式と証明

08/18/201803/25/2020

1. 式と証明：１．式と計算
2. 式と証明：２．等式・不等式の証明
- 2.1. 等式・不等式の証明
- 2.2. おすすめの数学辞典

式と証明：１．式と計算

３次式の展開と因数分解

\begin{align*} &\bullet \ {\left( a+b \right)}^{3} \\[ 7pt ] &\quad = a^{3} + 3{a}^{2}b + 3a{b}^{2} + b^{3} \\[ 10pt ] &\bullet \ {\left( a-b \right)}^{3} \\[ 7pt ] &\quad = a^{3} – 3{a}^{2}b + 3a{b}^{2} – b^{3} \\[ 10pt ] &\bullet \ {\left( a+b \right)}{\left( a^{2}-ab+b^{2} \right)} = a^{3} + b^{3} \\[ 7pt ] &\bullet \ {\left( a-b \right)}{\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)} = a^{3} – b^{3} \end{align*}

参考

\begin{align*} &a^{3} +b^{3} +c^{3} -3abc \\[ 7pt ] &= {\left( a+b+c \right)}{\left( a^{2} +b^{2} +c^{2} -ab -bc-ca \right)} \end{align*}

二項定理

\begin{align*} &{\left( a+b \right)}^{n} \\[ 7pt ] &= {}_n \mathrm{ C }_0 a^{n} + {}_n \mathrm{ C }_1 a^{n-1} b + {}_n \mathrm{ C }_2 a^{n-2} b^{2} + \cdots \\[ 15pt ] &\cdots + {}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r} b^{r} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1} a b^{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_n b^{n} \end{align*}

一般項（第 r+1 項）

\begin{equation*} \quad {}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r} b^{r} \end{equation*}

多項定理

p, q, r は整数とする。

(a+b+c)ⁿ の一般項は、

\begin{equation*} \quad \frac{n!}{p!q!r!} a^{p} \ b^{q} \ c^{r} \end{equation*}

ただし

\begin{align*} &\quad p+q+r=n \\[ 7pt ] &\quad p \geqq 0 \ , \ q \geqq 0 \ , \ r \geqq 0 \end{align*}

式と証明｜多項定理について

整式の割り算

A ÷ B の商を Q、余りを R とすると

\begin{equation*} \quad A=BQ+R \end{equation*}

ただし、R の次数＜ B の次数、または R = 0

分数式

\begin{align*} &\bullet \ \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD} \\[ 10pt ] &\bullet \ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC} \\[ 10pt ] &\bullet \ \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C} \\[ 10pt ] &\bullet \ \frac{A}{C} – \frac{B}{C} = \frac{A – B}{C} \end{align*}

恒等式

\begin{equation*} \quad ax^{2} + bx + c = a’x^{2} + b’x + c’ \end{equation*}

が x の恒等式

\begin{equation*} \iff a=a’ \ , \ b=b’ \ , \ c=c’ \end{equation*}

等式・不等式の証明

実数の性質

a, b は実数とする。

\begin{align*} &\bullet \ a \geqq 0 \\[ 7pt ] &\quad a^{2} = 0 \iff a = 0 \\[ 10pt ] &\bullet \ a^{2} + b^{2} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\quad a^{2} + b^{2} = 0 \iff a = b = 0 \end{align*}

（相加平均）≧（相乗平均）

\begin{align*} &\text{$a \gt 0 \ , \ b \gt 0$ のとき} \\[ 7pt ] &\quad \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \\[ 10pt ] &a=b \ \text{のとき等号成立} \end{align*}