頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。

確率分布と統計的な推測

公式・定理集
スポンサーリンク

確率分布と統計的な推測:1.確率分布

期待値(平均) $E(X)$、分散 $V(X)$、標準偏差 $\sigma (X)$

\begin{align*}
\bullet \ E(X) &= m \\[ 10pt ]
&= x_{\tiny{1}} \ p_{\tiny{1}} + x_{\tiny{2}} \ p_{\tiny{2}} + \cdots + x_{n} \ p_{n} \\[ 10pt ]
&= \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } x_{k} \ p_{k} \\[ 10pt ]
\bullet \ V(X) &= E ( \, (X – m)^{\tiny{2}} \, ) \\[ 10pt ]
&= ( x_{\tiny{1}} \, – m )^{\tiny{2}} \ p_{\tiny{1}} + ( x_{\tiny{2}} \, – m )^{\tiny{2}} \ p_{\tiny{2}} + \cdots + ( x_{n} \, – m )^{\tiny{2}} \ p_{n} \\[ 10pt ]
&= \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } ( x_{k} \, – m )^{\tiny{2}} \ p_{k} \\[ 10pt ]
&= E ( X^{\tiny{2}} ) \, – \{ E(X) \}^{\tiny{2}} \\[ 10pt ]
\bullet \ \sigma (X) &= \sqrt{ V(X) }
\end{align*}

確率変数 $aX+b$ の期待値、分散、標準偏差

$X$ は確率変数、$a \ , \ b$ は定数とする。

期待値
$\quad E ( aX + b ) = aE ( X ) + b$

分散
$\quad V ( aX + b ) = a^{\tiny{2}} \ V ( X )$

標準偏差
$\quad \sigma ( aX + b ) = \vert a \vert \ \sigma (X)$

確率変数の和と積

$X \ , \ Y$ は確率変数、$a \ , \ b$ は定数とする。

確率変数の和
\begin{align*}
&\bullet \ E( X + Y ) = E(X) + E(Y) \\[ 10pt ]
&\bullet \ E( aX + bY ) = a E(X) + b E(Y)
\end{align*}
確率変数の積
$X \ , \ Y$ が互いに独立ならば
\begin{align*}
&\bullet \ E( XY ) = E(X) E(Y) \\[ 10pt ]
&\bullet \ V( X + Y ) = V(X) + V(Y) \\[ 10pt ]
&\bullet \ V( aX + bY ) = a^{\tiny{2}} \ V ( X ) + b^{\tiny{2}} \ V ( Y )
\end{align*}

二項分布

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n \ , \ p)$ に従うとする。ただし、$q=1-p$

期待値
$\quad E ( X ) = np$

分散
$\quad V ( X ) = npq$

標準偏差
$\quad \sigma ( X ) = \sqrt{npq}$

確率分布と統計的な推測:2.正規分布

正規分布

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m \ , \ {\sigma}^{\tiny{2}})$ に従うとする。

期待値
$\quad E ( X ) = m$

標準偏差
$\quad \sigma ( X ) = \sigma$

確率分布と統計的な推測:3.統計的推測

推定

母平均の推定
標本の大きさ $n$ が大きいとき、母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間は以下のようになる。
\begin{equation*}
\biggl[ \ \overline{X} \, – 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{X} + 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \biggr]
\end{equation*}
母比率の推定
標本比率を $R$ とする。標本の大きさ $n$ が大きいとき、母比率 $p$ に対する信頼度95%の信頼区間は以下のようになる。
\begin{equation*}
\biggl[ \ R \, – 1.96 \ \sqrt{ \frac{ R(1-R) }{ n } } \ , \ R + 1.96 \ \sqrt{ \frac{ R(1-R) }{ n } } \ \biggr]
\end{equation*}
信頼度99%の信頼区間なら、1.96を2.58に置き換えればよい。
Recommended books

導出が丁寧に記載されている公式集を1冊もっておくと困ったときに辞書代わりになります。

おすすめ その1
「数学」の公式・定理・決まりごとがまとめてわかる事典 (BERET SCIENCE)

ポケットサイズのものと違いサイズが少し大きいので、図が豊富です。

おすすめ その2
高校数学公式活用事典

公式・定理・定義は左ページ、活用例・解説・証明は右ページの見開き構成になっているので、使いやすいです。

おすすめ その3
公式集 (モノグラフ)

難関大を志望している人向けです。大学に進学してからも使えます。

タイトルとURLをコピーしました