インフルエンザに気をつけよう! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集もあります。

数と式

公式・定理集
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数と式

整式の加法・減法・乗法

計算法則:A , B , Cを整式とする。

交換法則
\begin{align*}
&A+B = B+A \\[ 5pt ]
&AB = BA
\end{align*}
結合法則
\begin{align*}
&\left( A+B \right) + C = A+ \left(B+C \right) \\[ 5pt ]
&\left( AB \right) C = A \left( BC \right)
\end{align*}
分配法則
\begin{align*}
&A \left( B+C \right) = AB + AC \\[ 5pt ]
&\left( A+B \right) C = AC + BC
\end{align*}

指数法則:m , nを正の整数とする。

\begin{align*}
&a^{m} a^{n} = a^{m+n} \\[ 5pt ]
&{\left( a^{m} \right)}^{n} = a^{mn} \\[ 5pt ]
&{\left( ab \right)}^{n} = a^{n} b^{n}
\end{align*}
参考
\begin{equation*}
a^{0}=1
\end{equation*}

展開の公式、因数分解

\begin{align*}
&{\left( a+b \right)}^{2} = a^{2} +2ab + b^{2} \\[ 5pt ]
&{\left( a-b \right)}^{2} = a^{2} -2ab + b^{2} \\[ 5pt ]
&{\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)} = a^{2} – b^{2} \\[ 10pt ]
&{\left( x+a \right)}{\left( x+b \right)} \\[ 5pt ]
&\quad = x^{2} +\left( a+b \right)x + ab \\[ 10pt ]
&{\left( ax+b \right)}{\left( cx+d \right)} \\[ 5pt ]
&\quad = ac{x}^{2} +\left( ad + bc \right)x +bd
\end{align*}
参考
\begin{align*}
&{\left( a+b \right)}{\left( a^{2}-ab+b^{2} \right)} = a^{3} + b^{3} \\[ 5pt ]
&{\left( a-b \right)}{\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)} = a^{3} – b^{3} \\[ 10pt ]
&{\left( a+b \right)}^{3} \\[ 5pt ]
&\quad = a^{3} + 3{a}^{2}b + 3a{b}^{2} + b^{3} \\[ 10pt ]
&{\left( a-b \right)}^{3} \\[ 5pt ]
&\quad = a^{3} – 3{a}^{2}b + 3a{b}^{2} – b^{3} \\[ 10pt ]
&a^{3} +b^{3} +c^{3} -3abc \\[ 5pt ]
&= {\left( a+b+c \right)}{\left( a^{2} +b^{2} +c^{2} -ab -bc-ca \right)}
\end{align*}

実数、平方根

実数の構造

実数の構造
有限小数や循環小数は、分数で表すことができる。
循環小数は、循環するが、無理数と同じ無限小数。

絶対値の性質

\begin{align*}
&a \geqq 0 \ \text{のとき} \quad |a|=a \\[ 5pt ]
&a \lt 0 \ \text{のとき} \quad |a|=-a
\end{align*}
\begin{equation*}
{|a|}^{2}=a^{2}
\end{equation*}

平方根の性質

\begin{align*}
&a \geqq 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}=a \\[ 5pt ]
&{\left( -\sqrt{a} \right)}^{2}=a \\[ 5pt ]
&\sqrt{a} \geqq 0
\end{align*}
\begin{align*}
&a \geqq 0 \ \text{のとき} \quad \sqrt{a^{2}} = a \\[ 5pt ]
&a \lt 0 \ \text{のとき} \quad \sqrt{a^{2}} = -a \\[ 5pt ]
&\text{すなわち} \quad \sqrt{a^{2}} = |a|
\end{align*}
\begin{align*}
&a \gt 0 \ , \ b \gt 0 \ , \ k \gt 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} \\[ 5pt ]
&\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \\[ 5pt ]
&\sqrt{k^{2}a} = k \sqrt{a}
\end{align*}

