複素数と方程式

08/18/2018

複素数と方程式:[1]複素数と2次方程式の解

複素数

複素数の性質

a, b, c, d を実数とする。
  • 虚数単位 $i$
    • $i$ は $i^{2}=-1$ を満たす数
    • $a \gt 0$ のとき $\sqrt{-a}=\sqrt{a} i$
  • $a+bi = c+di$
    • $\iff a=c$ かつ $b=d$

2次方程式の解と判別式

係数が実数である2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の2つの解をα,βとし、判別式を $D=b^{2}-4ac$ とする。

解の判別

  • $D \gt 0 \ \iff$ 異なる2つの実数解をもつ
  • $D = 0 \ \iff$ 重解をもつ
  • $D \lt 0 \ \iff$ 異なる2つの虚数解をもつ

2次方程式の解と係数の関係

\begin{align*} &\bullet \ ax^{2} + bx + c = a \left( x – \alpha \right) \left( x – \beta \right) \\[ 7pt ] &\quad \text{が恒等式である。} \\[ 10pt ] &\bullet \ \alpha + \beta = \ – \frac{b}{a} \ , \ \alpha \beta = \frac{c}{a} \end{align*}

2次方程式の実数解と実数 k の大小

α,βが実数のとき、実数 k に対して
  • $\alpha \gt k \ , \ \beta \gt k$
    • $\iff D \geqq 0 \ , \ \left( \alpha – k \right) + \left( \beta – k \right) \gt 0 \ , \ \left( \alpha – k \right) \left( \beta – k \right) \gt 0$
  • $\alpha \lt k \ , \ \beta \lt k$
    • $\iff D \geqq 0 \ , \ \left( \alpha – k \right) + \left( \beta – k \right) \lt 0 \ , \ \left( \alpha – k \right) \left( \beta – k \right) \gt 0$
  • $k$ が $\alpha$ と $\beta$ の間
    • $\iff \left( \alpha – k \right) \left( \beta – k \right) \lt 0$

複素数と方程式: [2] 高次方程式

剰余の定理と因数定理

剰余の定理

P(x) は整式とする。
P(x) を1次式 x-a で割ったときの余りは P(a)
整式 P(x) を1次式 ax+b で割ったときの余りは
\begin{equation*} \quad P \left( – \frac{b}{a} \right) \end{equation*}

因数定理

P(x) は整式とする。
1次式 x-a が P(x) の因数である
$\iff P(a) = 0$
1次式 ax+b が整式 P(x) の因数である
\begin{equation*} \iff P \left( – \frac{b}{a} \right) = 0 \end{equation*}

高次方程式

高次方程式の性質

係数が実数である n 次方程式が虚数解 a+bi( a, b は実数)をもつならば、それと共役な複素数 a-bi も解である。

3次方程式の解と係数の関係

3次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ の3つの解を α,β,γ とする。
\begin{align*} \bullet \ &ax^{3}+bx^{2}+cx+d = a \left( x – \alpha \right) \left( x – \beta \right) \left( x – \gamma \right) \\[ 7pt ] &\text{が恒等式である。} \\[ 10pt ] \bullet \ &\alpha + \beta + \gamma = \ – \frac{b}{a} \\[ 7pt ] \bullet \ &\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} \\[ 7pt ] \bullet \ &\alpha \beta \gamma = \ – \frac{d}{a} \end{align*}

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Posted by kiri