整数の性質|n進法の四則計算について

数学A

数学A 整数の性質

n進法の四則計算を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

次の計算の結果を[ ]内の記数法で表わせ。

\begin{align*} (1) \quad &1222_{(3)} + 1120_{(3)}& &\text{[3進法]} \\[ 7pt ] (2) \quad &110100_{(2)} \ – 101101_{(2)}& &\text{[2進法]} \\[ 7pt ] (3) \quad &2304_{(5)} \times 203_{(5)}& &\text{[5進法]} \\[ 7pt ] (4) \quad &110001_{(2)} \div 111_{(2)}& &\text{[2進法]} \end{align*}

問(1)の解答・解説

問(1)

次の計算の結果を[ ]内の記数法で表わせ。

\begin{align*} \quad 1222_{(3)} + 1120_{(3)} \text{[3進法]} \end{align*}

問(1)は、3進法で表された数の加法です。3進法では0~2の3個の数字を用いて数を表すので、和が3になると繰り上がります

3進法での加法

\begin{array}{c|ccc} + & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 10 \\ 2 & 2 & 10 & 11 \end{array} \begin{align*} &1 + 2 = 2 + 1 = 3 = 10_{(3)} \\[ 7pt ] &2 + 2 = 4 = 3 + 1 = 11_{(3)} \end{align*}

10進法のときと同じように足して構いません。ただし、和が3以上になれば、3進法のルールに従った数に変換します。

問(1)の解答例

\begin{align*} 1222& \\ + \quad 1120& \\ \hline 10112& \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 1222_{(3)} + 1120_{(3)} = 10112_{(3)} \end{align*}

10進数に変換して計算した場合、以下のようになります。

問(1)の別解例

\begin{align*} &\quad 1222_{(3)} \\[ 7pt ] &= 1 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{0} \\[ 7pt ] &= 27 + 18 + 6 + 2 \\[ 7pt ] &= 53 \\[ 10pt ] &\quad 1120_{(3)} \\[ 7pt ] &= 1 \cdot 3^{3} + 1 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{1} + 0 \cdot 3^{0} \\[ 7pt ] &= 27 + 9 + 6 + 0 \\[ 7pt ] &= 42 \end{align*}

より

\begin{align*} \quad 53 + 42 = 95 \end{align*}

$3$ 進数に戻すと

\begin{align*} \quad 95 = 10112_{(3)} \end{align*}

10進数で計算した方が、繰り上がりや繰り下がりに気を使わずに済みます。

問(2)の解答・解説

問(2)

次の計算の結果を[ ]内の記数法で表わせ。

\begin{align*} \quad 110100_{(2)} \ – 101101_{(2)} \text{[2進法]} \end{align*}

問(2)は、2進法で表された数の減法です。2進法の減法では10-1=1(2)であることに注意しましょう。

問(2)の解答例

\begin{align*} 110100& \\ – \quad 101101& \\ \hline 111& \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 110100_{(2)} \ – 101101_{(2)} = 111_{(2)} \end{align*}

10進数に変換した場合、以下のようになります。

問(2)の別解例

\begin{align*} &\quad 110100_{(2)} \\[ 7pt ] &= 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} \\[ 7pt ] &= 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 0 \\[ 7pt ] &= 52 \\[ 10pt ] &\quad 101101_{(2)} \\[ 7pt ] &= 1 \cdot 2^{5} + 0 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\[ 7pt ] &= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 \\[ 7pt ] &= 45 \end{align*}

より

\begin{align*} \quad 52 \ – 45 = 7 \end{align*}

$2$ 進数に戻すと

\begin{align*} \quad 7 = 111_{(2)} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 110100_{(2)} \ – 101101_{(2)} = 111_{(2)} \end{align*}

減法では繰り下がりに気をつけよう。

問(3)の解答・解説

問(3)

