積分法

08/23/2018

積分法

不定積分と定積分

導関数と不定積分

C は積分定数とする。

$F'(x)=f(x)$ のとき
\begin{equation*} \quad \int f(x) dx = F(x) + C \end{equation*}
$n$ は $0$ 以上の整数とする。
\begin{equation*} \quad \int x^{n} dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \end{equation*}

不定積分の性質

$k \ , \ l$ は定数とする。
\begin{align*} &\int \{ kf(x) + lg(x) \} dx \\[ 10pt ] = &k \int f(x) dx + l \int g(x) dx \end{align*}

定積分

$F'(x)=f(x)$ のとき
\begin{align*} \int_a^b f(x) dx &= \bigl[ F(x) \bigr]_a^b \\[ 10pt ] &= F(b) – F(a) \end{align*}

定積分の性質

$k \ , \ l$ は定数とする。

\begin{equation*} \int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt \end{equation*}
\begin{align*} &\int_a^b \bigl\{ kf(x) + lg(x) \bigr\} dx \\[ 10pt ] = &k \int_a^b f(x) dx + l \int_a^b g(x) dx \end{align*}
\begin{equation*} \int_a^a f(x) dx = 0 \end{equation*}
\begin{equation*} \int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx \end{equation*}
\begin{align*} &\int_a^b f(x) dx \\[ 10pt ] = &\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx \end{align*}

偶関数、奇関数の定積分

n は自然数とする。

偶関数
\begin{equation*} \int_{-a}^a x^{2n} dx = 2 \int_0^a x^{2n} dx \end{equation*}
奇関数
\begin{equation*} \int_{-a}^a x^{2n-1} dx = 0 \end{equation*}

放物線と面積でよく使われる定積分

$\alpha \lt \beta$ とする。
\begin{equation*} \int_{\alpha}^{\beta} {(x – \alpha)(x – \beta)} dx = -\frac{1}{6} {\left( \beta – \alpha \right)}^{3} \end{equation*}

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Posted by kiri