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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。

図形の性質

公式・定理集
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図形の性質

三角形の辺の比、外心・内心・重心

三角形の角の二等分線と比

三角形の辺の比
  • △ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点Pは、辺BCをAB:ACに内分する。
  • AB≠ACである△ABCの∠Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点Qは、辺BCをAB:ACに外分する。

外心・内心・重心

三角形の内心・外心・重心
  • 外心:3辺の垂直二等分線の交点。
  • 内心:3つの内角の二等分線の交点。
  • 重心:3つの中線の交点。重心は各中線を2:1に内分する。

垂心

三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点。

チェバの定理、メネラウスの定理

チェバの定理

チェバの定理
△ABCの頂点A , B , Cと辺上にもその延長上にもない点Oを結ぶ各直線が、対辺またはその延長とそれぞれP , Q , Rで交わるとき
\begin{equation*} \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} =1 \end{equation*}

メネラウスの定理

メネラウスの定理
△ABCの辺BC , CA , ABまたはその延長が頂点を通らない直線ℓと、それぞれ点P , Q , Rで交わるとき
\begin{equation*} \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} =1 \end{equation*}

三角形の3辺の長さの性質

三角形の3辺の長さを $a \ , \ b \ , \ c$ とすると
\begin{align*}
&b-c \lt a \lt b+c \\[ 5pt ]
&\text{(三角形の成立条件)}
\end{align*}

円周角、円に内接する四角形

円周角の定理とその逆

円周角の定理
図参照
4点A , B , C , Dが1つの円周上にある
$\quad \iff \angle {APB} = \angle {AQB}$

円に内接する四角形

円に内接する四角形
四角形が円に内接するとき、以下のことが成り立つ。

  1. 対角の和は180°
  2. 内角は、その対角の外角に等しい。

逆に、1または2が成り立つ四角形は、円に内接する。

円と直線、方べきの定理

円の接線

円の接線
図参照
円外の点Pから接線PA , PBを引く。ただし、点A , Bは接点。
このとき以下のことが成り立つ。
OA⊥PA
OB⊥PB
PA=PB

接弦定理とその逆

接弦定理
図参照
直線ATが円Oの接線
$\quad \iff \angle {ACB} = \angle {BAT}$

方べきの定理

図1
方べきの定理その1
図1参照
(1) 円の2つの弦AB , CDまたはそれらの延長の交点をPとすると、
$\quad PA \cdot PB = PC \cdot PD$
図2
方べきの定理その2
図2参照
(2) 円の外部の点Pから円に引いた接線の接点をTとし、Pを通りこの円と2点A , Bで交わる直線を引くと
$\quad PA \cdot PB = {PT}^{2}$

方べきの定理の逆

2つの線分ABとCD、またはABの延長とCDの延長が点Pで交わるとき、
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立つならば、4点A , B , C , Dは1つの円周上にある。

三垂線の定理

平面α上に直線ℓがあるとき、α上にない点A、ℓ上の点B、ℓ上にないα上の点Oについて
AB⊥ℓ , OB⊥ℓ , OA⊥OBならば、OA⊥α

直線と平面、多面体

空間における直線や平面の位置関係

  • 平行な2直線の一方に垂直な直線は、他方にも垂直である。
  • 直線ℓが、平面α上の交わる2直線 $m \ , \ n$ に垂直ならば、直線ℓは平面αに垂直である。
  • 平面αの1つの垂線を含む平面は、αに垂直である。

多面体

以下の2つの条件を満たす凸多面体を正多面体と言う。

  1. 各面はすべて合同な正多角形である。
  2. 各頂点に集まる面の数はすべて等しい。

オイラーの多面体定理

凸多面体の頂点の数を $v$、辺の数を $e$、面の数を $f$ とすると
\begin{equation*} v-e+f=2 \end{equation*}
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