次の計算の結果を[ ]内の記数法で表わせ。

\begin{align*} \quad 2304_{(5)} \times 203_{(5)} \text{[5進法]} \end{align*}

問(3)は、5進法で表された数の乗法です。5進法では0~4の5個の数字を用いて数を表すので、和が5になると繰り上がります

5進法での乗法

\begin{array}{c|ccccc} \times & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & 11 & 13 \\ 3 & 0 & 3 & 11 & 14 & 22 \\ 4 & 0 & 4 & 13 & 22 & 31 \end{array} \begin{align*} &2 \times 3 = 3 \times 2 = 6 = 5 + 1 = 11_{(5)} \\[ 7pt ] &3 \times 3 = 9 = 5 + 4 = 14_{(5)} \\[ 7pt ] &3 \times 4 = 4 \times 3 = 12 = 5 + 5 + 2 = 22_{(5)} \\[ 7pt ] &4 \times 4 = 16 = 5 + 5 + 5 + 1 = 31_{(5)} \end{align*}

10進法のときと同じように掛けて構いません。ただし、積が5以上になれば、5進法のルールに従った数に変換します。

問(3)の解答例

\begin{align*} 230&4 \\ \times \quad 20&3 \\ \hline 1242&2 \\ 101130& \\ \hline 102422&2 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 2304_{(5)} \times 203_{(5)} = 1024222_{(5)} \end{align*}

5進法の基本計算を表にしておいて、それを見ながら計算すると間違えにくいでしょう。

n進法の四則計算を扱った問題問(3)の解答例
問(3)の計算

10進数に変換した場合、以下のようになります。

問(3)の別解例

\begin{align*} &\quad 2304_{(5)} \\[ 5pt ] &= 2 \cdot 5^{3} + 3 \cdot 5^{2} + 0 \cdot 5^{1} + 4 \cdot 5^{0} \\[ 7pt ] &= 250 + 75 + 0 + 4 \\[ 7pt ] &= 329 \\[ 10pt ] &\quad 203_{(5)} \\[ 7pt ] &= 2 \cdot 5^{2} + 0 \cdot 5^{1} + 3 \cdot 5^{0} \\[ 7pt ] &= 50 + 0 + 3 \\[ 7pt ] &= 53 \end{align*}

より

\begin{align*} \quad 329 \times 53 = 17437 \end{align*}

$5$ 進数に戻すと

\begin{align*} \quad 17437 = 1024222_{(5)} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 2304_{(5)} \times 203_{(5)} = 1024222_{(5)} \end{align*}

問(3)のような問題になると、そのまま計算しても10進法に変換してもそれなりに大変です。

問(4)の解答・解説

問(4)

次の計算の結果を[ ]内の記数法で表わせ。

\begin{align*} \quad 110001_{(2)} \div 111_{(2)} \text{[2進法]} \end{align*}

問(4)は、2進法で表された数の除法です。除法は乗法と減法を組み合わせて計算します。2進法の減法では 10-1=1(2)となるので注意しましょう。

解答例は以下のようになります。10進法での除算と変わりませんが、乗法と減法は2進法で行います。

n進法の四則計算を扱った問題問(4)の解答例
問(4)の計算

2進法の除法では、商に立てる数字は0または1になるので、乗法の計算は難しくありません。ミスが多いのは、やはり乗法よりも減法です。

また、10進数に変換した場合、解答例は以下のようになります。

問(4)の別解例

\begin{align*} &\quad 110001_{(2)} \\[ 7pt ] &= 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\[ 7pt ] &= 32 + 16 + 0 + 0 + 0 + 1 \\[ 7pt ] &= 49 \\[ 10pt ] &\quad 111_{(2)} \\[ 7pt ] &= 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\[ 7pt ] &= 4 + 2 + 1 \\[ 7pt ] &= 7 \end{align*}

より

\begin{align*} \quad 49 \div 7 = 7 \end{align*}

$2$ 進数に戻すと

\begin{align*} \quad 7 = 111_{(2)} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 110001_{(2)} \div 111_{(2)} = 111_{(2)} \end{align*}

n進法の四則計算は底(nのこと)によって繰り上がりや繰り下がりのルールが変わります。難しく感じるかもしれませんが、慣れてくると意外と面白い計算です。

ただ、面白いとは言え、計算ミスをするのはいただけないので、「いったん10進数に変換して計算し、その後でn進数に戻す」ことを基本方針にしましょう。わざわざ難しくして計算ミスをする必要はありません。

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さいごにもう一度まとめ

  • n進法の四則計算では、和がnになると繰り上がり、足りなければnを繰り下げる。
  • n進法の四則計算をするよりも、10進法に変換して計算した方が確実。
  • 繰り上がりや繰り下がりで混乱しないように、表にまとめてから計算しよう。