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2次関数|2次関数の最大値や最小値について

2次関数の最大値や最小値について 数学I

2次関数の最大値や最小値について学習しましょう。

最大値や最小値に関する問題は、関数を扱った問題の中でも頻出なので、しっかり理解しておきたいところです。

特に、今回は「2次関数のグラフの位置が定まらないとき」の考え方について確認します。どこに注目すれば良いのかを把握しましょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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2次関数の最大値や最小値を考える前に知っておきたいこと

関数の最大値や最小値は、変数 $y$ の値の最大値や最小値のことです。

これまで考えてきた2次関数では、変数 $x$ の値の取り得る範囲はすべての実数でした。この場合、2次関数の最大値や最小値は、頂点の $y$ 座標と等しくなります。しかし、そうでない場合もあります。

定義域と値域の関係

変数 $x$ は、すべての実数ではなく、特定の範囲の値だけを取りうる場合があります。このような変数 $x$ の値の取りうる範囲のことを「定義域」と言います。

変数 $x$ の定義域があると、変数 $y$ は変数 $x$ の関数なので、変数 $y$ は特定の範囲の値しか取らなくなります。このような$y$ の値の取り得る範囲のことを「値域」と言います。

2次関数の場合、そのグラフが放物線を描くので、値域はグラフなしで考えると間違う可能性が高くなる。注意しよう。

定義域や値域があると、2次関数の最大値や最小値は頂点の $y$ 座標と等しくならない場合があります。ですから、2次関数の最大値や最小値を考えるとき、変数 $x$ の定義域を考慮する必要があります。

$y$ の値域は、変数 $x$ の定義域によって決まる。まずは変数 $x$ の定義域の方を意識しよう。

2次関数の定義域と値域について

定義域や値域について復習しよう

定義域や値域に関する問題を解いてみましょう。

関数の定義域と値域に関する問題

与式は1次関数の式です。1次関数のグラフは右上がりまたは右下がりの直線なので、比較的簡単に作図できます。傾きが $-2$ であるので、右下がりのグラフになります。

また、定義域 $-1 \leqq x \leqq 3$ があるので、それに対応する値域があります。グラフも定義域と値域に応じた部分だけが存在するようになります。

右下がりのグラフで、定義域が $-1 \leqq x \leqq 3$ であることから、$x=-1$ のとき最大値をとり、$x=3$ のとき最小値をとることが分かります。

解答例は以下のようになります。なお解答例では、変数 $y$ の代わりに $f(x)$ を用いています。

一次関数の定義域と値域に関する問題の解答例

1次関数の値域を求める場合、計算だけで答えを求めてしまう人がいます。たしかに1次関数のグラフは直線になるので、作図なしでも値域を求めることができます。しかし、計算だけで値域を求めてしまうのは、2次関数などの関数を扱うときには良い解き方とは言えません。

2次関数などの関数では、2つの変数 $x \ , \ y$ の関係を考えるのにグラフなしだとかなり難しくなる。しっかりグラフを作図して値域を求める習慣を付けておきたい。

2次関数の最大値や最小値

2次関数の最大値や最小値を考えるとき、1次関数のように単純ではありません。定義域の有無で大きく変わってきます。グラフを描いて考えると、よくイメージできます。

定義域がない場合

2次関数のグラフは放物線と呼ばれるグラフになります。対称の軸をもつ左右対称なグラフになるので、非常に分かりやすく特徴的な形状です。このようなグラフを利用して、最大値や最小値をとる点を見つけられるようにしましょう。

2次関数のグラフの形状は、下に凸または上に凸の2パターンです。変数 $x$ の定義域がない場合、つまり変数 $x$ がすべての実数をとる場合、最大値や最小値は以下のようになります。

下に凸の場合
最大値:なし
最小値:頂点の $y$ 座標
上に凸の場合
最大値:頂点の $y$ 座標
最小値:なし

定義域なしでの2次関数の最大値や最小値

グラフの形状から最大値や最小値が決まる。定義域がなければ、頂点の $y$ 座標が最大値または最小値。最大値か最小値のどちらかだけをとることにも注意しよう。

定義域がある場合

定義域がある場合でも、グラフの特徴を利用して2次関数の最大値や最小値を考えます。定義域がある場合、それに対応する値域があります。グラフも定義域や値域に応じた部分だけになります。

定義域がある場合の最大値や最小値は、グラフの定義域に対する位置関係を決めてから考えます。このとき、グラフの定義域に対する位置は複数あるので、場合分けをして考えます。

グラフの位置は、軸の位置が分かれば決まります。ですから、場合分けのコツは軸と定義域との位置関係で決めます。

軸は変数 $x$ の値で表される直線。また定義域は変数 $x$ の値の取りうる値の範囲。ともに変数 $x$ の値で表されるので、大小関係を比較することで場合分けすることができる。

