頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。

空間のベクトル

公式・定理集
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空間のベクトル:1.ベクトルの分解、成分

ベクトルの分解、相等、大きさ

ベクトルの分解

同じ平面上にない4点 $O \ , \ A \ , \ B \ , \ C$ に対して、$\overrightarrow { OA } = \vec {a} \ , \ \overrightarrow { OB } = \vec {b} \ , \ \overrightarrow { OC } = \vec {c}$ とする。

このとき、任意のベクトル $\vec{p}$ は、実数 $s \ , \ t \ , \ u$ を用いてただ1通りに $\vec {p} = s \vec {a} + t \vec {b} + u \vec {c}$ の形に表される。

ベクトルの相等

\begin{align*}
&\quad ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ , \ a_{\tiny{3}} \ ) = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ , \ b_{\tiny{3}} \ ) \\[ 10pt ]
&\iff \ a_{\tiny{1}} = b_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} = b_{\tiny{2}} \ , \ a_{\tiny{3}} = b_{\tiny{3}}
\end{align*}

ベクトルの大きさ

$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ , \ a_{\tiny{3}} \ )$ のとき
\begin{equation*}
\quad \vert \vec{a} \vert = \sqrt{ {a_{\tiny{1}}}^{\tiny{2}} + {a_{\tiny{2}}}^{\tiny{2}} + {a_{\tiny{3}}}^{\tiny{2}} }
\end{equation*}

$\overrightarrow { AB }$ の成分と大きさ

$A ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ , \ a_{\tiny{3}} \ ) \ , \ B ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ , \ b_{\tiny{3}} \ )$ のとき
\begin{align*}
\quad \overrightarrow { AB } &= ( \ b_{\tiny{1}} \ – a_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \ , \ b_{\tiny{3}} \ – a_{\tiny{3}} \ ) \\[ 10pt ]
\quad \vert \overrightarrow { AB } \vert &= \sqrt{ {( \ b_{\tiny{1}} \ – a_{\tiny{1}} \ )}^{\tiny{2}} + {( \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \ )}^{\tiny{2}} + {( \ b_{\tiny{3}} \ – a_{\tiny{3}} \ )}^{\tiny{2}} }
\end{align*}

空間のベクトル:2.ベクトルの内積、ベクトルの応用

ベクトルの内積

内積と成分

$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ , \ a_{\tiny{3}} \ ) \ , \ \vec{b} = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ , \ b_{\tiny{3}} \ )$ のとき
\begin{equation*}
\quad \vec{a} \cdot \vec{b} = a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{2}} + a_{\tiny{3}} \ b_{\tiny{3}}
\end{equation*}

ベクトルの応用

同じ平面上にある条件

$s \ , \ t \ , \ u$ を実数とする。

点 $P(\vec{p})$ が3点 $A(\vec{a}) \ , \ B(\vec{b}) \ , \ C(\vec{c})$ の定める平面上にある。

$\ \iff \ \overrightarrow { CP } = s\overrightarrow { CA } + t\overrightarrow { CB }$

$\ \iff \ \vec { p } = s\vec{ a } + t\vec { b } + u\vec { c } \ , \ s + t + u = 1$

球面の方程式

点 $( \ a \ , \ b \ , \ c \ )$ を中心とする半径 $r$ の球面の方程式
\begin{equation*}
\quad {(x-a)}^{2} + {(y-b)}^{2} + {(z-c)}^{2} = r^{2}
\end{equation*}
一般形
\begin{align*}
\ &x^{2} + y^{2} + z^{2} + hx + ky + lz + d = 0 \\[ 10pt ]
&\text{ただし} \ h^{2} + k^{2} + l^{2} -4d \gt 0
\end{align*}
中心が $C( \vec {c} )$、半径が $r$ の球面のベクトル方程式
\begin{equation*}
\quad \vert \ \vec { p } – \vec{c} \ \vert = r
\end{equation*}

直線・平面の方程式

直線のベクトル方程式

$t$ を実数とする。

点 $A( \vec {a} )$ を通り、$\vec {d} \ ( \neq \vec {0} )$ に平行な直線のベクトル方程式
\begin{equation*}
\quad \vec { p } = \vec { a } + t\vec { d }
\end{equation*}
$A( \ x_{\tiny{1}} \ , \ y_{\tiny{1}} \ , \ z_{\tiny{1}} \ ) \ , \ \vec {d} = ( \ a \ , \ b \ , \ c \ )$ のときの直線の方程式
\begin{align*}
&\text{①} \quad x = x_{\tiny{1}} + at \ , \ y = y_{\tiny{1}} + bt \ , \ z = z_{\tiny{1}} + ct \\[ 10pt ]
&\text{②} \quad \frac{x \ – x_{\tiny{1}}}{a} = \frac{y \ – y_{\tiny{1}}}{b} = \frac{z \ – z_{\tiny{1}}}{c} \quad ( \ abc \neq 0 \ )
\end{align*}

平面の方程式

点 $A( \vec{a} )$ を通り、$\vec {n} \ ( \neq \vec{0} )$ に垂直な平面のベクトル方程式
\begin{equation*}
\quad \vec { n } \cdot ( \vec{p} – \vec{a} ) = 0
\end{equation*}
$A( \ x_{\tiny{1}} \ , \ y_{\tiny{1}} \ , \ z_{\tiny{1}} \ ) \ , \ \vec {n} = ( \ a \ , \ b \ , \ c \ )$ のときの平面の方程式
\begin{equation*}
\ a ( x – x_{\tiny{1}} ) + b ( y – y_{\tiny{1}} ) + c ( z – z_{\tiny{1}} ) = 0
\end{equation*}
平面の方程式の一般形
\begin{equation*}
\ ax + by + cz + d = 0
\end{equation*}
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