熱中症に気をつけよう! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。

数列

公式・定理集

数列:1.等差数列

等差数列の一般項と和

初項を $a$、公差を $d$、第 $n$ 項(末項)を $l$ とする。

一般項 $a_{n}$

\begin{equation*}
\quad a_{n} = a+(n-1)d
\end{equation*}

等差中項

数列 $a \ , \ b \ , \ c$ が等差数列

$\iff \ 2b = a + c$

等差数列の和

初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$
\begin{align*}
\quad S_{n} &= \frac{1}{2} n ( a + l ) \\[ 10pt ]
&= \frac{1}{2} n \{ 2a + ( n – 1 ) d \}
\end{align*}

数列:2.等比数列

等比数列の一般項と和

初項を $a$、公比を $r$ とする。

一般項 $a_{n}$

\begin{equation*}
\quad a_{n} = ar^{n-1}
\end{equation*}

等比中項

数列 $a \ , \ b \ , \ c$ が等比数列

$\iff \ b^{2} = ac$

等比数列の和

初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$
\begin{align*}
\text{①} \ &r \neq 1 \ \text{のとき} \\[ 10pt ]
&S_{n} = \frac{ a( 1 – r^{n} ) }{ 1 – r } = \frac{ a( r^{n} – 1 ) }{ r – 1 } \\[ 10pt ]
\text{②} \ &r = 1 \ \text{のとき} \\[ 10pt ]
&S_{n} = na
\end{align*}

数列:3.種々の数列

和の記号Σ、Σの性質

数列の和の公式

$c \ , \ r$ は $k$ に無関係な定数とする。

\begin{align*}
&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } c = nc \\[ 10pt ]
&\text{特に} \\[ 10pt ]
&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } 1 = n
\end{align*}
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k = \frac{1}{2} n ( n + 1 )
\end{equation*}
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^{\tiny{2}} = \frac{1}{6} n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
\end{equation*}
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^{\tiny{3}} = { \biggl\{ \frac{1}{2} n ( n + 1 ) \biggr\} }^{\tiny{2}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } r^{k-1} = \frac{ 1 – r^{n} }{ 1 – r } \quad ( r \neq 1 )
\end{equation*}

Σの性質

$p \ , \ q$ は $k$ に無関係な定数とする。
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } ( pa_{k} + qb_{k} ) = p \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_{k} + q \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } b_{k}
\end{equation*}

いろいろな数列

階差数列

数列 $\{a_{n}\}$ の階差数列を $\{b_{n}\}$ とする。

\begin{align*}
\bullet \ &b_{n} = a_{n+1} – a_{n} \\[ 10pt ]
\bullet \ &n \geqq 2 \ \text{のとき} \\[ 10pt ]
&\quad a_{n} = a_{\tiny{1}} + \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } b_{k}
\end{align*}

和 $S_{n}$ と一般項

\begin{align*}
&\quad S_{n} = a_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} + \cdots + a_{n} \\[ 10pt ]
&\text{のとき} \\[ 10pt ]
&\quad a_{\tiny{1}} = S_{\tiny{1}} \\[ 10pt ]
&\quad a_{n} = S_{n} – S_{n-1} \quad ( n \geqq 2 )
\end{align*}

数列:4.漸化式、数学的帰納法

漸化式の変形、数学的帰納法

漸化式の変形

隣接2項間
\begin{align*}
&\quad a_{n+1} = pa_{n} + q \quad ( p \neq 1 ) \\[ 10pt ]
&\alpha = p \alpha + q \ \text{を満たす $\alpha$ に対して} \\[ 10pt ]
&\quad a_{n+1} – \alpha = p ( a_{n} – \alpha ) \\[ 10pt ]
&\text{と変形できる。}
\end{align*}
隣接3項間
\begin{align*}
&\quad pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_{n} = 0 \\[ 10pt ]
&px^{2} + qx + r = 0 \ \text{の解を $\alpha \ , \ \beta$ とすると} \\[ 10pt ]
&\quad a_{n+2} – \alpha a_{n+1} = \beta ( a_{n+1} – \alpha a_{n} ) \\[ 10pt ]
&\quad a_{n+2} – \beta a_{n+1} = \alpha ( a_{n+1} – \beta a_{n} ) \\[ 10pt ]
&\text{と変形できる。}
\end{align*}

確率と漸化式

$n$ 回目と $n+1$ 回目に注目して、確率 $p_{n}$ と $p_{n+1}$ の漸化式(隣接2項間)をつくる。つくった漸化式を変形し、一般項を求める。

確率と漸化式

自然数 $n$ に関する事柄 $P$ が、すべての自然数 $n$ について成り立つことを示すのに、数学的帰納法が利用される。数学的帰納法を利用した証明の手順は以下のようになる。

  1. $n=1$ のとき事柄 $P$ が成り立つことを示す。
  2. $n=k$ のとき事柄 $P$ が成り立つと仮定して、$n=k+1$ のとき事柄 $P$ が成り立つことを示す。
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