図形と方程式：１．点と直線
点の座標
点 $A ( \ x_{\tiny{1}} \ , \ y_{\tiny{1}} \ ) \ , \ B ( \ x_{\tiny{2}} \ , \ y_{\tiny{2}} \ ) \ , \ C ( \ x_{\tiny{3}} \ , \ y_{\tiny{3}} \ )$ とする。
２点間の距離
\begin{equation*}
AB = \sqrt{ {\left( x_{\tiny{2}} \ – \ x_{\tiny{1}} \right)}^{\tiny{2}} + {\left( y_{\tiny{2}} \ – \ y_{\tiny{1}} \right)}^{\tiny{2}} }
\end{equation*}
特に、原点 $O$ と $A$ の距離は
\begin{equation*}
OA = \sqrt{ { x_{\tiny{1}} }^{\tiny{2}} + { y_{\tiny{1}} }^{\tiny{2}} }
\end{equation*}
AB = \sqrt{ {\left( x_{\tiny{2}} \ – \ x_{\tiny{1}} \right)}^{\tiny{2}} + {\left( y_{\tiny{2}} \ – \ y_{\tiny{1}} \right)}^{\tiny{2}} }
\end{equation*}
特に、原点 $O$ と $A$ の距離は
\begin{equation*}
OA = \sqrt{ { x_{\tiny{1}} }^{\tiny{2}} + { y_{\tiny{1}} }^{\tiny{2}} }
\end{equation*}
内分点・外分点
線分 $AB$ を $m:n$ に分ける点の座標
$\bullet$ 内分点
\begin{equation*}
\quad \left( \ \frac{nx_{\tiny{1}} + mx_{\tiny{2}}}{m+n} \ , \ \frac{ ny_{\tiny{1}} + my_{\tiny{2}}}{m+n} \ \right)
\end{equation*}
$\bullet$ 外分点
\begin{equation*}
\quad \left( \ \frac{ -nx_{\tiny{1}} + mx_{\tiny{2}}}{m – n} \ , \ \frac{ -ny_{\tiny{1}} + my_{\tiny{2}}}{m – n} \ \right)
\end{equation*}
$\bullet$ 内分点
\begin{equation*}
\quad \left( \ \frac{nx_{\tiny{1}} + mx_{\tiny{2}}}{m+n} \ , \ \frac{ ny_{\tiny{1}} + my_{\tiny{2}}}{m+n} \ \right)
\end{equation*}
$\bullet$ 外分点
\begin{equation*}
\quad \left( \ \frac{ -nx_{\tiny{1}} + mx_{\tiny{2}}}{m – n} \ , \ \frac{ -ny_{\tiny{1}} + my_{\tiny{2}}}{m – n} \ \right)
\end{equation*}
重心の座標
△ABCの重心の座標
\begin{equation*}
\quad \left( \ \frac{ x_{\tiny{1}} + x_{\tiny{2}} + x_{\tiny{3}}}{3} \ , \ \frac{ y_{\tiny{1}} + y_{\tiny{2}} + y_{\tiny{3}}}{3} \ \right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
\quad \left( \ \frac{ x_{\tiny{1}} + x_{\tiny{2}} + x_{\tiny{3}}}{3} \ , \ \frac{ y_{\tiny{1}} + y_{\tiny{2}} + y_{\tiny{3}}}{3} \ \right)
\end{equation*}
直線
直線の方程式
\begin{align*}
\bullet \ &ax + by + c = 0 \ \text{(一般形)} \\[ 5pt ]
&\text{ただし} \ a \neq 0 \ \text{または} \ b \neq 0 \\[ 10pt ]
\bullet \ &b \neq 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt]
&\quad y = -\frac{a}{b} x -\frac{c}{b} \\[ 10pt ]
\bullet \ &b = 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt]
&\quad x = -\frac{c}{a}
\end{align*}
\bullet \ &ax + by + c = 0 \ \text{(一般形)} \\[ 5pt ]
&\text{ただし} \ a \neq 0 \ \text{または} \ b \neq 0 \\[ 10pt ]
\bullet \ &b \neq 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt]
&\quad y = -\frac{a}{b} x -\frac{c}{b} \\[ 10pt ]
\bullet \ &b = 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt]
&\quad x = -\frac{c}{a}
\end{align*}
点 $( \ x_{\tiny{1}} \ , \ y_{\tiny{1}} \ )$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式
