでに学習している事柄です。

約数と倍数

2つの整数 $a \ , \ b$ について、$a$ が $b$ で割り切れるとき、$b$ は $a$ の約数、$a$ は $b$ の倍数と言います。

たとえば、2つの整数が $12 \ , \ 4$ であれば、$12$ が $4$ で割り切れるので、$4$ は $12$ の約数、$12$ は $4$ の倍数です。抽象化された説明は、具体化すると理解しやすくなります。

倍数の判定法

計算するときに意外と役に立つのが、倍数の判定法です。割り切れるかどうかが分かると、分数の扱いが上手になります。倍数と約数の関係が見抜けると、素早く約分できるようになるので、分数を扱う機会が増える数学では重宝します。

一般に、以下のようにして倍数を判定します。

下○桁の数で判定する倍数

  • 2の倍数:下1桁の数が偶数( $0=2 \cdot 0$ より、0は2の倍数に含める)
  • 5の倍数:下1桁の数が0または5
  • 4の倍数:下2桁が4の倍数
  • 8の倍数:下3桁が8の倍数

各位の和で判定する倍数

  • 3の倍数:各位の和が3の倍数
  • 9の倍数:各位の和が9の倍数

2つの条件で判定する倍数

  • 6の倍数:2の倍数かつ3の倍数

4桁の自然数 $7128$ が何の倍数かを調べよ。

$7128$ について、下1桁の数 $8$ は偶数です。また、下2桁の数 $28$ は $4$ の倍数で、下3桁の数 $128$ は $8$ の倍数です。このことから、下○桁の数で判定すると、$7128$ は $2 \ , \ 4 \ , \ 8$ の倍数であることが分かります。

次に各位の和を調べると、各位の和 $7+1+2+8=18$ は、$3 \ , \ 9$ の倍数であるので、$7128$ は $3 \ , \ 9$ の倍数です。さいごに、$7128$ は $2$ の倍数、かつ $3$ の倍数であるので、$6$ の倍数です。

以上のことから、$7128$ は $2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 8 \ , \ 9$ の倍数であり、$2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 8 \ , \ 9$ は、$7128$ の約数であることが分かります。

倍数の判定ができるということは、その数がどんな約数をもつのかも判定できるということです。計算のあらゆる場面で役立つので、瞬時に判定できるようになっておきましょう。

おまけの判定法

他にも $7 \ , \ 11 \ , \ 13$ などの倍数を判定する方法があります。全く知らない人もいるかもしれませんが、上記の判定法に比べて、やや手間が掛かるのであまり使われていないようです。

簡単に紹介しておきますが、上記の判定法をマスターしておけば十分に対応できます。余力があれば覚えておくと良いでしょう。

  • 7の倍数:末位から左へ3桁ごとに区切り、最後の区画から奇数番目の区画の和から、偶数番目の区画の和を引いた差が7の倍数
  • 11の倍数:末位から左へ向かって奇数番目の数の和から、偶数番目の数の和を引いた差が11の倍数(各位の数を左から交互に足し引きしても良い)
  • 13の倍数:7の倍数の判定法と同じ

$7128$ を末位から左へ3桁ごとに区切ると $7 \ | \ 128$ となります。最後の区画から奇数番目の区画は $7$ で、偶数番目の区画は $128$ です。これらの差は $128-7=121$ となり、7の倍数ではないので、$7128$ も7の倍数ではありません。

$7128$ の末位から左へ向かって奇数番目の数の和は $8+1=9$ で、偶数番目の数の和は $2+7=9$ です。これらの差は0となるので、$11 \cdot 0=0$ より11の倍数となり、$7128$ は11の倍数となります。

$7128$ を末位から左へ3桁ごとに区切ると $7 \ | \ 128$ となります。最後の区画から奇数番目の区画は $7$ で、偶数番目の区画は $128$ です。これらの差は $128-7=121$ となり、13の倍数ではないので、$7128$ も13の倍数ではありません。

