2次関数

07/25/2018

2次関数

2次関数のグラフ

2次関数の式

$a \neq 0$ とする。
一般形
\begin{equation*} \quad y=a{x}^{\scriptsize{2}}+bx+c \end{equation*}
標準形
\begin{equation*} \quad y=a{\left( x-p \right)}^{\scriptsize{2}}+q \end{equation*}

標準形のグラフ

標準形 $y=a{\left( x-p \right)}^{\scriptsize{2}}+q \ (a \neq 0)$ のグラフ

頂点の座標が $(p \ , \ q )$
軸が直線 $x=p$
の放物線
$a \gt 0$ なら下に凸
$a \lt 0$ なら上に凸

一般形のグラフ

一般形 $y=a{x}^{\scriptsize{2}}+bx+c \quad (a \neq 0)$ のグラフ

右辺を平方完成して標準形に変形する
\begin{equation*} \quad y=a{\left( x+ \frac{b}{2a} \right)}^{\scriptsize{2}}-\frac{b^{\scriptsize{2}}-4ac}{4a} \end{equation*}
頂点の座標が
\begin{equation*} \quad \left(-\frac{b}{2a} \ , \ -\frac{b^{\scriptsize{2}}-4ac}{4a} \right) \end{equation*}
軸が直線
\begin{equation*} \quad x=-\frac{b}{2a} \end{equation*}
の放物線
$a \gt 0$ なら下に凸
$a \lt 0$ なら上に凸

平行移動、対称移動

平行移動

$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると
点 $(a \ , \ b)$
$\longrightarrow \ (a+p \ , \ b+q)$
グラフ $y=f(x)$
$\longrightarrow \ y=f(x-p)+q$

対称移動

  $x$ 軸 $y$ 軸 原点
点 $(a \ , \ b)$ $(a \ , \ -b)$ $(-a \ , \ b)$ $(-a \ , \ -b)$
グラフ $y=f(x)$ $y=-f(x)$ $y=f(-x)$ $y=-f(-x)$

関数の最大・最小

2次関数の最大・最小

  1. 平方完成して標準形にする。
    • $y=a{\left( x-p \right)}^{\scriptsize{2}}+q$
  2. 凸の向きを調べる。
    • ① $a \gt 0$ のとき
      • $x=p$ で最小値 $q$
      • 最大値はなし
    • ② $a\lt 0$ のとき
      • $x=p$ で最大値 $q$
      • 最小値はなし

2次関数(定義域あり)の最大・最小

$a \gt 0$ (下に凸)の場合
  1. 頂点が区間の内にあるとき
    • 最小:頂点
    • 最大:頂点から遠い方の区間の端
  2. 頂点が区間の外にあるとき
    • 最小:頂点に近い方の区間の端
    • 最大:頂点から遠い方の区間の端
上に凸の場合と逆になる。
$a \lt 0$ (上に凸)の場合
  1. 頂点が区間の内にあるとき
    • 最小:頂点から遠い方の区間の端
    • 最大:頂点
  2. 頂点が区間の外にあるとき
    • 最小:頂点から遠い方の区間の端
    • 最大:頂点に近い方の区間の端
下に凸の場合と逆になる。

2次関数の決定

与えられた条件によって一般形と標準形を使い分ける。

与えられた条件が放物線の頂点や軸
$\rightarrow y=a{\left( x-p \right)}^{\scriptsize{2}}+q$ とおく。
与えられた条件がグラフが通る3点
$\rightarrow y=a{x}^{\scriptsize{2}}+bx+c$ とおく。

2次方程式の実数解の個数

2次方程式 $a{x}^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の判別式 $D=b^{\scriptsize{2}}-4ac$ の値を求める。

$D \gt 0$ ⇔ 異なる2つの実数解をもつ
$D = 0$ ⇔ ただ1つの実数解(重解)をもつ
$D \lt 0$ ⇔ 実数解をもたない

2次関数のグラフとx軸

2次関数 $y=a{x}^{\scriptsize{2}}+bx+c$ のグラフを $C$ とし、$y=0$ のときの2次方程式 $a{x}^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の判別式を $D=b^{\scriptsize{2}}-4ac$ とする。

$D \gt 0$ ⇔ Cはx軸と異なる2点で交わる(共有点2個)
$D = 0$ ⇔ Cはx軸と1点で接する(共有点1個)
$D \lt 0$ ⇔ Cはx軸と共有点をもたない

2次不等式

$a{x}^{\scriptsize{2}}+bx+c \gt 0 \ , \ a{x}^{\scriptsize{2}}+bx+c \lt 0$ の解

2次方程式 $a{x}^{\scriptsize{2}}+bx+c = 0$ が、異なる2つの実数解 $\alpha \ , \ \beta$ をもち $\alpha \lt \beta$ とする(ただし、$a \gt 0$)

$a{x}^{\scriptsize{2}}+bx+c \gt 0$ の解
$\quad x \lt \alpha \ , \ \beta \lt x$
$a{x}^{\scriptsize{2}}+bx+c \geqq 0$ の解
$\quad x \leqq \alpha \ , \ \beta \leqq \ x$
$a{x}^{\scriptsize{2}}+bx+c \lt 0$ の解
$\quad \alpha \lt x \lt \beta$
$a{x}^{\scriptsize{2}}+bx+c \leqq 0$ の解
$\quad \alpha \leqq x \leqq \beta$

${\left(x- \alpha \right)}^{\scriptsize{2}} \gt 0 \ , \ {\left(x- \alpha \right)}^{\scriptsize{2}} \lt 0$ の解

${\left(x- \alpha \right)}^{\scriptsize{2}} \lt 0$ の解
解なし
${\left(x- \alpha \right)}^{\scriptsize{2}} \leqq 0$ の解
$\quad x = \alpha$
${\left(x- \alpha \right)}^{\scriptsize{2}} \gt 0$ の解
$\quad \alpha$ 以外のすべての実数
${\left(x- \alpha \right)}^{\scriptsize{2}} \geqq 0$ の解
すべての実数

放物線とx軸の共有点の位置

$a \gt 0$ のとき
\begin{align*} &\quad f(x)=a{x}^{2}+bx+c \ (a \neq 0) \\[ 7pt ] &\quad D=b^{2}-4ac \end{align*}
とする。
また、放物線 $y=f(x)$ が $x$ 軸と $x=\alpha \ , \ \beta \ (\alpha \leqq \beta)$ で共有点をもつとする。
  • $\alpha \gt k \ , \ \beta \gt k$
    • $\Longleftrightarrow D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \gt k \ , \ f(k) \gt 0$
  • $\alpha \lt k \ , \ \beta \lt k$
    • $\Longleftrightarrow D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \lt k \ , \ f(k) \gt 0$
  • $\alpha \lt k \lt \beta$
    • $\Longleftrightarrow f(k) \lt 0$

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Posted by kiri