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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。

図形と計量

公式・定理集
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図形と計量

三角比の定義とその相互関係

三角比の定義

∠θに対する正弦
\begin{equation*}
\sin \theta = \frac{y}{r}
\end{equation*}

∠θに対する余弦
\begin{equation*}
\cos \theta = \frac{x}{r}
\end{equation*}

∠θに対する正接
\begin{equation*}
\tan \theta = \frac{y}{x}
\end{equation*}

三角比の定義

三角比の相互関係

\begin{align*}
&\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1 \\[ 5pt ]
&\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\[ 5pt ]
&1 + \tan^{2} \theta = \frac{1}{\cos^{2} \theta}
\end{align*}

$180^{\circ}-\theta \ , \ 90^{\circ} \pm \theta $ の三角比

\begin{align*}
&\sin \left( 180^{\circ}-\theta \right) = \sin \theta \\[ 5pt ]
&\cos \left( 180^{\circ}-\theta \right) = -\cos \theta \\[ 5pt ]
&\tan \left( 180^{\circ}-\theta \right) = -\tan \theta
\end{align*}
\begin{align*}
&\sin \left( 90^{\circ} \pm \theta \right) = \cos \theta \\[ 5pt ]
&\cos \left( 90^{\circ} \pm \theta \right) = \mp \sin \theta \\[ 5pt ]
&\tan \left( 90^{\circ} \pm \theta \right) = \mp \frac{1}{\tan \theta}
\end{align*}

正弦定理

△ABCの外接円の半径を $R$ とすると
\begin{equation*}
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\end{equation*}
正弦定理

余弦定理

\begin{align*}
a^{2} = b^{2} + c^{2} -2bc \cos A \\[ 5pt ]
b^{2} = c^{2} + a^{2} -2ca \cos B \\[ 5pt ]
c^{2} = a^{2} + b^{2} -2ab \cos C
\end{align*}
参考
\begin{align*}
a = c \cos B + b \cos C \\[ 5pt ]
b = a \cos C + c \cos A \\[ 5pt ]
c = b \cos A + a \cos B
\end{align*}
正弦定理

三角形の辺と角の関係

三角形の成立条件
\begin{equation*}
|b-c| \lt a \lt b+c
\end{equation*}
辺と角の大小関係 その1
\begin{align*}
a \lt b \ &\Longleftrightarrow \ A \lt B \\[ 5pt ]
a = b \ &\Longleftrightarrow \ A = B \\[ 5pt ]
a \gt b \ &\Longleftrightarrow \ A \gt B
\end{align*}
辺と角の大小関係 その2
\begin{align*}
a \lt 90^{\circ} \ &\Longleftrightarrow \ a^{2} \lt b^{2} + c^{2} \\[ 5pt ]
a = 90^{\circ} \ &\Longleftrightarrow \ a^{2} = b^{2} + c^{2} \\[ 5pt ]
a \gt 90^{\circ} \ &\Longleftrightarrow \ a^{2} \gt b^{2} + c^{2}
\end{align*}

三角形の面積

2辺とその間の角

△ABCの面積を $S$ とすると
\begin{align*}
S &= \frac{1}{2} bc \sin A \\[ 5pt ]
&= \frac{1}{2} ca \sin B \\[ 5pt ]
&= \frac{1}{2} ab \sin C
\end{align*}

3辺(ヘロンの公式)

△ABCの面積を $S$ とし、$2S=a+b+c$ とおくと
\begin{equation*}
S = \sqrt{s \left( s-a \right) \left( s-b \right) \left( s-c \right)}
\end{equation*}

三角形の内接円と面積

△ABCの面積を $S$、内接円の半径を $r$ とおくと
\begin{equation*}
S = \frac{1}{2} r \left( a+b+c \right)
\end{equation*}
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