熱中症に気をつけよう! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。

複素数と方程式

公式・定理集

複素数と方程式:1.複素数と2次方程式の解

複素数

複素数の性質

$a \ , \ b \ , \ c \ , \ d$ を実数とする。

  • 虚数単位 $i$ : $i$ は $i^{2}=-1$ を満たす数
    $\quad a \gt 0$ のとき $\quad \sqrt{-a}=\sqrt{a} i$
  • $a+bi = c+di$
    $\quad \iff a=c$ かつ $b=d$

2次方程式の解と判別式

係数が実数である2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta$ とし、判別式を $D=b^{2}-4ac$ とする。

解の判別

$\bullet \ D \gt 0 \quad \iff$ 異なる2つの実数解をもつ

$\bullet \ D = 0 \quad \iff$ 重解をもつ

$\bullet \ D \lt 0 \quad \iff$ 異なる2つの虚数解をもつ

2次方程式の解と係数の関係

\begin{align*}
&\bullet \ ax^{2} + bx + c = a \left( x – \alpha \right) \left( x – \beta \right) \\[ 5pt ]
&\quad \text{が恒等式} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \alpha + \beta = \ – \frac{b}{a} \ , \ \alpha \beta = \frac{c}{a}
\end{align*}

2次方程式の実数解と実数 $k$ の大小

$\alpha \ , \ \beta$ が実数のとき、実数 $k$ に対して
$\bullet \ \alpha \gt k \ , \ \beta \gt k$
$\quad \iff D \geqq 0 \ , \ \left( \alpha – k \right) + \left( \beta – k \right) \gt 0 \ , \ \left( \alpha – k \right) \left( \beta – k \right) \gt 0$

$\bullet \ \alpha \lt k \ , \ \beta \lt k$
$\quad \iff D \geqq 0 \ , \ \left( \alpha – k \right) + \left( \beta – k \right) \lt 0 \ , \ \left( \alpha – k \right) \left( \beta – k \right) \gt 0$

$\bullet \ k$ が $\alpha$ と $\beta$ の間
$\quad \iff \left( \alpha – k \right) \left( \beta – k \right) \lt 0$

複素数と方程式:2.高次方程式

剰余の定理と因数定理

剰余の定理

$P(x)$ は整式とする。
$P(x)$ を1次式 $x-a$ で割ったときの余り
\begin{equation*} \quad P(a) \end{equation*}
$P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割ったときの余りは
\begin{equation*} \quad P\left( – \frac{b}{a} \right) \end{equation*}

因数定理

$P(x)$ は整式とする。
1次式 $x-a$ が $P(x)$ の因数である
\begin{equation*} \quad \iff P(a)=0 \end{equation*}
1次式 $ax+b$ が $P(x)$ の因数である
\begin{equation*} \quad \iff P\left( – \frac{b}{a} \right) = 0 \end{equation*}

高次方程式

高次方程式の性質

係数が実数である $n$ 次方程式が虚数解 $a+bi$ ( $a \ , \ b$ は実数)をもつならば、それと共役な複素数 $a-bi$ も解である。

3次方程式の解と係数の関係

3次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ とする。
\begin{align*}
&\bullet \ ax^{3}+bx^{2}+cx+d = a \left( x – \alpha \right) \left( x – \beta \right) \left( x – \gamma \right) \\[ 5pt ]
&\quad \text{が恒等式} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \alpha + \beta + \gamma = \ – \frac{b}{a} \ , \\[ 5pt ]
&\quad \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} \ , \\[ 5pt ]
&\quad \alpha \beta \gamma = \ – \frac{d}{a}
\end{align*}
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