\begin{equation*}
\quad y \ – y_{\tiny{1}} = m \ ( x \ – x_{\tiny{1}} )
\end{equation*}
\begin{equation*}
\quad y \ – y_{\tiny{1}} = m \ ( x \ – x_{\tiny{1}} )
\end{equation*}
異なる２点 $( \ x_{\tiny{1}} \ , \ y_{\tiny{1}} \ ) \ , \ ( \ x_{\tiny{2}} \ , \ y_{\tiny{2}} \ )$ を通る直線の方程式
\begin{align*}
\bullet \ &x_{\tiny{1}} \neq x_{\tiny{2}} \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad y \ – y_{\tiny{1}} = \frac{ y_{\tiny{2}} \ – y_{\tiny{1}} }{ x_{\tiny{2}} \ – x_{\tiny{1}} } \ ( x \ – x_{\tiny{1}} ) \\[ 10pt ]
\bullet \ &x_{\tiny{1}} = x_{\tiny{2}} \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad x = x_{\tiny{1}}
\end{align*}
この２式をまとめると
\begin{equation*}
\quad ( y_{\tiny{2}} \ – y_{\tiny{1}} ) ( x \ – x_{\tiny{1}} ) \ – ( x_{\tiny{2}} \ – x_{\tiny{1}} ) ( y \ – y_{\tiny{1}} ) = 0
\end{equation*}
\begin{align*}
\bullet \ &x_{\tiny{1}} \neq x_{\tiny{2}} \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad y \ – y_{\tiny{1}} = \frac{ y_{\tiny{2}} \ – y_{\tiny{1}} }{ x_{\tiny{2}} \ – x_{\tiny{1}} } \ ( x \ – x_{\tiny{1}} ) \\[ 10pt ]
\bullet \ &x_{\tiny{1}} = x_{\tiny{2}} \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad x = x_{\tiny{1}}
\end{align*}
この２式をまとめると
\begin{equation*}
\quad ( y_{\tiny{2}} \ – y_{\tiny{1}} ) ( x \ – x_{\tiny{1}} ) \ – ( x_{\tiny{2}} \ – x_{\tiny{1}} ) ( y \ – y_{\tiny{1}} ) = 0
\end{equation*}
２直線の関係
\begin{align*}
\begin{cases}
y = m_{\tiny{1}} \ x + n_{\tiny{1}} \\
y = m_{\tiny{2}} \ x + n_{\tiny{2}}
\end{cases}
\end{align*}
交わる：$\quad \ m_{\tiny{1}} \neq m_{\tiny{2}}$
平行 ：$\quad \ m_{\tiny{1}} = m_{\tiny{2}}$
垂直 ：$m_{\tiny{1}} \ m_{\tiny{2}} = -1$
(注意) 一致は平行に含める。
\begin{cases}
y = m_{\tiny{1}} \ x + n_{\tiny{1}} \\
y = m_{\tiny{2}} \ x + n_{\tiny{2}}
\end{cases}
\end{align*}
交わる：$\quad \ m_{\tiny{1}} \neq m_{\tiny{2}}$
平行 ：$\quad \ m_{\tiny{1}} = m_{\tiny{2}}$
垂直 ：$m_{\tiny{1}} \ m_{\tiny{2}} = -1$
(注意) 一致は平行に含める。
\begin{align*}
\begin{cases}
a_{\tiny{1}} \ x + b_{\tiny{1}} \ y + c_{\tiny{1}} = 0 \\
a_{\tiny{2}} \ x + b_{\tiny{2}} \ y + c_{\tiny{2}} = 0
\end{cases}
\end{align*}
交わる：$a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{1}} \neq 0$
平行 ：$a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{1}} = 0$
垂直 ：$a_{\tiny{1}} \ a_{\tiny{2}} \ + b_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{2}} = 0$
(注意) 一致は平行に含める。
\begin{cases}
a_{\tiny{1}} \ x + b_{\tiny{1}} \ y + c_{\tiny{1}} = 0 \\
a_{\tiny{2}} \ x + b_{\tiny{2}} \ y + c_{\tiny{2}} = 0
\end{cases}
\end{align*}
交わる：$a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{1}} \neq 0$
平行 ：$a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{1}} = 0$
