頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。

式と証明

公式・定理集
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式と証明:1.式と計算

3次式の展開と因数分解

\begin{align*}
&\bullet \ {\left( a+b \right)}^{3} \\[ 5pt ]
&\quad = a^{3} + 3{a}^{2}b + 3a{b}^{2} + b^{3} \\[ 10pt ]
&\bullet \ {\left( a-b \right)}^{3} \\[ 5pt ]
&\quad = a^{3} – 3{a}^{2}b + 3a{b}^{2} – b^{3} \\[ 10pt ]
&\bullet \ {\left( a+b \right)}{\left( a^{2}-ab+b^{2} \right)} = a^{3} + b^{3} \\[ 5pt ]
&\bullet \ {\left( a-b \right)}{\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)} = a^{3} – b^{3} \\[ 10pt ]
&\text{参考} \\[ 5pt ]
&\bullet \ a^{3} +b^{3} +c^{3} -3abc \\[ 5pt ]
&= {\left( a+b+c \right)}{\left( a^{2} +b^{2} +c^{2} -ab -bc-ca \right)}
\end{align*}

参考 式と証明|3次式の展開について
参考 式と証明|3次式の因数分解について
参考 式と証明|パスカルの三角形について

二項定理

二項定理

\begin{align*}
&{\left( a+b \right)}^{n} \\[ 5pt ]
&= {}_n \mathrm{ C }_0 a^{n} + {}_n \mathrm{ C }_1 a^{n-1} b + {}_n \mathrm{ C }_2 a^{n-2} b^{2} + \cdots \\[ 15pt ]
&\cdots + {}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r} b^{r} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1} a b^{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_n b^{n} \\[ 10pt ]
&\text{一般項(第} \ r+1 \ \text{項):} \ {}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r} b^{r}
\end{align*}

参考 式と証明|二項定理について
参考 式と証明|二項係数と等式の証明について
参考 式と証明|二項定理の利用について

多項定理

$p \ , \ q \ , \ r$ は整数とする。
${\left( a+b+c \right)}^{n}$ の一般項は、
\begin{equation*}
\quad \frac{n!}{p!q!r!} a^{p} b^{q} c^{r}
\end{equation*}
ただし、
$\quad p+q+r=n$
$\quad p \geqq 0 \ , \ q \geqq 0 \ , \ r \geqq 0$

参考 式と証明|多項定理について

整式の割り算

$A \div B$ の商を $Q$、余りを $R$ とすると

$\quad A=BQ+R$

ただし、
$R$ の次数 < $B$ の次数、または $R=0$

参考 式と証明|整式の割り算について
参考 式と証明|割り算と整式の決定について
参考 式と証明|2つ以上の文字を含む整式の割り算について

分数式

\begin{align*}
&\bullet \ \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C} \\[ 10pt ]
&\bullet \ \frac{A}{C} – \frac{B}{C} = \frac{A – B}{C}
\end{align*}

参考 式と証明|分数式の乗法や除法について
参考 式と証明|分数式の加法や減法について
参考 式と証明|繁分数式の計算について
参考 式と証明|部分分数への分解について
参考 式と証明|分数式の加法や減法の応用について

恒等式

$ax^{2} + bx + c = a’x^{2} + b’x + c’$
が $x$ の恒等式

$\iff a=a’ \ , \ b=b’ \ , \ c=c’$

参考 式と証明|恒等式の係数決定(係数比較法)について
参考 式と証明|恒等式の係数決定(数値代入法)について
参考 式と証明|分数式の恒等式について
参考 式と証明|複数の文字に関する恒等式について
参考 式と証明|割り算と整式の決定について その2(恒等式)
参考 式と証明|条件式のある恒等式について

式と証明:2.等式・不等式の証明

等式・不等式の証明

実数の性質

$a \ , \ b$ は実数とする。
\begin{align*}
&\bullet \ a \geqq 0 \\[ 5pt ]
&\quad a^{2} = 0 \iff a = 0 \\[ 10pt ]
&\bullet \ a^{2} + b^{2} \geqq 0 \\[ 5pt ]
&\quad a^{2} + b^{2} = 0 \iff a = b = 0
\end{align*}

(相加平均)≧(相乗平均)

$a \gt 0 \ , \ b \gt 0$ のとき
\begin{align*}
&\quad \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \\[ 10pt ]
&a=b \ \text{のとき等号成立}
\end{align*}
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