頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。

平面上のベクトル

公式・定理集
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平面上のベクトル:1.ベクトルの演算

ベクトルの演算の基本

\begin{align*}
\overrightarrow { A\text{□} } + \overrightarrow { \text{□}B } &= \overrightarrow { AB } \\[ 10pt ]
\overrightarrow { \text{□}A } -\overrightarrow { \text{□}B } &= \overrightarrow { BA }
\end{align*}
\begin{align*}
\overrightarrow { \text{□▲} } &= -\overrightarrow { \text{▲□} } \\[ 10pt ]
\overrightarrow { \text{□□} } &= \vec { 0 }
\end{align*}

ベクトルの平行、分解

ベクトルの平行条件

\begin{align*}
&\vec{a} \neq \vec { 0 } \ , \ \vec{b} \neq \vec { 0 } \ \text{のとき、} \\[ 10pt ]
&\quad \vec{a} \ /\,/ \ \vec{b} \ \iff \ \vec{b} = k \vec{a} \\[ 10pt ]
&\text{となる実数 $k$ がある。}
\end{align*}

ベクトルの分解

$\vec{a} \neq \vec{0} \ , \ \vec{b} \neq \vec{0} \ , \ \vec{a} \nparallel \vec{b} \ \text{(平行でない)}$ のとき、任意のベクトル $\vec{p}$ は、実数 $s \ , \ t$ を用いてただ1通りに $\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}$ の形に表される。

平面上のベクトル:2.ベクトルの成分

ベクトルの相等、大きさ

ベクトルの相等

\begin{align*}
&\quad ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ ) = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ ) \\[ 10pt ]
&\iff \ a_{\tiny{1}} = b_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} = b_{\tiny{2}}
\end{align*}

ベクトルの大きさ

$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ )$ のとき
\begin{equation*}
\quad \vert \vec{a} \vert = \sqrt{ {a_{\tiny{1}}}^{\tiny{2}} + {a_{\tiny{2}}}^{\tiny{2}} }
\end{equation*}

点の座標とベクトルの成分

$\overrightarrow { AB }$ の成分と大きさ

$A ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ ) \ , \ B ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ )$ のとき
\begin{align*}
\quad \overrightarrow { AB } &= ( \ b_{\tiny{1}} \ – a_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \ ) \\[ 10pt ]
\quad \vert \overrightarrow { AB } \vert &= \sqrt{ {( \ b_{\tiny{1}} \ – a_{\tiny{1}} \ )}^{\tiny{2}} + {( \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \ )}^{\tiny{2}} }
\end{align*}

平面上のベクトル:3.ベクトルの内積

内積の定義、内積と成分

$\vec{a} \neq \vec{0} \ , \ \vec{b} \neq \vec{0}$、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta \ (0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ})$ とする。

内積の定義

\begin{equation*}
\quad \vec{a} \cdot \vec{b} = \vert \vec{a} \vert \vert \vec{b} \vert \cos \theta
\end{equation*}

内積と成分

$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ ) \ , \ \vec{b} = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ )$ のとき
\begin{align*}
\quad \vec{a} \cdot \vec{b} &= a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{2}} \\[ 10pt ]
\quad \cos \theta &= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vert \vec{a} \vert \vert \vec{b} \vert} \\[ 10pt ]
&= \frac{a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{2}}}{\sqrt{ {a_{\tiny{1}}}^{\tiny{2}} + {a_{\tiny{2}}}^{\tiny{2}} } \ \sqrt{ {b_{\tiny{1}}}^{\tiny{2}} + {b_{\tiny{2}}}^{\tiny{2}}} }
\end{align*}

内積と平行・垂直条件

$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ ) \neq \vec{0} \ , \ \vec{b} = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ ) \neq \vec{0}$ とする。

平行条件

\begin{align*}
&\quad \vec{a} \ /\,/ \ \vec{b} \\[ 10pt ]
&\iff a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{1}} = 0
\end{align*}

垂直条件

\begin{align*}
&\quad \vec{a} \perp \vec{b} \\[ 10pt ]
&\iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \\[ 10pt ]
&\iff a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{2}} = 0
\end{align*}

平面上のベクトル:4.ベクトルと平面図形

位置ベクトルと共点条件

分点の位置ベクトル

2点 $A(\vec{a}) \ , \ B(\vec{b})$ に対し、線分 $AB$ を $m:n$ に分ける点の位置ベクトル

内分点の位置ベクトル
\begin{equation*}
\quad \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}
\end{equation*}
外分点の位置ベクトル
\begin{equation*}
\quad \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m -n}
\end{equation*}

共点条件

異なる3本以上の直線が1点で交わるための条件を共点条件と言う。
例)3点 $P \ , \ Q \ , \ R$ の共点条件:位置ベクトルの一致を示す
\begin{equation*}
\quad \overrightarrow { OP } = \overrightarrow { OQ } = \overrightarrow { OR }
\end{equation*}

ベクトル方程式

直線のベクトル方程式

$s \ , \ t$ を実数とする。

点 $A(\vec{a})$ を通り、$\vec{d} \ ( \neq \vec{0} )$ に平行な直線のベクトル方程式
\begin{equation*}
\quad \vec { p } = \vec { a } + t\vec { d }
\end{equation*}
異なる2点 $A(\vec{a}) \ , \ B(\vec{b})$ を通る直線のベクトル方程式
\begin{align*}
&\quad \vec { p } = (1 -t) \vec { a } + t\vec { b } \\[ 10pt ]
&\text{または} \\[ 10pt ]
&\quad \vec { p } = s\vec { a } + t\vec { b } \ , \ s + t = 1
\end{align*}

内積を使った直線のベクトル方程式

点 $A(\vec{a})$ を通り、$\vec{n} \ ( \neq \vec{0} )$ に垂直な直線のベクトル方程式
\begin{equation*}
\quad \vec { n } \cdot ( \vec{p} – \vec{a} ) = 0
\end{equation*}

平面上の点の存在範囲
△OABに対して、$\overrightarrow { OP } = s\overrightarrow { OA } + t\overrightarrow { OB }$ のとき、点 $P$ の存在範囲は以下の3通り。

① 直線 $AB$
$\ \iff \ s+t=1$

特に、線分 $AB$
$\ \iff \ s+t=1 \ , \ s \geqq 0 \ , \ t \geqq 0$

② △OABの周および内部
$\ \iff \ s+t \leqq 1 \ , \ s \geqq 0 \ , \ t \geqq 0$
③ 平行四辺形OACBの周および内部
$\ \iff \ 0 \leqq s \leqq 1 \ , \ 0 \leqq t \leqq 1$

円のベクトル方程式

中心 $C(\vec{c})$、半径 $r$ の円のベクトル方程式
\begin{equation*}
\quad \vert \ \vec { p } – \vec{c} \ \vert = r
\end{equation*}

ベクトルの応用

共線条件

異なる3個以上の点が同じ直線上にあるための条件を共線条件と言う。
点 $C$ が直線 $AB$ 上にある
$\ \iff \ \overrightarrow { AC } = k\overrightarrow { AB }$ となる実数 $k$ がある
点 $P$ が直線 $AB$ 上にある
$\ \iff \ \overrightarrow { OP } = s\overrightarrow { OA } + t\overrightarrow { OB } \ , \ s+t=1$ となる実数 $s \ , \ t$ がある
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