頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
スポンサーリンク

式と証明|分数式の加法や減法の応用について

数学2 式と証明アイキャッチ02 数学II

今回は分数式の加法や減法の応用について学習しましょう。分数式の加法や減法には変わりませんが、分数数がこれまでのものとは異なります。

そのような分数式を扱った計算では、単純に加法や減法で計算するのではなく、工夫して計算する必要があります。分母や分子の次数に注目するのがここでのポイントです。

スポンサーリンク

分数式の加法や減法の応用

ここで扱う分数式は、以下のような式です。

分数式の例
\begin{align*}
&(1) \quad \frac{x^{\scriptsize{2}}+4x+5}{x+3} \ , \ \frac{x^{\scriptsize{2}}+5x+6}{x+4} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{x+2}{x} \ , \ \frac{x+3}{x+1}
\end{align*}

例(1)の分数式では、分子の次数の方が分母の次数よりも大きくなっています。また、例(2)のぶん数式では、分母の次数と分子の次数が等しくなっています。

分数式の変形

例に挙げた分数式を扱った加法や減法では、いきなり計算するのではなく、分数式を変形することから始めましょう。

どのように変形すれば良いかと言うと、割り算の基本公式を利用します。

割り算の基本公式
\begin{align*}
&\text{同じ1つの文字についての2つの整式 $A \ , \ B \ (B \neq 0)$ において、} \\[ 5pt ]
&\text{$A$ を $B$ で割ったときの商を $Q$、余りを $R$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad A = BQ + R \\[ 5pt ]
&\text{ただし、$R$ は $0$ か、$B$ より次数の低い整式}
\end{align*}
参考 式と証明|整式の割り算について

分子をA、分母をBとする分数式があるとき、商Qと余りRを用いて、分数式は以下のように表せます。

分数式の変形
\begin{align*}
&\text{分子 $A$ を分母 $B$ で割った商を $Q$、余りを $R$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、$A = BQ + R$ より、} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{A}{B} = \frac{BQ + R}{B} = Q + \frac{R}{B} \\[ 10pt ]
&\quad \therefore \frac{A}{B} = Q + \frac{R}{B} \\[ 10pt ]
&\text{と表せる。}
\end{align*}

(分子の次数) ≧ (分母の次数) である分数式は、分子Aを分母Bで割ったときの商Qと余りRを用いて変形します。このように変形すると、分子の次数が分母の次数より低くなり、計算を楽に進めることができるようになります。

割り算するとき、暗算で難しければ筆算します。先ほどの例(1)のような分数式であれば、筆算した方が良いでしょう。計算する前の式変形で間違えないように気を付けましょう。

例に挙げた分数式を変形してみましょう。

例(1)の分数式を変形する

分数式の変形 例(1)
\begin{align*}
&(1) \quad \frac{x^{\scriptsize{2}}+4x+5}{x+3} \ , \ \frac{x^{\scriptsize{2}}+5x+6}{x+4} \\[ 10pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+4x+5 = (x+3)(x+1)+2 \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+5x+6 = (x+4)(x+1)+2 \\[ 5pt ]
&\text{より、} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{x^{\scriptsize{2}}+4x+5}{x+3} = x+1 + \frac{2}{x+3} \\[ 10pt ]
&\quad \frac{x^{\scriptsize{2}}+5x+6}{x+4} = x+1 + \frac{2}{x+4} \\[ 10pt ]
&\text{と表せる。}
\end{align*}

筆算した方が良いでしょうが、暗算することは不可能ではありません。コツを掴めば、2次式と1次式の割り算であれば簡単に暗算できます。

2次式を1次式で割った商と余りを求めるコツ
$x^{\scriptsize{2}}+4x+5 = (x+3) \times Q+R$

  1. 割る式は分母の1次式 $x+3$ で、割られる式は分子の2次式 $x^{\scriptsize{2}}+4x+5$ であることから、2次の項 $x^{\scriptsize{2}}$ を参考にすると、商が1次式 $x+$□ と決まる。
  2. 割られる式の1次の項 $4x$ に注目すると、商の定数項□が $1$ と決まる。
  3. 商の1次式が $x+1$ と分かる。
  4. 割る式と商の定数項の積は $3$ となるので、割られる式の定数項 $5$ と比べると、余りが $2$ と決まる。

さすがに次数が大きくなってくると暗算では難しいので、そんなときは筆算で求めます。次は例(2)の分数式を変形してみましょう。

例(2)の分数式を変形する

分数式の変形 例(2)
\begin{align*}
&(2) \quad \frac{x+2}{x} \ , \ \frac{x+3}{x+1} \\[ 10pt ]
&\quad \frac{x+2}{x} = \frac{x}{x} + \frac{2}{x} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{x+3}{x+1} = \frac{(x+1)+2}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{2}{x+1} \\[ 5pt ]
&\text{より、} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{x+2}{x} = 1 + \frac{2}{x} \\[ 10pt ]
&\quad \frac{x+3}{x+1} = 1 + \frac{2}{x+1} \\[ 10pt ]
&\text{と表せる。}
\end{align*}

