Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/room8810/hibikore-tanren.com/public_html/wp-content/plugins/wordpress-ping-optimizer/cbnet-ping-optimizer.php on line 533
頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
スポンサーリンク

式と証明|条件付きの等式の証明について

数学2 式と証明アイキャッチ03 数学II

今回は条件付きの等式の証明について学習しましょう。恒等式の単元でも条件付きの場合の扱い方を学習しています。ですから、それほど難しく感じることはないでしょう。

ポイントになるのは条件式の使い方です。条件式の上手な使い方をしっかり理解しましょう。

スポンサーリンク
スポンサーリンク

条件付きの等式

例題からここで学習することを探ってみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{$a+b+c=0$ のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 5pt ]
&\quad bc \bigl( b+c \bigr)+ca \bigl( c+a \bigr)+ab \bigl(a+b \bigr)=-3abc
\end{align*}

まず、等式の左辺を展開してみます。

左辺の展開
\begin{align*}
\text{(左辺)} &= b^{\scriptsize{2}}c+bc^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}}a \\[ 5pt ]
&\qquad +ca^{\scriptsize{2}}+a^{\scriptsize{2}}b+ab^{\scriptsize{2}}
\end{align*}

左辺を展開してみましたが、果たして右辺と同じ式を導くことができるでしょうか? 残念ながら、このままではどのように変形しても右辺と同じ式を導くことはできません。

ここで、重要な役割を担うのが条件式です。問題には「条件式のような関係があるとき、等式が成り立つことを証明せよ」とあります。ですから、条件式を考慮していなければ、等式が成り立つことを示すことはできません。

条件式を考慮するとは、条件式の関係を与式に組み込むことです。そのために、条件式の形を変えて、与式に代入します。これによって、「条件付きの等式の証明」から「条件なしの等式の証明」へと帰着させることができます。

ここでは、条件式の代入方法、つまり条件式の使い方を学習します。条件式の上手な使い方をマスターしましょう。

条件式の使い方

条件式の使い方にはいくつかあります。使い方によって、簡単な計算になる場合もあれば、複雑な計算になる場合もあります。どちらになるかは解く人の腕次第です。どのようにすれば最も負担の少ない計算で済むかを考えることが大切です。

条件式の上手な使い方を考えるのが腕の見せ所。

文字を減らすために条件式を使う

条件式を使うときに意識したいことは、等式に含まれる文字の種類を減らすことです。これが条件式の使い方の最も基本的な考え方です。たとえば、条件式を以下のように変形します。

条件式の変形
\begin{align*}
&\text{$a+b+c=0$ より、} \\[ 5pt ]
&\quad c=-\bigl(a+b \bigr)
\end{align*}

文字 c について変形しました。これを等式の左辺と右辺にそれぞれ代入すると、文字 c を消去できます。これで、条件式を考慮したことになります。

条件式を左辺と右辺に代入
\begin{align*}
\text{(左辺)} &= b \bigl\{ -\bigl(a+b \bigr) \bigr\} \big\{ b-\bigl(a+b \bigr) \bigr\} \\[ 5pt ]
&\qquad -\bigl(a+b \bigr)a \bigl\{ -\bigl(a+b \bigr)+a \bigr\}+ab\bigl(a+b \bigr) \\[ 5pt ]
&= ab\bigl(a+b \bigr)+ab\bigl(a+b \bigr)+ab\bigl(a+b \bigr) \\[ 5pt ]
&= 3ab\bigl(a+b \bigr) \\[ 10pt ]
\text{(右辺)} &= -3ab \bigl\{ -\bigl(a+b \bigr) \bigr\} \\[ 5pt ]
&= 3ab\bigl(a+b \bigr) \\[ 10pt ]
\text{よって、(左辺)} \ &= \ \text{(右辺)}
\end{align*}

この使い方は連立方程式でお馴染みの代入法です。条件式が与えられた問題では、まず特定の文字を消去することを考えましょう。

条件式を使って、文字を減らそう。

多項式を単項式に置き換えるために条件式を使う

特定の文字を消去するために条件式を使うのが基本です。しかし、この使い方だと、置き換えた部分が単項式から多項式になってしまいます。そうなると、代入後の式が複雑になってしまいます。ですから、代入する式をもう少し工夫します。

条件式の変形を工夫する
\begin{align*}
&\text{$a+b+c=0$ より、} \\[ 5pt ]
&\quad b+c=-a \\[ 5pt ]
&\quad c+a=-b \\[ 5pt ]
&\quad a+b=-c
\end{align*}

これらを等式の左辺に代入します。

条件式を左辺と右辺に代入
\begin{align*}
\text{(左辺)} &= bc \cdot \bigl(-a \bigr) + ca \cdot \bigl(-b \bigr) + ab \cdot \bigl(-c \bigr) \\[ 5pt ]
&= -abc-abc-abc \\[ 5pt ]
&= -3abc \\[ 5pt ]
&= \ \text{(右辺)}
\end{align*}

この使い方であれば、置き換えた部分が多項式から単項式になります。式がスッキリするので、整理しやすくなります。

多項式を1つのカタマリとして見れなければ、なかなかこの使い方はできません。多項式を1つの文字に置き換えることがありますが、それと同じことをしています。高校数学では、このようなことをよく行います。多項式に代入した方が簡単な計算で済むので、しっかりとマスターしておきましょう。

条件式をそのまま使う

条件式を変形せず、そのまま使うこともできます。

(左辺)-(右辺)の計算
\begin{align*}
\text{(左辺)-(右辺)} &= bc \bigl(b+c \bigr)+ca \bigl(c+a \bigr)+ab \bigl(a+b \bigr)-\bigl(-3abc \bigr) \\[ 5pt ]
&= \bigl\{ bc \bigl(b+c \bigr)+abc \bigr\}+\bigl\{ ca \bigl(c+a \bigr)+abc \bigr\}+\bigl\{ ab \bigl(a+b \bigr)+abc \bigr\} \\[ 5pt ]
&= bc \bigl(a+b+c \bigr)+ca \bigl(a+b+c \bigr)+ab \bigl(a+b+c \bigr) \\[ 5pt ]
&= \underline{\bigl(a+b+c \bigr)} \bigl(bc+ca+ab \bigr) \\[ 5pt ]
&= 0 \cdot \bigl(bc+ca+ab \bigr) \\[ 5pt ]
&= 0 \\[ 10pt ]
\text{よって、(左辺)} \ &= \ \text{(右辺)}
\end{align*}

この計算では a+b+c をつくるのが目標です。そのために、3abc を分解します。式を変形するのに、このような発想も必要だと言うことです。式の因数分解の問題でも出題されることもあるので、知っておくと良いでしょう。

次は、条件付きの等式の証明を扱った問題を実際に解いてみましょう。

スポンサーリンク
Amazon ノート・メモ帳ランキング
楽天市場 学習参考書ランキング
スポンサーリンク
スポンサーリンク
気になる教材があればコチラで探せます。
数学II
この記事が気に入ったら
いいね!しよう
最新情報をお届けします。
フォローする
スポンサーリンク
ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
kiri

このサイトでは、できるだけ図や表を使い、丁寧な過程を記述することを心掛けながら解説しています。このサイトの記事が、苦手意識や壁を取り除くきっかけになれば幸いです。

中学生の先取り学習や高校生の受験対策、社会人の学び直しなどに役立てて下さいませ。

フォローする
タイトルとURLをコピーしました