式と証明:1.式と計算
3次式の展開と因数分解
\begin{align*}
&\bullet \ {\left( a+b \right)}^{3} \\[ 5pt ]
&\quad = a^{3} + 3{a}^{2}b + 3a{b}^{2} + b^{3} \\[ 10pt ]
&\bullet \ {\left( a-b \right)}^{3} \\[ 5pt ]
&\quad = a^{3} – 3{a}^{2}b + 3a{b}^{2} – b^{3} \\[ 10pt ]
&\bullet \ {\left( a+b \right)}{\left( a^{2}-ab+b^{2} \right)} = a^{3} + b^{3} \\[ 5pt ]
&\bullet \ {\left( a-b \right)}{\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)} = a^{3} – b^{3} \\[ 10pt ]
&\text{参考} \\[ 5pt ]
&\bullet \ a^{3} +b^{3} +c^{3} -3abc \\[ 5pt ]
&= {\left( a+b+c \right)}{\left( a^{2} +b^{2} +c^{2} -ab -bc-ca \right)}
\end{align*}
&\bullet \ {\left( a+b \right)}^{3} \\[ 5pt ]
&\quad = a^{3} + 3{a}^{2}b + 3a{b}^{2} + b^{3} \\[ 10pt ]
&\bullet \ {\left( a-b \right)}^{3} \\[ 5pt ]
&\quad = a^{3} – 3{a}^{2}b + 3a{b}^{2} – b^{3} \\[ 10pt ]
&\bullet \ {\left( a+b \right)}{\left( a^{2}-ab+b^{2} \right)} = a^{3} + b^{3} \\[ 5pt ]
&\bullet \ {\left( a-b \right)}{\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)} = a^{3} – b^{3} \\[ 10pt ]
&\text{参考} \\[ 5pt ]
&\bullet \ a^{3} +b^{3} +c^{3} -3abc \\[ 5pt ]
&= {\left( a+b+c \right)}{\left( a^{2} +b^{2} +c^{2} -ab -bc-ca \right)}
\end{align*}
二項定理
二項定理
\begin{align*}
&{\left( a+b \right)}^{n} \\[ 5pt ]
&= {}_n \mathrm{ C }_0 a^{n} + {}_n \mathrm{ C }_1 a^{n-1} b + {}_n \mathrm{ C }_2 a^{n-2} b^{2} + \cdots \\[ 15pt ]
&\cdots + {}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r} b^{r} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1} a b^{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_n b^{n} \\[ 10pt ]
&\text{一般項(第} \ r+1 \ \text{項):} \ {}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r} b^{r}
\end{align*}
&{\left( a+b \right)}^{n} \\[ 5pt ]
&= {}_n \mathrm{ C }_0 a^{n} + {}_n \mathrm{ C }_1 a^{n-1} b + {}_n \mathrm{ C }_2 a^{n-2} b^{2} + \cdots \\[ 15pt ]
&\cdots + {}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r} b^{r} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1} a b^{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_n b^{n} \\[ 10pt ]
&\text{一般項(第} \ r+1 \ \text{項):} \ {}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r} b^{r}
\end{align*}
多項定理
$p \ , \ q \ , \ r$ は整数とする。
${\left( a+b+c \right)}^{n}$ の一般項は、
\begin{equation*}
\quad \frac{n!}{p!q!r!} a^{p} b^{q} c^{r}
\end{equation*}
ただし、
$\quad p+q+r=n$
$\quad p \geqq 0 \ , \ q \geqq 0 \ , \ r \geqq 0$
