2次関数
2次関数のグラフ
2次関数の式
一般形
$\quad y=a{x}^{2}+bx+c$
標準形
$\quad y=a{\left( x-p \right)}^{2}+q$
$y=a{\left( x-p \right)}^{2}+q \ (a \neq 0)$ のグラフ
$a \gt 0$ なら下に凸、$a \lt 0$ なら上に凸
$y=a{x}^{2}+bx+c \ (a \neq 0)$ のグラフ
\begin{equation*}
y=a{\left( x+ \frac{b}{2a} \right)}^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}
\end{equation*}
頂点 $(-\frac{b}{2a} \ , \ -\frac{b^{2}-4ac}{4a})$、軸が直線 $x=-\frac{b}{2a}$ の放物線
$a \gt 0$ なら下に凸、$a \lt 0$ なら上に凸
平行移動、対称移動
平行移動
点 $(a \ , \ b)$
$\longrightarrow \ (a+p \ , \ b+q)$
グラフ $y=f(x)$
$\longrightarrow \ y=f(x-p)+q$
対称移動
$x$ 軸 | $y$ 軸 | 原点 | |
---|---|---|---|
点 $(a \ , \ b)$ | $(a \ , \ -b)$ | $(-a \ , \ b)$ | $(-a \ , \ -b)$ |
グラフ $y=f(x)$ | $y=-f(x)$ | $y=f(-x)$ | $y=-f(-x)$ |
関数の最大・最小
2次関数 $y=a{x}^{2}+bx+c$ の最大・最小
$\quad y=a{\left( x-p \right)}^{2}+q$
2. 凸の向きを調べる。
$\quad a \gt 0$ のとき、$x=p$ で最小値 $q$、最大値はない。
$\quad a\lt 0$ のとき、$x=p$ で最大値 $q$、最小値はない。
2次関数 $y=a{x}^{2}+bx+c$ (定義域あり)の最大・最小
1. 頂点が区間の内にあるとき
最小:頂点
最大:頂点から遠い方の区間の端
2. 頂点が区間の外にあるとき
最小:頂点に近い方の区間の端
最大:頂点から遠い方の区間の端
上に凸の場合と逆になる。
1. 頂点が区間の内にあるとき
最小:頂点から遠い方の区間の端
最大:頂点
2. 頂点が区間の外にあるとき
最小:頂点から遠い方の区間の端
最大:頂点に近い方の区間の端
下に凸の場合と逆になる。
2次関数の決定
与えられた条件によって一般形と標準形を使い分ける。
$\quad \rightarrow y=a{\left( x-p \right)}^{2}+q$ とおく。
$\quad \rightarrow y=a{x}^{2}+bx+c$ とおく。
2次方程式の実数解の個数
2次方程式 $a{x}^{2}+bx+c=0$ の判別式 $D=b^{2}-4ac$ の値を求める。
⇔ 異なる2つの実数解をもつ
⇔ ただ1つの実数解(重解)をもつ
⇔ 実数解をもたない
2次関数のグラフとx軸
2次関数 $y=a{x}^{2}+bx+c$ のグラフを $C$、$y=0$ のときの2次方程式の判別式を $D=b^{2}-4ac$ とする。
⇔ $C$ は $x$ 軸と異なる2点で交わる(共有点2個)
⇔ $C$ は $x$ 軸と1点で接する(共有点1個)
⇔ $C$ は $x$ 軸と共有点をもたない
2次不等式
$a{x}^{2}+bx+c \gt 0 \ , \ a{x}^{2}+bx+c \lt 0$ の解
2次方程式 $a{x}^{2}+bx+c = 0$ が、異なる2つの実数解 $\alpha \ , \ \beta$ をもち $\alpha \lt \beta$ とする。
$a \gt 0$ の場合
$\quad x \lt \alpha \ , \ \beta \lt x$
$\quad x \leqq \alpha \ , \ \beta \leqq \ x$
$\quad \alpha \lt x \lt \beta$
$\quad \alpha \leqq x \leqq \beta$
${\left(x- \alpha \right)}^{2} \gt 0 \ , \ {\left(x- \alpha \right)}^{2} \lt 0$ の解
ない
$\quad x = \alpha$
$\quad \alpha$ 以外のすべての実数
すべての実数
放物線とx軸の共有点の位置
$f(x)=a{x}^{2}+bx+c \ (a \neq 0) \ , \ D=b^{2}-4ac$ とする。
放物線 $y=f(x)$ が $x$ 軸と $x=\alpha \ , \ \beta \ (\alpha \leqq \beta)$ で共有点をもつとする。
$a \gt 0$ のとき
$\quad \Longleftrightarrow D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \gt k \ , \ f(k) \gt 0$
$\alpha \lt k \ , \ \beta \lt k$
$\quad \Longleftrightarrow D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \lt k \ , \ f(k) \gt 0$
$\alpha \lt k \lt \beta$
$\quad \Longleftrightarrow f(k) \lt 0$
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