整数の性質|n進法の四則計算について

12/24/2018数学A四則計算,整数の性質,n進法

数学A 整数の性質

今回はn進法の四則計算について学習しましょう。10進法での四則計算に慣れ親しんでいるので、2進法や3進法で表される数を使って四則計算する場合、思っている以上に計算ミスをしやすくなります。どの辺りが間違えやすいのかを把握して、多めに演習をこなしておきましょう。

n進法の四則計算

n進法での四則計算では、10進法のときと同じように筆算することができます。たとえば、加法や減法では、各位の数を縦に並べて計算します。

10進法と同じ要領で計算できるのですが、計算ミスが多くなるのは「繰り上がり」と「繰り下がり」のときです。繰り上がりとは、上の桁に数を上げることです。また、繰り下がりとは、下の桁に数を下ろすことです。

「繰り上がり」や「繰り下がり」をどのように行うかは底によって決まりますが、10進法と区別できないと簡単に間違えてしまいます。慣れるまでは丁寧に演習をこなした方が良いでしょう。

2進法での繰り上がりと繰り下がり

繰り上がりと繰り下がりは、記数法の底によって異なります。

たとえば、10進法では、0~9の9個の数字を用いて数を表すので、和が10になると上の位に繰り上げます。足りないときは下の位に10を繰り下げます。他の記数法でも同じ要領で繰り上げたり、繰り下げたりします。

2進法であれば、0と1を用いて数を表す記数法なので、和が2になると上の桁に1だけ繰り上げます。足りないときは下の桁に2を下ろします。10ではないので注意しましょう。

2進法での加法や乗法では以下の計算が基本になります。この計算をもとに四則計算を行います。

2進法での加法
\begin{array}{c|cc}
+ & 0 & 1 \\
\hline
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 10
\end{array}
2進法での乗法
\begin{array}{c|cc}
\times & 0 & 1 \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
2進法での減法と除法
減法では、$10-1 = 1$ に注意。
除法では、乗法と減法を組み合わせて行う。

2進法の加法では、$1+1=2$ とはならず、上の位に1だけ繰り上げて、$1+1=10$ となります。また、2進法の減法では、$10-1=9$ とはならず、下の位に2を繰り下げて、$10-1=1$ となります。

10進法は、0~9の10個の数字を用いて数を表す記数法。また、2進法は、0と1の2個の数字を用いて数を表す記数法。10や2の意味を分かっていれば、繰り上がりや繰り下がりのミスを防ぐことができる。

例を挙げて確認してみましょう。

例題
次の計算の結果を [ ] 内の記数法で表わせ。
\begin{equation*}
\quad 11011_{\scriptsize{(2)}} + 11010_{\scriptsize{(2)}} \quad \text{[ 2進法 ]}
\end{equation*}

2進数のままで計算することができるので、位を揃えて縦に計算します。加法のときに注意するのは繰り上がりです。

10進数のときと同じように計算しますが、和が2になると、$1+1=2=10_{\scriptsize{(2)}}$ のように、上の位に1だけ繰り上げます。

2進数の加法の例

2進数の加減算であれば、そのまま計算しても問題ないかと思います。どうしても難しいと感じる場合には、次の方法で計算しましょう。

n進法の四則計算でミスをなくす最も確実な方法

一般に、n進法であれば、和がnになると繰り上がり、足りないときはnを繰り下げます。ルール自体は簡単ですが、やはり10進法の四則計算の方が慣れ親しんでいるぶん、余計な気を使わなくて済みます。

n進法の四則計算において、ミスをなくすための最も確実な方法は、n進数を10進数に変換して計算することです。そして、10進数での計算が終わってから、n進数に戻せば良いのです。

先程の例で確認してみましょう。2進数をいったん10進数に変換します。この変換で間違わないようにしましょう。

n進数を10進数に変換する
\begin{align*}
&\quad 11011_{\scriptsize{(2)}} \\[ 5pt ]
&= 1 \cdot 2^{\scriptsize{4}} + 1 \cdot 2^{\scriptsize{3}} + 0 \cdot 2^{\scriptsize{2}} + 1 \cdot 2^{\scriptsize{1}} + 1 \cdot 2^{\scriptsize{0}} \\[ 5pt ]
&= 27 \\[ 10pt ]
&\quad 11010_{\scriptsize{(2)}} \\[ 5pt ]
&= 1 \cdot 2^{\scriptsize{4}} + 1 \cdot 2^{\scriptsize{3}} + 0 \cdot 2^{\scriptsize{2}} + 1 \cdot 2^{\scriptsize{1}} + 0 \cdot 2^{\scriptsize{0}} \\[ 5pt ]
&= 26
\end{align*}

10進数に変換できたら、そのまま計算します。計算が終わったら、2で割る割り算を繰り返して2進数に戻します。

10進数をn進数に戻す
\begin{align*}
&\quad 27 + 26 = 53 \\[ 5pt ]
&\text{より、$10$ 進数 $53$ を $2$ 進数に戻すと、} \\[ 5pt ]
&\quad 53 = 110101_{\scriptsize{(2)}}
\end{align*}

記述例は以下のようになります。

2進数を10進数に直した加法の例

記数法の変換についてはすでに学習しているので、簡単に変換できるはずです。ひと手間必要になりますが、ミスをなくすことを優先する場合、この方法が最も適切です。

数学では計算ミスは致命的。計算ミスをしない解き方を基本を踏まえて自分なりに構築しよう。

次はn進法の四則計算を扱った問題を実際に解いてみましょう。