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式と証明|分数式の加法や減法について

数学2 式と証明アイキャッチ02 数学II

分数式の加法や減法を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \frac{x+1}{3x^{\scriptsize{2}}-2x-1} + \frac{2x+1}{3x^{\scriptsize{2}}+4x+1} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{a^{\scriptsize{2}}}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^{\scriptsize{2}}}{(b-c)(b-a)} + \frac{c^{\scriptsize{2}}}{(c-a)(c-b)}
\end{align*}

最初はスピードのことは考えず、計算ミスの少ない計算過程を記述することを意識しましょう。

まずは丁寧に。丁寧にできたら、次は手早く。

問(1)の解答・解説

問(1)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \frac{x+1}{3x^{\scriptsize{2}}-2x-1} + \frac{2x+1}{3x^{\scriptsize{2}}+4x+1}
\end{align*}

問(1)は、分数式の加法です。分母を通分するために、整式を因数分解します。

問(1)の解答例
\begin{align*}
&\frac{x+1}{3x^{\scriptsize{2}}-2x-1} + \frac{2x+1}{3x^{\scriptsize{2}}+4x+1} \\[ 10pt ]
= &\frac{x+1}{(x-1)(3x+1)} + \frac{2x+1}{(x+1)(3x+1)}
\end{align*}

分母の整式がもつ因数が分かったので、分母を通分します。

問(1)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{x+1}{3x^{\scriptsize{2}}-2x-1} + \frac{2x+1}{3x^{\scriptsize{2}}+4x+1} \\[ 10pt ]
= &\frac{x+1}{(x-1)(3x+1)} + \frac{2x+1}{(x+1)(3x+1)} \\[ 10pt ]
= &\frac{(x+1)^{\scriptsize{2}}}{(x-1)(3x+1)(x+1)} + \frac{(2x+1)(x-1)}{(x+1)(3x+1)(x-1)} \\[ 10pt ]
= &\frac{(x+1)^{\scriptsize{2}}+(2x+1)(x-1)}{(x-1)(x+1)(3x+1)}
\end{align*}

通分できたら、分子を足し算します。乗法公式を用いて展開し、同類項を整理します。

問(1)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{x+1}{3x^{\scriptsize{2}}-2x-1} + \frac{2x+1}{3x^{\scriptsize{2}}+4x+1} \\[ 10pt ]
= &\quad \vdots \\[ 10pt ]
= &\frac{(x+1)^{\scriptsize{2}}+(2x+1)(x-1)}{(x-1)(x+1)(3x+1)} \\[ 10pt ]
= &\frac{x^{\scriptsize{2}}+2x+1+2x^{\scriptsize{2}}-x-1}{(x-1)(x+1)(3x+1)} \\[ 10pt ]
= &\frac{3x^{\scriptsize{2}}+x}{(x-1)(x+1)(3x+1)}
\end{align*}

分子を足し算したら、約分ができるかどうかを必ず確認しましょう。

問(1)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{x+1}{3x^{\scriptsize{2}}-2x-1} + \frac{2x+1}{3x^{\scriptsize{2}}+4x+1} \\[ 10pt ]
= &\quad \vdots \\[ 10pt ]
= &\frac{3x^{\scriptsize{2}}+x}{(x-1)(x+1)(3x+1)} \\[ 10pt ]
= &\frac{x(3x+1)}{(x-1)(x+1)(3x+1)} \\[ 10pt ]
= &\frac{x}{(x-1)(x+1)} \\[ 10pt ]
= &\frac{x}{x^{\scriptsize{2}}-1}
\end{align*}

解答例では、最後に分母を展開していますが、そのままでも問題ありません。

問(2)の解答・解説

問(2)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(2) \quad \frac{a^{\scriptsize{2}}}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^{\scriptsize{2}}}{(b-c)(b-a)} + \frac{c^{\scriptsize{2}}}{(c-a)(c-b)}
\end{align*}

問(2)も分数式の加法です。分母が異なるので、通分します。分母をよく見ると、数学1の因数分解でよく見た整式です。

輪環の順に整理して因数分解
\begin{align*}
&a^{\scriptsize{2}}(b-c)+b^{\scriptsize{2}}(c-a)+c^{\scriptsize{2}}(a-b) \\[ 10pt ]
= &-(a-b)(b-c)(c-a)
\end{align*}

カッコの中の文字を追っていくと、aからbbからc、そしてcからaというように、aから始まってまたaに戻ってくることから、この並びを輪環の順と言います。

与式についても輪環の順に並ぶように、分母を変形します。

問(2)の解答例
\begin{align*}
&\frac{a^{\scriptsize{2}}}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^{\scriptsize{2}}}{(b-c)(b-a)} + \frac{c^{\scriptsize{2}}}{(c-a)(c-b)} \\[ 10pt ]
= &\frac{a^{\scriptsize{2}}}{(a-b)\{-(c-a)\}} + \frac{b^{\scriptsize{2}}}{(b-c)\{-(a-b)\}} + \frac{c^{\scriptsize{2}}}{(c-a)\{-(b-c)\}} \\[ 10pt ]
= &-\frac{a^{\scriptsize{2}}}{(a-b)(c-a)} – \frac{b^{\scriptsize{2}}}{(b-c)(a-b)} – \frac{c^{\scriptsize{2}}}{(c-a)(b-c)} \\[ 10pt ]
= &-\biggl\{\frac{a^{\scriptsize{2}}}{(a-b)(c-a)} + \frac{b^{\scriptsize{2}}}{(b-c)(a-b)} + \frac{c^{\scriptsize{2}}}{(c-a)(b-c)} \biggr\}
\end{align*}