分子と分母の次数が等しい場合、分母がxのように単項式であれば、割り算の基本公式を利用せずに変形できます。それに対して、分母がx+1のように多項式であれば、割り算の基本公式を利用するのが基本ですが、分母と同じ式を作るように分子を変形できれば、暗算できるようになります。

割り算の基本公式を利用した変形は、分母と同じ式が分子にいくつできるのかを考えるのがポイントです。ここを押さえておけば、式変形で困ることはないでしょう。

分子の変形では、分母と同じ式が分子にいくつできるのかを考えよう。

分数式の加法や減法の例題

分数式の加法や減法を例を挙げて考えてみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \frac{x^{\scriptsize{2}}+4x+5}{x+3} – \frac{x^{\scriptsize{2}}+5x+6}{x+4} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{x+2}{x} – \frac{x+3}{x+1} – \frac{x-5}{x-3} + \frac{x-6}{x-4}
\end{align*}

例題(1)の解答・解説

例題(1)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \frac{x^{\scriptsize{2}}+4x+5}{x+3} – \frac{x^{\scriptsize{2}}+5x+6}{x+4}
\end{align*}

例題(1)は、分数式の減法ですが、分子の次数が分母の次数よりも大きいことに注目します。分子の次数を分母の次数よりも小さくなるように、分数式をそれぞれ変形します。

分子を分母で割り算して、分子を割り算の基本公式の形に変形します。コツを利用した暗算が難しいときは筆算しましょう。

例題(1)の解答例
\begin{align*}
&\frac{x^{\scriptsize{2}}+4x+5}{x+3} – \frac{x^{\scriptsize{2}}+5x+6}{x+4} \\[ 10pt ]
= &\frac{(x+3)(x+1)+2}{x+3} – \frac{(x+4)(x+1)+2}{x+4}
\end{align*}

さらに分数式をそれぞれ変形します。

例題(1)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{x^{\scriptsize{2}}+4x+5}{x+3} – \frac{x^{\scriptsize{2}}+5x+6}{x+4} \\[ 10pt ]
= &\frac{(x+3)(x+1)+2}{x+3} – \frac{(x+4)(x+1)+2}{x+4} \\[ 10pt ]
= &\biggl\{ \frac{(x+3)(x+1)}{x+3} + \frac{2}{x+3} \biggr\} – \biggl\{ \frac{(x+4)(x+1)}{x+4} + \frac{2}{x+4} \biggr\} \\[ 10pt ]
= &\biggl( x+1 + \frac{2}{x+3} \biggr) – \biggl( x+1 + \frac{2}{x+4} \biggr)
\end{align*}

準備ができたので、計算します。部分分数の公式を利用すると、計算が楽です。符号ミスにはくれぐれも注意しましょう。

例題(1)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{x^{\scriptsize{2}}+4x+5}{x+3} – \frac{x^{\scriptsize{2}}+5x+6}{x+4} \\[ 10pt ]
= &\quad \vdots \\[ 10pt ]
= &\biggl( x+1 + \frac{2}{x+3} \biggr) – \biggl( x+1 + \frac{2}{x+4} \biggr) \\[ 10pt ]
= &\frac{2}{x+3} – \frac{2}{x+4} \\[ 10pt ]
= &2 \biggl( \frac{1}{x+3} – \frac{1}{x+4} \biggl) \\[ 10pt ]
= &2 \cdot \frac{4-3}{(x+3)(x+4)} \\[ 10pt ]
= &2 \cdot \frac{1}{(x+3)(x+4)} \\[ 10pt ]
= &\frac{2}{(x+3)(x+4)}
\end{align*}

共通因数の2をくくり出して分子を1にしてから、部分分数の公式を利用します。

部分分数の公式(応用)
\begin{align*}
&\quad \frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a} \biggl( \frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \biggr) \\[ 10pt ]
&\text{両辺に $b-a$ を掛けると} \\[ 10pt ]
&\quad \frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} = \frac{b-a}{(x+a)(x+b)}
\end{align*}

例題(2)の解答・解説

例題(2)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(2) \quad \frac{x+2}{x} – \frac{x+3}{x+1} – \frac{x-5}{x-3} + \frac{x-6}{x-4}
\end{align*}

例題(2)は、分数式の加法と減法が混じった計算です。分子の次数と分母の次数が等しいので、各分数式を変形してから計算します。分母を意識しながら分子を変形します。

例題(2)の解答例
\begin{align*}
&\frac{x+2}{x} – \frac{x+3}{x+1} – \frac{x-5}{x-3} + \frac{x-6}{x-4} \\[ 10pt ]
= &\frac{x+2}{x} – \frac{(x+1)+2}{x+1} – \frac{(x-3)-2}{x-3} + \frac{(x-4)-2}{x-4}
\end{align*}

