熱中症に気をつけよう! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。

場合の数と確率

公式・定理集

場合の数と確率

集合の要素の個数

個数定理:$U$ を全体集合、$A \ , \ B \ , \ C$ をその部分集合とする。

\begin{align*}
&n \left( A \cup B \right) = n \left( A \right) + n \left( B \right) – n \left( A \cap B \right) \\[ 10pt ]
&A \cap B = \varnothing \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&n \left( A \cup B \right) = n \left( A \right) + n \left( B \right)
\end{align*}
\begin{equation*}
n \left( \bar{A} \right) = n \left( U \right) – n \left( A \right)
\end{equation*}
\begin{align*}
&n \left( A \cup B \cup C \right) \\[ 5pt ]
= \ &n \left( A \right) + n \left( B \right) + n \left( C \right) \\[ 5pt ]
&-n \left( A \cap B \right) – n \left( B \cap C \right) – n \left( C \cap A \right) \\[ 5pt ]
&+ n \left( A \cap B \cap C \right)
\end{align*}

集合の要素の個数の性質:$U$ を全体集合、$A \ , \ B \ , \ C$ をその部分集合とする。

\begin{equation*}
n \left( A \cup B \right) \leqq n \left( U \right)
\end{equation*}
\begin{align*}
n \left( A \cap B \right) \leqq n \left( A \right) \\[ 5pt ]
n \left( A \cap B \right) \leqq n \left( B \right)
\end{align*}
\begin{equation*}
n \left( A \cup B \right) \leqq n \left( A \right) + n \left( B \right)
\end{equation*}

場合の数

場合の数の数え方

主に2通りの方法を用いて、漏れなく重複することなく数え上げる。
数え方1:辞書式配列法
数え方2:樹形図

和の法則・積の法則

和の法則
事柄A , Bの起こり方が、それぞれ $a \ , \ b$ 通りで、AとBが同時に起こらないとする。
このとき、AまたはBのどちらかが起こる場合の数は $(a+b)$ 通り。
積の法則
事柄Aの起こり方が $a$ 通りあり、その各々に対して事柄Bの起こり方が $b$ 通りずつあるとする。
このとき、AとBがともに起こる場合の数は $ab$ 通り。

順列・円順列・重複順列

順列

異なる $n$ 個の中から異なる $r$ 個を取り出して1列に並べる
\begin{align*}
{}_n \mathrm{ P }_r = \ &n \left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \cdots \left( n-r+1 \right) \\[ 10pt ]
= \ &\frac{n!}{\left( n-r \right)!} \quad (0 \leqq r \leqq n)
\end{align*}
\begin{align*}
&0! = 1 \\[ 5pt ]
&\text{特に} \\[ 5pt ]
&{}_n \mathrm{ P }_n = n!
\end{align*}

円順列

異なる $n$ 個のものを円形に並べる
\begin{equation*}
\left( n-1 \right)! \quad \left( = \frac{{}_n \mathrm{ P }_n}{n} \right)
\end{equation*}

じゅず順列

異なる $n$ 個のものを円形に並べる。
ただし、回転または裏返して一致するものは同じものとして扱う。
\begin{equation*}
\frac{\left( n-1 \right)!}{2} \quad \left( = \frac{\tiny{\text{円順列}}}{2} \right)
\end{equation*}

重複順列

異なる $n$ 個のものから重複を許して $r$ 個を取り出して並べる。
\begin{align*}
&n^{r} \\[ 5pt ]
&\text{(ただし} \ n \lt r \ \text{であってもよい)}
\end{align*}
重複順列の例
$n$ 個の異なるものを

● A , B2組に分ける
$\quad 2^{n}-2$

● 2組に分ける
$\quad (2^{n}-2) \div 2$

● A , B , C3組に分ける
$\quad 3^{n}-3(2^{n}-2)-3$

● 3組に分ける
$\quad \{ 3^{n}-3(2^{n}-2)-3 \} \div 3!$

組合せ、同じものを含む順列

組合せの数

異なる $n$ 個のものの中から異なる $r$ 個を取る。
\begin{align*}
{}_n \mathrm{ C }_r = &\frac{{}_n \mathrm{ P }_r}{r!} \\[ 10pt ]
= &\frac{n!}{r! \left( n-r \right)!} \quad (0 \leqq r \leqq n) \\[ 10pt ]
\text{特に} \ &{}_n \mathrm{ C }_n = 1
\end{align*}