垂直 ：$a_{\tiny{1}} \ a_{\tiny{2}} \ + b_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{2}} = 0$
(注意) 一致は平行に含める。
点と直線の距離
直線 $ax + by + c = 0$ と点 $( \ x_{\tiny{1}} \ , \ y_{\tiny{1}} \ )$ の距離 $d$
\begin{equation*}
\quad d = \frac{ | \ a x_{\tiny{1}} + b y_{\tiny{1}} + c \ | }{\sqrt{ a^{\tiny{2}} + b^{\tiny{2}} }}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\quad d = \frac{ | \ a x_{\tiny{1}} + b y_{\tiny{1}} + c \ | }{\sqrt{ a^{\tiny{2}} + b^{\tiny{2}} }}
\end{equation*}
三角形の面積
３点 $O ( \ 0 \ , \ 0 \ ) \ , \ A ( \ x_{\tiny{1}} \ , \ y_{\tiny{1}} \ ) \ , \ B ( \ x_{\tiny{2}} \ , \ y_{\tiny{2}} \ )$ を頂点とする△OABの面積 $S$
\begin{equation*}
\quad S = \frac{1}{2} | \ x_{\tiny{1}} \ y_{\tiny{2}} \ – x_{\tiny{2}} \ y_{\tiny{1}} \ |
\end{equation*}
\begin{equation*}
\quad S = \frac{1}{2} | \ x_{\tiny{1}} \ y_{\tiny{2}} \ – x_{\tiny{2}} \ y_{\tiny{1}} \ |
\end{equation*}
図形と方程式：２．円
円
円の方程式
点 $( \ a \ , \ b \ )$ を中心とし、半径が $r$ の円の方程式
\begin{equation*}
\quad { ( x \ – a )}^{\tiny{2}} + { ( y \ – b )}^{\tiny{2}} = r^{\tiny{2}}
\end{equation*}
特に、原点 $O$ が中心の場合
\begin{equation*}
\quad x^{\tiny{2}} + y^{\tiny{2}} = r^{\tiny{2}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\quad { ( x \ – a )}^{\tiny{2}} + { ( y \ – b )}^{\tiny{2}} = r^{\tiny{2}}
\end{equation*}
特に、原点 $O$ が中心の場合
\begin{equation*}
\quad x^{\tiny{2}} + y^{\tiny{2}} = r^{\tiny{2}}
\end{equation*}
円の方程式の一般形
\begin{align*}
&\quad x^{\tiny{2}} + y^{\tiny{2}} + lx + my + n = 0 \\[ 5pt ]
&\text{ただし} \ l^{\tiny{2}} + m^{\tiny{2}} – 4n \gt 0
\end{align*}
\begin{align*}
&\quad x^{\tiny{2}} + y^{\tiny{2}} + lx + my + n = 0 \\[ 5pt ]
&\text{ただし} \ l^{\tiny{2}} + m^{\tiny{2}} – 4n \gt 0
\end{align*}
円の接線
円 $x^{\tiny{2}} + y^{\tiny{2}} = r^{\tiny{2}}$ の点 $( \ x_{\tiny{1}} \ , \ y_{\tiny{1}} \ )$ における接線の方程式
\begin{equation*}
\quad x_{\tiny{1}} \ x + y_{\tiny{1}} \ y = r^{\tiny{2}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\quad x_{\tiny{1}} \ x + y_{\tiny{1}} \ y = r^{\tiny{2}}
\end{equation*}
図形と方程式：３．軌跡と領域
軌跡と方程式
対称移動
$\bullet$ 点対称：点 $A$ に関して、点 $P$ と点 $Q$ が対称
$\quad \iff$ 線分 $PQ$ の中点が $A$
$\quad \iff$ 線分 $PQ$ の中点が $A$
$\bullet$ 線対称：直線ℓに関して、点 $P$ と点 $Q$ が対称
$\quad \iff$ ① $PQ$ ⊥ℓ ② 線分 $PQ$ の中点がℓ上にある
不等式の表す領域
不等式と領域
$\bullet \ y \gt f(x)$ のとき
$\quad \cdots$ 曲線 $y = f(x)$ の上側の部分
$\quad \cdots$ 曲線 $y = f(x)$ の上側の部分
$\bullet \ y \lt f(x)$ のとき
$\quad \cdots$ 曲線 $y = f(x)$ の下側の部分
$\bullet \ x^{\tiny{2}} + y^{\tiny{2}} \lt r^{\tiny{2}}$ のとき
$\quad \cdots$ 円 $x^{\tiny{2}} + y^{\tiny{2}} = r^{\tiny{2}}$ の内部
$\bullet \ x^{\tiny{2}} + y^{\tiny{2}} \gt r^{\tiny{2}}$ のとき
$\quad \cdots$ 円 $x^{\tiny{2}} + y^{\tiny{2}} = r^{\tiny{2}}$ の外部
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