2重根号のはずし方

文字はすべて正の数とする。
1. 根号の中の式を変形する

\begin{align*}
\sqrt{p \pm k\sqrt{q}} = \sqrt{\left( a+b \right) \pm 2\sqrt{ab}}
\end{align*}

2. 根号の中の式を因数分解して2重根号を外す。ただし、$a \gt b$
\begin{align*}
\sqrt{\left( a+b \right) \pm 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a} \pm \sqrt{b}
\end{align*}

1次不等式

不等式の性質

\begin{align*}
&a \lt b \ \text{ならば} \\[ 5pt ]
&a+c \lt b+c \\[ 5pt ]
&a-c \lt b-c
\end{align*}
\begin{align*}
&a \lt b \ , \ 0 \lt c \ \text{ならば} \\[ 5pt ]
&ac \lt bc \\[ 5pt ]
&\frac{a}{c} \lt \frac{b}{c}
\end{align*}
\begin{align*}
&a \lt b \ , \ c \lt 0 \ \text{ならば} \\[ 5pt ]
&ac \gt bc \\[ 5pt ]
&\frac{a}{c} \gt \frac{b}{c}
\end{align*}
\begin{align*}
&a \lt b \ , \ b \lt c \ \text{ならば} \\[ 5pt ]
&a \lt c
\end{align*}

絶対値を含む方程式や不等式

場合分け
\begin{align*}
\left| A \right| =\begin{cases} A &\left( A \geqq 0 \right) \\[ 5pt ]
-A &\left( A \lt 0 \right) \end{cases}
\end{align*}
簡便法
\begin{align*}
&c \gt 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\text{方程式} \ |x| = c \ \text{の解} \\[ 5pt ]
&\quad x = \pm c \\[ 10pt ]
&\text{不等式} \ |x| \lt c \ \text{の解} \\[ 5pt ]
&\quad -c \lt x \lt c \\[ 10pt ]
&\text{不等式} \ |x| \gt c \ \text{の解} \\[ 5pt ]
&\quad x \lt -c \ , \ c \lt x
\end{align*}

集合

$U$ は全体集合で、$A \ , \ B \ , \ C$ は $U$ の部分集合とする。

集合の基本

部分集合
$A \subset B$ であるとき
「 $x \in A$ ならば $x \in B$ 」
が成り立つ。
集合 $A$ は集合 $B$ の部分集合
相等
$A = B$ であるとき
「 $A \subset B$ かつ $A \supset B$ 」
が成り立つ。
集合 $A$ と集合 $B$ は等しい
共通部分
$A \cap B =\{ x|x \in A \ \text{かつ} \ x \in B \}$

和集合
$A \cup B =\{ x|x \in A \ \text{または} \ x \in B \}$

補集合
$\overline{ A } =\{ x|x \in U \ \text{かつ} \ x \notin A \}$

ド・モルガンの法則

$\overline{ A \cup B } = \overline{ A } \cap \overline{ B }$

$\overline{ A \cap B } = \overline{ A } \cup \overline{ B }$

$\overline{ A \cup B \cup C } = \overline{ A } \cap \overline{ B } \cap \overline{ C }$

$\overline{ A \cap B \cap C } = \overline{ A } \cup \overline{ B } \cup \overline{ C }$

命題と条件

命題の真偽

真の場合:証明する
偽の場合:反例を1つ挙げる

必要・十分条件

2つの条件 $p \ , \ q$ について
$p \Rightarrow q$ が真であるとき
$\quad q$ は $p$ であるための必要条件
$\quad p$ は $q$ であるための十分条件

$p \Rightarrow q \ , \ q \Rightarrow p$ がともに真であるとき
$\quad q$ は $p$ ( $p$ は $q$ )であるための必要十分条件

命題の逆、対偶、裏

逆・裏・対偶
命題とその対偶の真偽は一致する。
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