式と証明

\begin{align*}
&\bullet \ {\left( a+b \right)}^{3} \\[ 5pt ]
&\quad = a^{3} + 3{a}^{2}b + 3a{b}^{2} + b^{3} \\[ 10pt ]
&\bullet \ {\left( a-b \right)}^{3} \\[ 5pt ]
&\quad = a^{3} – 3{a}^{2}b + 3a{b}^{2} – b^{3} \\[ 10pt ]
&\bullet \ {\left( a+b \right)}{\left( a^{2}-ab+b^{2} \right)} = a^{3} + b^{3} \\[ 5pt ]
&\bullet \ {\left( a-b \right)}{\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)} = a^{3} – b^{3} \\[ 10pt ]
&\text{参考} \\[ 5pt ]
&\bullet \ a^{3} +b^{3} +c^{3} -3abc \\[ 5pt ]
&= {\left( a+b+c \right)}{\left( a^{2} +b^{2} +c^{2} -ab -bc-ca \right)}
\end{align*}

\begin{align*}
&{\left( a+b \right)}^{n} \\[ 5pt ]
&= {}_n \mathrm{ C }_0 a^{n} + {}_n \mathrm{ C }_1 a^{n-1} b + {}_n \mathrm{ C }_2 a^{n-2} b^{2} + \cdots \\[ 15pt ]
&\cdots + {}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r} b^{r} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1} a b^{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_n b^{n} \\[ 10pt ]
&\text{一般項(第} \ r+1 \ \text{項)：} \ {}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r} b^{r}
\end{align*}

$p \ , \ q \ , \ r$ は整数とする。
${\left( a+b+c \right)}^{n}$ の一般項は、
\begin{equation*}
\quad \frac{n!}{p!q!r!} a^{p} b^{q} c^{r}
\end{equation*}
ただし、
$\quad p+q+r=n$
$\quad p \geqq 0 \ , \ q \geqq 0 \ , \ r \geqq 0$

$A \div B$ の商を $Q$、余りを $R$ とすると

$\quad A=BQ+R$

ただし、
$R$ の次数 ＜ $B$ の次数、または $R=0$

\begin{align*}
&\bullet \ \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \frac{A}{C} – \frac{B}{C} = \frac{A – B}{C}
\end{align*}

$ax^{2} + bx + c = a’x^{2} + b’x + c’$
が $x$ の恒等式

$\iff a=a’ \ , \ b=b’ \ , \ c=c’$

$a \ , \ b$ は実数とする。
\begin{align*}
&\bullet \ a \geqq 0 \\[ 5pt ]
&\quad a^{2} = 0 \iff a = 0 \\[ 10pt ]
&\bullet \ a^{2} + b^{2} \geqq 0 \\[ 5pt ]
&\quad a^{2} + b^{2} = 0 \iff a = b = 0
\end{align*}

$a \gt 0 \ , \ b \gt 0$ のとき
\begin{align*}
&\quad \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \\[ 10pt ]
&a=b \ \text{のとき等号成立}
\end{align*}