数学の公式・定理集|図形と方程式

公式・定理,数学2

数学の公式・定理集

図形と方程式:1.点と直線

点の座標

点 $A ( \ x_{1} \ , \ y_{1} \ ) \ , \ B ( \ x_{2} \ , \ y_{2} \ ) \ , \ C ( \ x_{3} \ , \ y_{3} \ )$ とする。

2点間の距離

\begin{align*} \quad AB = \sqrt{ {\left( x_{2} \ – \ x_{1} \right)}^{2} + {\left( y_{2} \ – \ y_{1} \right)}^{2} } \end{align*}

特に、原点 O と A の距離は

\begin{align*} \quad OA = \sqrt{ { x_{1} }^{2} + { y_{1} }^{2} } \end{align*}

内分点・外分点

線分 AB を m:n に分ける点の座標

内分点

\begin{align*} \quad \left( \ \frac{nx_{1} + mx_{2}}{m+n} \ , \ \frac{ ny_{1} + my_{2}}{m+n} \ \right) \end{align*}

外分点

\begin{align*} \quad \left( \ \frac{ -nx_{1} + mx_{2}}{m – n} \ , \ \frac{ -ny_{1} + my_{2}}{m – n} \ \right) \end{align*}

重心の座標

△ABC の重心の座標

\begin{align*} \quad \left( \ \frac{ x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3} \ , \ \frac{ y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3} \ \right) \end{align*}

直線

直線の方程式

\begin{align*} \bullet \ &ax + by + c = 0 \ \text{(一般形)} \\[ 7pt ] &\text{ただし} \ a \neq 0 \ \text{または} \ b \neq 0 \\[ 10pt ] \bullet \ &b \neq 0 \ \text{のとき} \\[ 7pt] &\quad y = -\frac{a}{b} x -\frac{c}{b} \\[ 10pt ] \bullet \ &b = 0 \ \text{のとき} \\[ 7pt] &\quad x = -\frac{c}{a} \end{align*}

点 $( \ x_{1} \ , \ y_{1} \ )$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式

\begin{align*} \quad y \ – y_{1} = m \ ( x \ – x_{1} ) \end{align*}

異なる2点 $( \ x_{1} \ , \ y_{1} \ ) \ , \ ( \ x_{2} \ , \ y_{2} \ )$ を通る直線の方程式

\begin{align*} \bullet \ &x_{1} \neq x_{2} \ \text{のとき} \\[ 7pt ] &\quad y \ – y_{1} = \frac{ y_{2} \ – y_{1} }{ x_{2} \ – x_{1} } \ ( x \ – x_{1} ) \\[ 10pt ] \bullet \ &x_{1} = x_{2} \ \text{のとき} \\[ 7pt ] &\quad x = x_{1} \end{align*}

この2式をまとめると

\begin{align*} \quad ( y_{2} \ – y_{1} ) ( x \ – x_{1} ) \ – ( x_{2} \ – x_{1} ) ( y \ – y_{1} ) = 0 \end{align*}

2直線の関係

\begin{align*} \begin{cases} y = m_{1} \ x + n_{1} \\ y = m_{2} \ x + n_{2} \end{cases} \end{align*}

交わる:$m_{1} \neq m_{2}$

平行 :$m_{1} = m_{2}$

垂直 :$m_{1} \ m_{2} = -1$

(注意)一致は平行に含める。

\begin{align*} \begin{cases} a_{1} \ x + b_{1} \ y + c_{1} = 0 \\ a_{2} \ x + b_{2} \ y + c_{2} = 0 \end{cases} \end{align*}

交わる:$a_{1} \ b_{2} \ – a_{2} \ b_{1} \neq 0$

平行 :$a_{1} \ b_{2} \ – a_{2} \ b_{1} = 0$

垂直 :$a_{1} \ a_{2} \ + b_{1} \ b_{2} = 0$

(注意)一致は平行に含める。

点と直線の距離

直線 $ax + by + c = 0$ と点 $( \ x_{1} \ , \ y_{1} \ )$ の距離 $d$

\begin{align*} \quad d = \frac{ \left| \ a x_{1} + b y_{1} + c \ \right| }{\sqrt{ a^{2} + b^{2} }} \end{align*}

三角形の面積

3点 $O ( \ 0 \ , \ 0 \ ) \ , \ A ( \ x_{1} \ , \ y_{1} \ ) \ , \ B ( \ x_{2} \ , \ y_{2} \ )$ を頂点とする△OAB の面積 $S$

\begin{align*} \quad S = \frac{1}{2} \left| \ x_{1} y_{2} \ – x_{2} y_{1} \ \right| \end{align*}

図形と方程式:2.円

円の方程式

点 $( \ a \ , \ b \ )$ を中心とし、半径が $r$ の円の方程式

\begin{align*} \quad { ( x \ – a )}^{2} + { ( y \ – b )}^{2} = r^{2} \end{align*}

特に、原点 O が中心の場合

\begin{align*} \quad x^{2} + y^{2} = r^{2} \end{align*}

円の方程式の一般形

\begin{align*} \quad x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0 \end{align*}

ただし

\begin{align*} \quad l^{2} + m^{2} – 4n \gt 0 \end{align*}

円の接線

円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ の点 $( \ x_{1} \ , \ y_{1} \ )$ における接線の方程式

\begin{align*} \quad x_{1} x + y_{1} y = r^{2} \end{align*}

図形と方程式:3.軌跡と領域

軌跡と方程式

対称移動

  • 点対称:点 A に関して、点 P と点 Q が対称
    • ⇔ 線分 PQ の中点が A
  • 線対称:直線ℓに関して、点 P と点 Q が対称
    • ⇔ ① PQ⊥ℓ,② 線分 PQ の中点がℓ上にある

不等式の表す領域

不等式と領域

  • $y \gt f(x)$ のとき
    • … 曲線 $y = f(x)$ の上側の部分
  • $y \lt f(x)$ のとき
    • … 曲線 $y = f(x)$ の下側の部分
  • $x^{2} + y^{2} \lt r^{2}$ のとき
    • … 円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ の内部
  • $x^{2} + y^{2} \gt r^{2}$ のとき
    • … 円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ の外部

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