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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。

積分法

公式・定理集
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積分法

不定積分と定積分

導関数と不定積分

$C$ は積分定数とする。

$F'(x)=f(x)$ のとき
\begin{equation*}
\ \int f(x) dx = F(x) + C
\end{equation*}
$n$ は $0$ 以上の整数とする。
\begin{equation*}
\int x^{n} dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C
\end{equation*}

不定積分の性質

$k \ , \ l$ は定数とする。
\begin{align*}
&\int \{ kf(x) + lg(x) \} dx \\[ 10pt ]
= &k \int f(x) dx + l \int g(x) dx
\end{align*}

定積分

$F'(x)=f(x)$ のとき
\begin{align*}
\int_a^b f(x) dx &= \left[ F(x) \right]_a^b \\[ 10pt ]
&= F(b) – F(a)
\end{align*}

定積分の性質
$k \ , \ l$ は定数とする。

\begin{equation*}
\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt
\end{equation*}
\begin{align*}
&\int_a^b \{ kf(x) + lg(x) \} dx \\[ 10pt ]
= &k \int_a^b f(x) dx + l \int_a^b g(x) dx
\end{align*}
\begin{equation*}
\int_a^a f(x) dx = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx
\end{equation*}
\begin{align*}
&\int_a^b f(x) dx \\[ 10pt ]
= &\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx
\end{align*}

偶関数、奇関数の定積分

$n$ は自然数とする。

偶関数
\begin{equation*}
\int_{-a}^a x^{2n} dx = 2 \int_0^a x^{2n} dx
\end{equation*}
奇関数
\begin{equation*}
\int_{-a}^a x^{2n-1} dx = 0
\end{equation*}

放物線と面積でよく使われる定積分

$\alpha \lt \beta$ とする。
\begin{equation*}
\int_{\alpha}^{\beta} {(x – \alpha)(x – \beta)} dx = -\frac{1}{6} {\left( \beta – \alpha \right)}^{3}
\end{equation*}
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