最後の行で、符号ミスを減らすために、3つの項から-1を共通因数としてくくり出しています。3つの分数式の分母を通分します。

問(2)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{a^{\scriptsize{2}}}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^{\scriptsize{2}}}{(b-c)(b-a)} + \frac{c^{\scriptsize{2}}}{(c-a)(c-b)} \\[ 10pt ]
= &\quad \vdots \\[ 10pt ]
= &-\biggl\{\frac{a^{\scriptsize{2}}}{(a-b)(c-a)} + \frac{b^{\scriptsize{2}}}{(b-c)(a-b)} + \frac{c^{\scriptsize{2}}}{(c-a)(b-c)} \biggr\} \\[ 10pt ]
= &-\biggl\{\frac{a^{\scriptsize{2}}(b-c)}{(a-b)(c-a)(b-c)} + \frac{b^{\scriptsize{2}}(c-a)}{(b-c)(a-b)(c-a)} + \frac{c^{\scriptsize{2}}(a-b)}{(c-a)(b-c)(a-b)} \biggr\} \\[ 10pt ]
= &-\biggl\{\frac{a^{\scriptsize{2}}(b-c)+b^{\scriptsize{2}}(c-a)+c^{\scriptsize{2}}(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\biggr\}
\end{align*}

分子はこのままだと足し算することができません。ですから、因数分解して分子を変形します。分子を変形するとき、毎回、分数式を書くのは面倒です。分子以外は書く必要がないので、分子だけを取り出して整理します。これだけでも記述がだいぶ楽になります。

分子だけを抜き出して計算する
\begin{align*}
&a^{\scriptsize{2}}(b-c)\underline{+b^{\scriptsize{2}}(c-a)+c^{\scriptsize{2}}(a-b)} \quad \text{(2項目と3項目をそれぞれ展開)} \\[ 10pt ]
= \ &a^{\scriptsize{2}}(b-c)\underline{+b^{\scriptsize{2}}c} \ \underline{\underline{-ab^{\scriptsize{2}}+ac^{\scriptsize{2}}}} \ \underline{-bc^{\scriptsize{2}}} \quad \text{(1項目の多項式と同じ共通因数を作る)} \\[ 10pt ]
= \ &a^{\scriptsize{2}}(b-c)+bc(b-c)-a\underline{(b^{\scriptsize{2}}-c^{\scriptsize{2}})} \quad \text{(因数分解する)} \\[ 10pt ]
= \ &a^{\scriptsize{2}}\underline{(b-c)}+bc\underline{(b-c)}-a(b+c)\underline{(b-c)} \quad \text{(共通因数でくくる)} \\[ 10pt ]
= \ &(b-c)\bigl\{a^{\scriptsize{2}}+bc\underline{-a(b+c)} \bigr\} \quad \text{(展開する)} \\[ 10pt ]
= \ &(b-c)(\underline{a^{\scriptsize{2}}} \ \underline{\underline{+bc}} \ \underline{-ab} \ \underline{\underline{-ac}}) \quad \text{(共通因数を作る)} \\[ 10pt ]
= \ &(b-c)\bigl\{a\underline{(a-b)}-c\underline{(a-b)} \bigr\} \quad \text{(共通因数でくくる)} \\[ 10pt ]
= \ &(b-c)\underline{(a-b)(a-c)} \quad \text{(輪環の順に並ぶように符号を調整する)} \\[ 10pt ]
= \ &(b-c)(a-b)\bigl\{\underline{-(c-a)} \bigr\} \quad \text{(符号を一番前に移動させる)} \\[ 10pt ]
= \ &-(b-c)(a-b)(c-a)
\end{align*}

式の横に、次に行うことを記載しています。このように自分の言葉で注釈を入れておくと、復習のときに役立ちます。

問(2)は、習熟度の高さを判別できる良問です。分子の変形に関して言えば、決して難易度の高い変形ではなく、因数分解の問題ではよく見られます。また、入試でも意外と出題されています。

もし、この式が初見だとすれば、計算演習がかなり不足していると考えられます。数学の基礎力に関わるので、もっと演習を増やしたほうが良いでしょう。

分子を整理したら、もとの分数式に戻ります。約分ができるかどうかを確認します。

問(2)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{a^{\scriptsize{2}}}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^{\scriptsize{2}}}{(b-c)(b-a)} + \frac{c^{\scriptsize{2}}}{(c-a)(c-b)} \\[ 10pt ]
= &\quad \vdots \\[ 10pt ]
= &-\biggl\{\frac{a^{\scriptsize{2}}(b-c)+b^{\scriptsize{2}}(c-a)+c^{\scriptsize{2}}(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\biggr\} \\[ 10pt ]
= &-\biggl\{\frac{-(b-c)(a-b)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\biggr\} \\[ 10pt ]
= &-(-1) \\[ 10pt ]
= &1
\end{align*}

整式を扱うとき、一番多いのが符号のミスです。符号の扱いにはくれぐれも注意しましょう。輪環の順に並んでいなくても構いませんが、多項式の並びを統一しておくことが符号ミスをなくすコツです。

また、分数式の加法や減法では、乗法や除法に比べて、因数分解だけでなく展開も行うので、計算に工夫が必要です。扱う整式は数学1で扱っていたものなので、数学1の内容も確認しながら進めて行くと良いでしょう。

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さいごにもう一度まとめ

  • 整式を扱った分数式では、整式を因数分解しよう。
  • 分数式の加法や減法では、分母の整式を因数分解して因数を調べよう。
  • 整式の展開や因数分解を利用するので、数学1の学習内容も確認しながら進めよう。
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日々是鍛錬 ひびこれたんれん
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