${\left( a+b+c \right)}^{n}$ の一般項は、
\begin{equation*}
\quad \frac{n!}{p!q!r!} a^{p} b^{q} c^{r}
\end{equation*}
ただし、
$\quad p+q+r=n$
$\quad p \geqq 0 \ , \ q \geqq 0 \ , \ r \geqq 0$
関連記事 式と証明|多項定理について
整式の割り算
$A \div B$ の商を $Q$、余りを $R$ とすると
$\quad A=BQ+R$
ただし、
$R$ の次数 < $B$ の次数、または $R=0$
分数式
\begin{align*}
&\bullet \ \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \frac{A}{C} – \frac{B}{C} = \frac{A – B}{C}
\end{align*}
&\bullet \ \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \frac{A}{C} – \frac{B}{C} = \frac{A – B}{C}
\end{align*}
恒等式
$ax^{2} + bx + c = a’x^{2} + b’x + c’$
が $x$ の恒等式
が $x$ の恒等式
$\iff a=a’ \ , \ b=b’ \ , \ c=c’$
関連記事
式と証明|恒等式の係数決定(係数比較法)について
式と証明|恒等式の係数決定(数値代入法)について
式と証明|分数式の恒等式について
式と証明|複数の文字に関する恒等式について
式と証明|割り算と整式の決定について その2(恒等式)
式と証明|条件式のある恒等式について
式と証明|恒等式の係数決定(係数比較法)について
式と証明|恒等式の係数決定(数値代入法)について
式と証明|分数式の恒等式について
式と証明|複数の文字に関する恒等式について
式と証明|割り算と整式の決定について その2(恒等式)
式と証明|条件式のある恒等式について
式と証明:2.等式・不等式の証明
等式・不等式の証明
実数の性質
$a \ , \ b$ は実数とする。
\begin{align*}
&\bullet \ a \geqq 0 \\[ 5pt ]
&\quad a^{2} = 0 \iff a = 0 \\[ 10pt ]
&\bullet \ a^{2} + b^{2} \geqq 0 \\[ 5pt ]
&\quad a^{2} + b^{2} = 0 \iff a = b = 0
\end{align*}
\begin{align*}
&\bullet \ a \geqq 0 \\[ 5pt ]
&\quad a^{2} = 0 \iff a = 0 \\[ 10pt ]
&\bullet \ a^{2} + b^{2} \geqq 0 \\[ 5pt ]
&\quad a^{2} + b^{2} = 0 \iff a = b = 0
\end{align*}
関連記事
式と証明|不等式の式変形でやってよいこと、やってはいけないことについて
式と証明|不等式の証明について(基本)
式と証明|不等式の証明について(平方の差をつくる)
式と証明|絶対値を含む不等式の証明について
式と証明|不等式の式変形でやってよいこと、やってはいけないことについて
式と証明|不等式の証明について(基本)
式と証明|不等式の証明について(平方の差をつくる)
式と証明|絶対値を含む不等式の証明について
(相加平均)≧(相乗平均)
$a \gt 0 \ , \ b \gt 0$ のとき
\begin{align*}
&\quad \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \\[ 10pt ]
&a=b \ \text{のとき等号成立}
\end{align*}
\begin{align*}
&\quad \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \\[ 10pt ]
&a=b \ \text{のとき等号成立}
\end{align*}
関連記事
式と証明|相加平均・相乗平均を利用した不等式の証明について
式と証明|相加平均・相乗平均の大小関係を利用するときのよくある間違い
式と証明|式の大小比較について
式と証明|特徴のある文言を含む証明問題について
式と証明|不等式の証明の拡張について
式と証明|相加平均・相乗平均を利用した不等式の証明について
式と証明|相加平均・相乗平均の大小関係を利用するときのよくある間違い
式と証明|式の大小比較について
式と証明|特徴のある文言を含む証明問題について
式と証明|不等式の証明の拡張について
Recommended books
導出が丁寧に記載されている公式集を1冊もっておくと困ったときに辞書代わりになります。
おすすめ その1
「数学」の公式・定理・決まりごとがまとめてわかる事典 (BERET SCIENCE)
ポケットサイズのものと違いサイズが少し大きいので、図が豊富です。
おすすめ その2
高校数学公式活用事典
公式・定理・定義は左ページ、活用例・解説・証明は右ページの見開き構成になっているので、使いやすいです。
おすすめ その3
公式集 (モノグラフ)
難関大を志望している人向けです。大学に進学してからも使えます。