このように軸と定義域の位置関係を場合分けすることで、定義域内に残るグラフの形状が決めることができ、最大値や最小値を求めることができるようになります。

下に凸のグラフの場合の最小値

下に凸のグラフの場合を考えます。定義域がない場合の最大値や最小値は以下のようになりました。

定義域がない場合
最大値:なし
最小値:頂点の $y$ 座標

まずはイメージしやすい最小値から考えます。下に凸のグラフで最小値を考えるときのポイントは「頂点が定義域に含まれるか」です。

頂点の位置は軸の位置と連動しています。ですから、軸と定義域の位置関係で、頂点が定義域に含まれるかどうかを考えることができます。

頂点(=軸)と定義域の位置関係は3パターン

  • (軸が定義域の左側)=(軸の方程式 < 定義域の左端の値)
  • (軸が定義域内)=(定義域の左端の値 ≦ 軸の方程式 ≦ 定義域の右端の値)
  • (軸が定義域外の右側)=( 定義域の右端の値 < 軸の方程式)

軸と定義域の位置関係は3パターンあるので、それぞれの場合に分けてグラフを描いて最小値を考えます。に分けられます。場合分けは、軸と定義域の位置関係から得られる変数 $x$ の不等式で行います。

場合分けしたときのグラフは以下のようになります。

下に凸のグラフの最小値(定義域あり)

最小値を取る点は、定義域の左端・頂点・定義域の右端のいずれかにできる。

場合分けしてグラフを描くと、最小値を取る点が分かります。そして、その点の $x$ 座標と関数の式から $y$ 座標を求めれば、それが最小値となります。

下に凸のグラフの場合の最大値

次は下に凸のグラフで最大値を考えます。下に凸のグラフでは、定義域がない場合、最大値はありませんでした。

定義域がある場合、最大値をとる点は、グラフの形状から定義域の左端または右端にできます。

また、最大値を取る点が、ちょうど定義域の両端にできるのは、軸が定義域の真ん中にあるときです。この状態から少しでもグラフが左右にずれると、最大値をとる点が定義域の左端か右端のいずれかにできます。

グラフが定義域に対して左右対称に残るのは、軸が定義域の真ん中にあるとき。

このことから下に凸のグラフでの最大値は3パターンに場合分けできます。

頂点(=軸)と定義域の位置関係は3パターン

  • (軸が定義域の真ん中より左側)=(軸の方程式 < 定義域の真ん中の値)
  • (軸が定義域の真ん中にある)=(軸の方程式 = 定義域の真ん中の値)
  • (軸が定義域の真ん中より右側)=( 定義域の真ん中の値 < 軸の方程式)

なお、2パターンで場合分けするときもあります。

頂点(=軸)と定義域の位置関係は2パターン

  • (軸が定義域の真ん中より左側)=(軸の方程式 ≦ 定義域の真ん中の値)
  • (軸が定義域の真ん中より右側)=(定義域の左端の値 < 軸の方程式)

等号はどちらについても良い。

場合分けしたときのグラフは以下のようになります。

下に凸のグラフでの最大値(定義域あり)

最小値のときと同じように、軸と定義域の位置関係からグラフの位置を決めると、定義域内のグラフから最大値を取る点が分かります。そして、その点の $x$ 座標と関数の式から $y$ 座標を求めれば、それが最大値となります。

このように定義域がある場合の最大値や最小値は、「グラフが定義域内にどのように残るのか場合分けしないと分からない」ということです。

ただ、どのような2次関数の式になっていても、この3パターンで場合分けすればよいので、グラフをきちんと描き分ければ、最大値や最小値を求めることは難しくありません。

上に凸のグラフの場合の最大値や最小値

上に凸のグラフでは、定義域がない場合、最大値は頂点の $y$ 座標でした。つまり最大値は頂点で決まります。ですから、下に凸のグラフのときと逆の場合分けで最大値や最小値を求めます。

まずは下に凸のグラフで最大値や最小値を求めることができるようになろう。

最大値や最小値を求めるまでの流れをまとめると以下のようになります。

関数の最大値や最小値を求めるまでの流れ

軸の方程式が変わっても、定義域に文字が含まれていても、グラフの定義域に対する位置関係は決まっています。ですから、まずは場合分けしたときのグラフを描けるようになりましょう。作図ができれば、場合分けの条件式や、そのときの最大値と最小値を求めることは難しくありません。

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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう。

  • 定義域は、変数 $x$ の取りうる値の範囲のこと。
  • 値域は、変数 $y$ の取りうる値の範囲のこと。
  • 定義域がある場合の最大値や最小値は、3パターンに場合分けして考える。
  • まずは下に凸のグラフで最大値や最小値を求めることができるようになろう。
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