なお、7の倍数の判定法はいくつかありますが、紹介したものは13の倍数の判定法と兼用できるのがメリットです。

素数

素数とは、2以上の整数で、1とそれ自身以外の正の約数をもたない数のことです。少し大雑把な言い方をすると、正の約数を2個しかもたない数のことです。

1の正の約数は1だけなので、1は素数ではない

100以下の素数は25個存在し、小さい順に並べると以下のようになります。

100以下の素数
\begin{align*}
&2 \ , \ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \\[ 5pt ]
&11 \ , \ 13 \ , \ 17 \ , \ 19 \\[ 5pt ]
&23 \ , \ 29 \\[ 5pt ]
&31 \ , \ 37 \\[ 5pt ]
&41 \ , \ 43 \ , \ 47 \\[ 5pt ]
&53 \ , \ 59 \\[ 5pt ]
&61 \ , \ 67 \\[ 5pt ]
&71 \ , \ 73 \ , \ 79 \\[ 5pt ]
&83 \ , \ 89 \\[ 5pt ]
&97
\end{align*}

100を超える素数については、オンライン整数列大辞典(On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)というサイトにて無料で閲覧できます。もちろん素数以外の整数列も検索できます。数列の名前に始まり、由来、参考文献、公式、キーワードなどの情報を一覧できるので興味のある人は覗いてみると良いでしょう。

素因数分解

素因数分解とは、自然数をいくつかの素数の積の形で表すことです。

自然数を素因数分解すると、いくつかの素数の積で表されますが、この素数は自然数の因数であるので素因数と言います。

12の素因数分解
\begin{equation*}
12 = 2^{\scriptsize{2}} \times 3
\end{equation*}

たとえば、12の約数は $1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 12$ですが、そのうち素数は$2 \ , \ 3$ なので素数 $2 \ , \ 3$ を使って分解します。素数 $2 \ , \ 3$ のことを12の素因数と言います。

素因数分解するときは、やみくもに分解していくのではなく、約数の中の素数を考えてから分解しましょう。

約数を考えれば因数が分かる。また、因数が素数であれば、素因数と言う。

知っておきたい平方数や自然数の累乗の値

約数を見つけるときや素因数分解をするとき、平方数や自然数の累乗の値を覚えておくと役立ちます。このような数を毎回筆算するようだと、解くスピードが遅くなってしまうので、できる限り覚えておきましょう。

平方数の場合、16ぐらいまでは暗算できると良いでしょう。

平方数
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
n & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 \\
\hline
n^{\scriptsize{2}} & 121 & 144 & 169 & 196 & 225 & 256 & 289 & 324 & 361 \\
\end{array}

2の累乗は全般的によく出てくるので、2の10乗までサッと使えるようにしておきましょう。覚える自信のない人は、せめて2の5乗と2の10乗を確実に覚えましょう。

2の累乗
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
n & 1 & 2 & 3 & 4 & {\mathbf{5}} & 6 & 7 & 8 & 9 & {\mathbf{10}} \\
\hline
2^{n} & 2 & 4 & 8 & 16 & {\mathbf{32}} & 64 & 128 & 256 & 512 & {\mathbf{1024}} \\
\end{array}
絶対に覚えておきたい2の累乗
\begin{align*}
\quad 2^{\scriptsize{5}} &= 32 \\[ 10pt ]
\quad 2^{\scriptsize{10}} &= 1024
\end{align*}

3の累乗もよく出てきます。3の3乗や3の4乗は頻繁に出てきます。3の5乗くらいまでサッと使えるようにしておきましょう。

3の累乗
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
n & 1 & 2 & {\mathbf{3}} & {\mathbf{4}} & {\mathbf{5}} & 6 & 7 \\
\hline
3^{n} & 3 & 9 & {\mathbf{27}} & {\mathbf{81}} & {\mathbf{243}} & 729 & 2187 \\
\end{array}

5の累乗や6の累乗も覚えておくと便利です。6の3乗はサイコロを3回または3個振ったときの確率で出てきます。

5の累乗
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
n & 1 & 2 & {\mathbf{3}} & 4 & 5 \\
\hline
5^{n} & 5 & 25 & {\mathbf{125}} & 625 & 3125 \\
\end{array}
6の累乗
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
n & 1 & 2 & {\mathbf{3}} & 4 & 5 \\
\hline
6^{n} & 6 & 36 & {\mathbf{216}} & 1296 & 7776 \\
\end{array}
平方数や自然数の累乗の値は、場合の数や確率で扱うことが多い。覚えておくと計算のスピードが上がる。

次は約数や倍数を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
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