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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。

整数の性質

公式・定理集
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整数の性質

約数と倍数

倍数の判定方法

2の倍数:一の位が $0 \ , \ 2 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 8$ のいずれか
5の倍数:一の位が $0 \ , \ 5$ のいずれか
4の倍数:下2桁が4の倍数
3の倍数:各位の数の和が3の倍数
9の倍数:各位の数の和が9の倍数

約数の個数

自然数 $N$ の素因数分解が
\begin{equation*} N=p^{a} q^{b} r^{c} \cdots \end{equation*}
となるとき、$N$ の正の約数の個数は
\begin{equation*} (a+1)(b+1)(c+1) \cdots \end{equation*}

最大公約数・最小公倍数の性質

2つの自然数 $a \ , \ b$ の最大公約数を $g$、最小公倍数を $l$ とする。
また、$a=ga’ \ , \ b=gb’$ とする。

  1. $a’ \ , \ b’$ は互いに素である。
  2. $l=ga’b’=ab’=a’b$
  3. $ab=gl \quad$ 特に $g=1$ のとき $ab=l$

整数の割り算と商・余り

整数の割り算

整数 $a$ と正の整数 $b$ に対して
\begin{equation*} a=bq+r \ , \ 0 \leqq r \lt b \end{equation*}
を満たす整数 $q$ と $r$ がただ1通りに定まる。

連続する整数の積の性質

  1. 連続する2つの整数の積は、2の倍数である。
  2. 連続する3つの整数の積は、6の倍数である。

余りによる整数の分類

$k$ は整数とする。

  1. $2k \ , \ 2k+1 \quad$ (偶数、奇数)
  2. $3k \ , \ 3k+1 \ , \ 3k+2 \quad$ (3で割った余りが $0 \ , \ 1 \ , \ 2$ )
  3. 一般に $m$ が2以上の自然数のとき、$mk \ , \ mk+1 \ , \ mk+2 \ , \cdots , \ mk+(m-1)$

参考 整数の性質|除法の性質と整数の分類について

(参考) 合同式

$m$ は正の整数とする。
2つの整数 $a \ , \ b$ について、$a-b$ が $m$ の倍数であるとき、$a$ と $b$ は $m$ を法として合同であると言い、$a \equiv b \pmod m$ という式で表す。

参考 整数の性質|合同式を利用して1次不定方程式を解こう
参考 数学A|整数の問題で合同式を使ってみよう
参考 数学A|合同式を使って入試問題を解いてみよう

ユークリッドの互除法・1次不定方程式

割り算と最大公約数

2つの自然数 $a \ , \ b$ について、$a$ を $b$ で割ったときの余りを $r$ とすると、$a$ と $b$ の最大公約数は、$b$ と $r$ の最大公約数に等しい。

ユークリッドの互除法

2つの自然数 $a \ , \ b$ の最大公約数を求めるには、以下の手順を繰り返せばよい。

  1. $a$ を $b$ で割ったときの余りを $r$ とする。
  2. $r=0$ のとき、$b$ が $a \ , \ b$ の最大公約数。
    $r \gt 0$ のとき、$a$ を $b$、$b$ を $r$ で置き換えて、1の手順へ。

参考 整数の性質|ユークリッドの互除法について
参考 整数の性質|互除法を利用して1次不定方程式を解こう

1次不定方程式と整数解

0でない2つの整数 $a \ , \ b$ が互いに素であるならば、任意の整数 $c$ について、$ax+b=c$ を満たす整数 $x \ , \ y$ が存在する。

参考 整数の性質|1次不定方程式について
参考 整数の性質|合同式を利用して1次不定方程式を解こう

分数と小数、n進法

有限小数、循環小数の判定

規約分数 $\frac{m}{n}$ について、次のことが成り立つ。

  • 分母 $n$ の素因数は2 , 5だけからなる
    $\iff \frac{m}{n}$ は有限小数で表される
  • 分母 $n$ の素因数に2 , 5以外のものがある
    $\iff \frac{m}{n}$ は循環小数で表される

n進法

位取りの基礎を $n$ として数を表す方法を $n$ 進法と言う。
また、$n$ 進法で表された数を $n$ 進数と言う。

参考 整数の性質|n進法について
参考 整数の性質|n進数の各位の数や桁数、記数法の決定について
参考 整数の性質|n進法の小数について
参考 整数の性質|n進法の四則計算について
参考 数学I・A|2017センター試験・第4問を解いてみよう

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