${}_n \mathrm{ C }_r$ の性質

\begin{align*}
&{}_n \mathrm{ C }_r = {}_n \mathrm{ C }_{n-r} \quad (0 \leqq r \leqq n) \\[ 10pt ]
&{}_n \mathrm{ C }_r = {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} + {}_{n-1} \mathrm{ C }_r \\[ 5pt ]
&\qquad (1 \leqq r \leqq {n-1} \ , \ 2 \leqq n)
\end{align*}

組分け

$n$ 人をA組 $p$ 人、B組 $q$ 人、C組 $r$ 人に分ける
\begin{equation*}
{}_n \mathrm{ C }_p \times {}_{n-p} \mathrm{ C }_q
\end{equation*}
同じ人数の組に分けるときには注意。
● 3組同数のとき
$\quad \div 3!$

● 2組同数のとき
$\quad \div 2!$

同じものを含む順列

$n$ 個のもののうち、$p$ 個は同じもの、$q$ 個は同じもの、$r$ 個は同じもの、…であるとき、それら$n$ 個のもの全部を使って作られる順列。
\begin{align*}
&{}_n \mathrm{ C }_p \times {}_{n-p} \mathrm{ C }_q \times {}_{n-p-q} \mathrm{ C }_r \cdots \\[ 10pt ]
= \ &\frac{n!}{p! q! r! \cdots} \\[ 10pt ]
\text{ただし} \ &p + q + r + \cdots = n
\end{align*}

重複組合せの数

異なる $n$ 個のものから、重複を許して $r$ 個取る組合せ。
\begin{align*}
&{}_n \mathrm{ H }_r = {}_{n+r-1} \mathrm{ C }_r \\[ 10pt ]
\text{(ただし} \ &n \lt r \ \text{であってもよい)}
\end{align*}

確率とその基本性質

確率の定義

全事象 $U$ のどの根元事象も同様に確からしいとき、事象 $A$ の起こる確率 $P(A)$
\begin{align*}
P(A) = &\frac{n(A)}{n(U)} \\[ 10pt ]
= &\frac{\scriptsize{\text{事象Aの起こる場合の数}}}{\scriptsize{\text{起こりうるすべての場合の数}}}
\end{align*}

基本性質

\begin{align*}
&0 \leqq P(A) \leqq 1 \\[ 5pt ]
&P(\varnothing) = 0 \\[ 5pt ]
&P(U) = 1
\end{align*}

加法定理

事象 $A \ , \ B$ が互いに排反のとき
\begin{equation*}
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
\end{equation*}

余事象の確率

\begin{equation*}
P(\bar{A}) = 1 – P(A)
\end{equation*}

独立な試行・反復試行の確率

独立な試行の確率

2つの独立な試行S , Tにおいて、Sでは事象 $A$ が起こり、Tでは事象 $B$ が起こるという事象を $C$ とする。
\begin{equation*}
P(C) = P(A) P(B)
\end{equation*}

反復試行の確率

1回の試行で事象 $A$ が起こる確率が $p$であるとする。
この試行を $n$ 回繰り返すとき、事象 $A$ がちょうど $r$ 回起こる確率
\begin{equation*}
{}_n \mathrm{ C }_r p^{r} {\left( 1-p \right)}^{n-r}
\end{equation*}

条件付き確率

条件付き確率

事象 $A$ が起こったときに事象 $B$ が起こる条件付き確率 $P_{A}(B)$
\begin{align*}
P_{A}(B) = &\frac{n(A \cap B)}{n(A)} \\[ 10pt ]
= &\frac{P(A \cap B)}{P(A)}
\end{align*}

確率の乗法定理

\begin{equation*}
P(A \cap B) = P(A) P_{A}(B)
\end{equation*}
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