公式・定理集：数学１－２次関数

２次関数

2018/12/01 2018/07/25

２次関数

２次関数

２次関数のグラフ

２次関数の式

$a \neq 0$ とする。
一般形
$\quad y=a{x}^{2}+bx+c$
標準形
$\quad y=a{\left( x-p \right)}^{2}+q$

$y=a{\left( x-p \right)}^{2}+q \ (a \neq 0)$ のグラフ

頂点 $(p \ , \ q)$、軸が直線 $x=p$ の放物線
$a \gt 0$ なら下に凸、$a \lt 0$ なら上に凸

$y=a{x}^{2}+bx+c \ (a \neq 0)$ のグラフ

右辺を平方完成して標準形に変形する。

\begin{equation*}
y=a{\left( x+ \frac{b}{2a} \right)}^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}
\end{equation*}

頂点 $(-\frac{b}{2a} \ , \ -\frac{b^{2}-4ac}{4a})$、軸が直線 $x=-\frac{b}{2a}$ の放物線
$a \gt 0$ なら下に凸、$a \lt 0$ なら上に凸

平行移動、対称移動

平行移動

$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると
点 $(a \ , \ b)$
$\longrightarrow \ (a+p \ , \ b+q)$

グラフ $y=f(x)$
$\longrightarrow \ y=f(x-p)+q$

関連記事２次関数｜２次関数のグラフの平行移動について

対称移動

	$x$ 軸	$y$ 軸	原点
点 $(a \ , \ b)$	$(a \ , \ -b)$	$(-a \ , \ b)$	$(-a \ , \ -b)$
グラフ $y=f(x)$	$y=-f(x)$	$y=f(-x)$	$y=-f(-x)$

関数の最大・最小

２次関数 $y=a{x}^{2}+bx+c$ の最大・最小

1. 平方完成して標準形にする。
$\quad y=a{\left( x-p \right)}^{2}+q$

2. 凸の向きを調べる。
$\quad a \gt 0$ のとき、$x=p$ で最小値 $q$、最大値はない。
$\quad a\lt 0$ のとき、$x=p$ で最大値 $q$、最小値はない。

２次関数 $y=a{x}^{2}+bx+c$ (定義域あり)の最大・最小

$a \gt 0$ (下に凸)の場合
1. 頂点が区間の内にあるとき
最小：頂点
最大：頂点から遠い方の区間の端

2. 頂点が区間の外にあるとき
最小：頂点に近い方の区間の端
最大：頂点から遠い方の区間の端

上に凸の場合と逆になる。

$a \lt 0$ (上に凸)の場合
1. 頂点が区間の内にあるとき
最小：頂点から遠い方の区間の端
最大：頂点

2. 頂点が区間の外にあるとき
最小：頂点から遠い方の区間の端
最大：頂点に近い方の区間の端

下に凸の場合と逆になる。

２次関数の決定

与えられた条件によって一般形と標準形を使い分ける。

与えられた条件が放物線の頂点や軸
$\quad \rightarrow y=a{\left( x-p \right)}^{2}+q$ とおく。

与えられた条件がグラフが通る３点
$\quad \rightarrow y=a{x}^{2}+bx+c$ とおく。

関連記事２次関数｜２次関数の決定について

２次方程式の実数解の個数

２次方程式 $a{x}^{2}+bx+c=0$ の判別式 $D=b^{2}-4ac$ の値を求める。

$D \gt 0$
⇔ 異なる２つの実数解をもつ

$D = 0$
⇔ ただ１つの実数解(重解)をもつ

$D \lt 0$
⇔ 実数解をもたない

２次関数のグラフとx軸

２次関数 $y=a{x}^{2}+bx+c$ のグラフを $C$、$y=0$ のときの２次方程式の判別式を $D=b^{2}-4ac$ とする。

$D \gt 0$
⇔ $C$ は $x$ 軸と異なる２点で交わる(共有点２個)

$D = 0$
⇔ $C$ は $x$ 軸と１点で接する(共有点１個)

$D \lt 0$
⇔ $C$ は $x$ 軸と共有点をもたない

関連記事２次関数｜２次関数のグラフとx軸との位置関係について

２次不等式

$a{x}^{2}+bx+c \gt 0 \ , \ a{x}^{2}+bx+c \lt 0$ の解
２次方程式 $a{x}^{2}+bx+c = 0$ が、異なる２つの実数解 $\alpha \ , \ \beta$ をもち $\alpha \lt \beta$ とする。
$a \gt 0$ の場合

$a{x}^{2}+bx+c \gt 0$ の解
$\quad x \lt \alpha \ , \ \beta \lt x$

$a{x}^{2}+bx+c \geqq 0$ の解
$\quad x \leqq \alpha \ , \ \beta \leqq \ x$

$a{x}^{2}+bx+c \lt 0$ の解
$\quad \alpha \lt x \lt \beta$

$a{x}^{2}+bx+c \leqq 0$ の解
$\quad \alpha \leqq x \leqq \beta$

${\left(x- \alpha \right)}^{2} \gt 0 \ , \ {\left(x- \alpha \right)}^{2} \lt 0$ の解

${\left(x- \alpha \right)}^{2} \lt 0$ の解
ない

${\left(x- \alpha \right)}^{2} \leqq 0$ の解
$\quad x = \alpha$

${\left(x- \alpha \right)}^{2} \gt 0$ の解
$\quad \alpha$ 以外のすべての実数

${\left(x- \alpha \right)}^{2} \geqq 0$ の解
すべての実数

放物線とx軸の共有点の位置

$f(x)=a{x}^{2}+bx+c \ (a \neq 0) \ , \ D=b^{2}-4ac$ とする。
放物線 $y=f(x)$ が $x$ 軸と $x=\alpha \ , \ \beta \ (\alpha \leqq \beta)$ で共有点をもつとする。
$a \gt 0$ のとき

$\alpha \gt k \ , \ \beta \gt k$
$\quad \Longleftrightarrow D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \gt k \ , \ f(k) \gt 0$

$\alpha \lt k \ , \ \beta \lt k$
$\quad \Longleftrightarrow D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \lt k \ , \ f(k) \gt 0$

$\alpha \lt k \lt \beta$
$\quad \Longleftrightarrow f(k) \lt 0$