各分数式をさらに変形します。符号ミスがないように、カッコを上手に使いましょう。

例題(2)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{x+2}{x} – \frac{x+3}{x+1} – \frac{x-5}{x-3} + \frac{x-6}{x-4} \\[ 10pt ]
= &\frac{x+2}{x} – \frac{(x+1)+2}{x+1} – \frac{(x-3)-2}{x-3} + \frac{(x-4)-2}{x-4} \\[ 10pt ]
= &\biggl( \frac{x}{x} + \frac{2}{x} \biggr) – \biggl( \frac{x+1}{x+1} + \frac{2}{x+1} \biggr) – \biggl( \frac{x-3}{x-3} + \frac{-2}{x-3} \biggr) + \biggl( \frac{x-4}{x-4} + \frac{-2}{x-4} \biggr) \\[ 10pt ]
= &\biggl( 1 + \frac{2}{x} \biggr) – \biggl( 1 + \frac{2}{x+1} \biggr) – \biggl( 1 + \frac{-2}{x-3} \biggr) + \biggl( 1 + \frac{-2}{x-4} \biggr)
\end{align*}

準備ができたので、計算します。符号ミスにはくれぐれも注意しましょう。

例題(2)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{x+2}{x} – \frac{x+3}{x+1} – \frac{x-5}{x-3} + \frac{x-6}{x-4} \\[ 10pt ]
= &\quad \vdots \\[ 10pt ]
= &\biggl( 1 + \frac{2}{x} \biggr) – \biggl( 1 + \frac{2}{x+1} \biggr) – \biggl( 1 + \frac{-2}{x-3} \biggr) + \biggl( 1 + \frac{-2}{x-4} \biggr) \\[ 10pt ]
= &\frac{2}{x} – \frac{2}{x+1} – \frac{-2}{x-3} + \frac{-2}{x-4} \\[ 10pt ]
= &2 \biggl( \frac{1}{x} – \frac{1}{x+1} – \frac{-1}{x-3} + \frac{-1}{x-4} \biggr) \\[ 10pt ]
= &2 \biggl( \frac{1}{x} – \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-3} – \frac{1}{x-4} \biggr)
\end{align*}

共通因数ができたら、くくり出しておきます。前2つの分数式と後ろ2つの分数式とを組合せて計算します。部分分数の公式を利用します。

例題(2)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{x+2}{x} – \frac{x+3}{x+1} – \frac{x-5}{x-3} + \frac{x-6}{x-4} \\[ 10pt ]
= &\quad \vdots \\[ 10pt ]
= &2 \biggl( \frac{1}{x} – \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-3} – \frac{1}{x-4} \biggr) \\[ 10pt ]
= &2 \biggl\{ \frac{1-0}{x(x+1)} + \frac{-4-(-3)}{(x-3)(x-4)} \biggr\} \\[ 10pt ]
= &2 \biggl\{ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{-1}{(x-3)(x-4)} \biggr\}
\end{align*}

分数式が2つ残っていますが、分母は2次式です。部分分数の公式ではなく、通分して1つの分数式にまとめます。分母の因数がともに等しくなるように通分します。

例題(2)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{x+2}{x} – \frac{x+3}{x+1} – \frac{x-5}{x-3} + \frac{x-6}{x-4} \\[ 10pt ]
= &\quad \vdots \\[ 10pt ]
= &2 \biggl\{ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{-1}{(x-3)(x-4)} \biggr\} \\[ 10pt ]
= &2 \biggl\{ \frac{1 \cdot (x-3)(x-4) -1 \cdot x(x+1)}{x(x+1)(x-3)(x-4)} \biggr\} \\[ 10pt ]
= &2 \biggl\{ \frac{x^{\scriptsize{2}}-7x+12 -x^{\scriptsize{2}}-x}{x(x+1)(x-3)(x-4)} \biggr\} \\[ 10pt ]
= &2 \cdot \frac{-8x+12}{x(x+1)(x-3)(x-4)} \\[ 10pt ]
= &2 \cdot \frac{-4(x+3)}{x(x+1)(x-3)(x-4)} \\[ 10pt ]
= &\frac{-8(x+3)}{x(x+1)(x-3)(x-4)} \\[ 10pt ]
= &- \frac{8(x+3)}{x(x+1)(x-3)(x-4)}
\end{align*}

丁寧に記述したので長くなりましたが、1つずつやるべきことをこなしていくと上記のような計算例となります。実際に自分で計算する場合、どのくらいの記述で済むのかを確かめるために、自分なりの答案を作成してみると良いでしょう。なお、答案を作成したら、必ず教科書や参考書などの模範解答と見比べましょう。

次は、分数式の加法や減法を実際に解いてみましょう。

スポンサーリンク
Amazon ノート・メモ帳ランキング
楽天市場 学習参考書ランキング
スポンサーリンク
スポンサーリンク
気になる教材があればコチラで探せます。
数学II
この記事が気に入ったら
いいね!しよう
最新情報をお届けします。
フォローする
ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
タイトルとURLをコピーしました