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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。

三角関数

公式・定理集
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三角関数:1.三角関数

弧度法と三角関数

弧度法

\begin{align*}
\bullet \ &1^\circ = \frac{\pi}{180} \ \text{ラジアン} \\[ 10pt ]
\bullet \ &1 \ \text{ラジアン} \ = {\left( \frac{180}{\pi} \right)}^\circ
\end{align*}
半径 $r$、中心角 $\theta$ ラジアンの扇形について、

弧の長さ $l$
$\quad l = r \theta$

面積 $S$
$\quad S = \frac{1}{2} lr = \frac{1}{2} r^{\tiny{2}} \theta$

三角関数の性質

$n$ は整数、符号は複合同順とする。

\begin{align*}
&\sin ( \theta + 2n\pi ) = \sin \theta \\[ 10pt ]
&\cos ( \theta + 2n\pi ) = \cos \theta \\[ 10pt ]
&\tan ( \theta + 2n\pi ) = \tan ( \theta + n\pi ) = \tan \theta
\end{align*}
\begin{align*}
&\sin ( -\theta ) = -\sin \theta \\[ 10pt ]
&\cos ( -\theta ) = \cos \theta \\[ 10pt ]
&\tan ( -\theta ) = -\tan \theta
\end{align*}
\begin{align*}
&\sin ( \pi \pm \theta ) = \mp \sin \theta \\[ 10pt ]
&\cos ( \pi \pm \theta ) = -\cos \theta \\[ 10pt ]
&\tan ( \pi \pm \theta ) = \pm \tan \theta
\end{align*}
\begin{align*}
&\sin \left( \frac{\pi}{2} \pm \theta \right) = \cos \theta \\[ 10pt ]
&\cos \left( \frac{\pi}{2} \pm \theta \right) = \mp \sin \theta \\[ 10pt ]
&\tan \left( \frac{\pi}{2} \pm \theta \right) = \mp \frac{1}{\tan \theta}
\end{align*}

周期

三角関数の周期
$k$ は正の定数とする。

\begin{align*}
\begin{array}{c|ccc}
\text{関数} & y= \sin k\theta & y = \cos k\theta & y = \tan k\theta \\
\hline
\text{周期} & \frac{2\pi}{k} & \frac{2\pi}{k} & \frac{\pi}{k} \\
\end{array}
\end{align*}

三角関数:2.加法定理

加法定理

符号は複合同順とする。

\begin{align*}
&\sin ( \alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\[ 10pt ]
&\cos ( \alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\[ 10pt ]
&\tan ( \alpha \pm \beta ) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}
\end{align*}

2倍角、半角、3倍角の公式

2倍角の公式

\begin{align*}
\bullet \ \sin 2\alpha = &\ 2\sin \alpha \cos \alpha \\[ 10pt ]
\bullet \ \cos 2\alpha = &\ \cos^{\tiny{2}} \alpha – \sin^{\tiny{2}} \alpha \\[ 5pt ]
= &\ 1 – 2\sin^{\tiny{2}} \alpha \\[ 5pt ]
= &\ 2\cos^{\tiny{2}} \alpha – 1 \\[ 10pt ]
\bullet \ \tan 2\alpha = &\ \frac{2\tan \alpha}{1 – \tan^{\tiny{2}} \alpha}
\end{align*}

半角の公式

\begin{align*}
\bullet \ \sin^{\tiny{2}} {\frac{\alpha}{2}} = &\ \frac{1 – \cos \alpha}{2} \\[ 10pt ]
\bullet \ \cos^{\tiny{2}} {\frac{\alpha}{2}} = &\ \frac{1 + \cos \alpha}{2} \\[ 10pt ]
\bullet \ \tan^{\tiny{2}} {\frac{\alpha}{2}} = &\ \frac{1 – \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}
\end{align*}

3倍角の公式

\begin{align*}
\bullet \ \sin 3\alpha = &\ 3\sin \alpha – 4\sin^{\tiny{3}} \alpha \\[ 10pt ]
\bullet \ \cos 3\alpha = &\ -3\cos \alpha + 4\cos^{\tiny{3}} \alpha
\end{align*}

積 ⇄ 和の公式、合成

積 ⇄ 和の公式

積 → 和
\begin{align*}
\sin \alpha \cos \beta =&\ \quad \frac{1}{2} \lbrace \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) \rbrace \\[ 10pt ]
\cos \alpha \sin \beta =&\ \quad \frac{1}{2} \lbrace \sin (\alpha + \beta) \ – \ \sin (\alpha – \beta) \rbrace \\[ 10pt ]
\cos \alpha \cos \beta =&\ \quad \frac{1}{2} \lbrace \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) \rbrace \\[ 10pt ]
\sin \alpha \sin \beta =& \ -\frac{1}{2} \lbrace \cos (\alpha + \beta) \ – \ \cos (\alpha – \beta) \rbrace
\end{align*}
和 → 積
\begin{align*}
\sin A + \sin B =&\ \quad 2\sin \frac{A+B}{2} \ \cos \frac{A-B}{2} \\[ 10pt ]
\sin A \ – \sin B =&\ \quad 2\cos \frac{A+B}{2} \ \sin \frac{A-B}{2} \\[ 10pt ]
\cos A + \cos B =&\ \quad 2\cos \frac{A+B}{2} \ \cos \frac{A-B}{2} \\[ 10pt ]
\cos A \ – \cos B =& \ -2\sin \frac{A+B}{2} \ \sin \frac{A-B}{2}
\end{align*}

三角関数の合成

$a \neq 0$ または $b \neq 0$ とする。
\begin{align*}
&\quad a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^{\tiny{2}} + b^{\tiny{2}}} \sin (\theta + \alpha) \\[ 10pt ]
&\text{ただし、αは以下を満たす。} \\[ 10pt ]
&\quad \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^{\tiny{2}} + b^{\tiny{2}}}} \\[ 10pt ]
&\quad \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^{\tiny{2}} + b^{\tiny{2}}}}
\end{align*}
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