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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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2次関数|関数について

関数をはじめから学びなおす 中学数学

「数と式」の単元が終わると、次の単元は「2次関数」です。「数と式」の単元では中学から橋渡しをしつつ、よく使われる数式について重点的に学習しました。

「2次関数」の単元でも同じように、中学の橋渡し的な事柄から徐々にメインに移っていきます。2次関数という数式を扱う際には、「数と式」の単元で学習した事柄を利用します。消化不良だと式変形で躓いてしまうので、忘れない程度に復習しておきましょう。

また、「2次関数」の単元は高校数学ではとても大切な単元です。基本的に関数が絡むと、この2次関数に帰着させることが多くなります。ですから、2次関数についての知識はたくさん持っていた方が良いです。

そのような「2次関数」の単元ですが、まずは導入として中学で学習した関数を中心に学習しましょう。

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関数の式とグラフ

関数の定義

関数とは、2つの変数 $x \ , \ y$ について、$x$ の値を決めると、$y$ の値がただ1つに定まる関係にある数や、その関係を表した式のことです。また、$x$ の値を決めると、$y$ の値がただ1つに定まるとき、「 $y$ は $x$ の関数である」と言います。

変数として文字 $x \ , \ y$ を使うことが多いですが、特に決まっているわけではありません。とにかく2つの変数があり、一方の値が決まると、他方の値がただ1つに決まるとき、関数の関係にあります。

変数とは、未知の数や不定の数などを表す文字のこと。普段使っている文字 $x$ などは特定の値に定まらないので、変数と呼ぶこともある。また、物理では、速度 $v$ と時間 $t$ や、加速度 $a$ と時間 $t$ などが関数の関係。

なお、これ以降は2つの変数を $x \ , \ y$ の場合と考えて話を進めていきます。

2つの変数の関係を表すのが関数

関数であれば、2つの変数 $x \ , \ y$ の関係は式で表せます。関係を式で表せるので、ある変数 $x$ の値に対応する変数 $y$ の値を求めることができます。

また、「変数 $x$ の値が増加すると、変数 $y$ の値も増加する」というように、関数の式から変化の様子を調べることもできます。

このことから分かるのは、変数 $x \ , \ y$ の関係やその変化の様子は、すべて関数の式で決まるということです。

関数を扱うときは常に変数 $x \ , \ y$ の関係を表す式を意識しておこう。

このような関数について、中学では「比例」「反比例」「1次関数」「2乗に比例する関数」を学習します。

関数を可視化したのがグラフ

2つの変数 $x \ , \ y$ の値は、関数の式で求めることができます。しかし、変数 $x \ , \ y$ の値の変化を知るには、値だけでは分かりにくいので、グラフを利用します。

グラフによって可視化するにあたって、変数 $x$ の値と、それによって定まる変数 $y$ の値を1つの組として扱います。これが座標です。

対応する変数 $x \ , \ y$ の組が座標。関数では、対応する変数 $x \ , \ y$ の値をセットで扱おう。

対応する変数 $x \ , \ y$ の値である座標に対応する点を取ります。点は、$x$ 軸と $y$ 軸と名前の付いた数直線を直交させた座標平面の上に取ります。

関数の式から得られた座標を座標平面の上に取っていくと、グラフを描けます。グラフはたくさんの点が集まってできた直線や曲線です。

グラフは関数の式によって得られた変数 $x \ , \ y$ の値をもとにできている。

関数の式と座標との関係をまとめると以下のようになります。
関数の定義について

関数の式とグラフの概形

このようにして得られるグラフは、関数の式によってその概形が決まっています。関数の式とグラフの概形をセットで覚えておきましょう。

グラフの概形
比例・1次関数:直線のグラフ
反比例:双曲線のグラフ
2乗に比例する関数:曲線または放物線のグラフ
関数では、変数 $x \ , \ y$ の値についてだけなく、変数 $x \ , \ y$ の値の変化も考える。関数ではグラフを描いて考えることが大切。

関数の式と変数 $x \ , \ y$ の値との関係、そしてこれらとグラフとの関係をまとめると以下のようになります。
関数のグラフについて

比例の式とグラフ

変数 $x \ , \ y$ が、$y=ax$ という式で表される関係のとき、比例の関係にあると言います。文字 $a$ は変数ではなく定数で、比例定数と言います。

比例の関係では、変数 $y$ は変数 $x$ の一次式で表されます。また、変数 $x$ を含む項だけで定数項はありません。

比例の関係にあるとき、グラフの概形や特徴は以下のようになります。

比例のグラフの概形と特徴

  • 原点を通る直線
  • 比例定数 $a$ の正負で右上がりか右下がりかが決まる。
  • $a \gt 0$ のとき、右上がりの直線
  • $a \lt 0$ のとき、右下がりの直線

グラフの概形や特徴、そして変数 $x \ , \ y$ の値の変化の様子をまとめると以下のようになります。
比例の式とグラフ

反比例の式とグラフ

変数 $x \ , \ y$ が、$y=a/x$ という式で表される関係のとき、反比例の関係にあると言います。文字 $a$ は比例のときと同じように比例定数と言います。

反比例の関係では、変数 $y$ は変数 $x$ を分母にもつ分数で表されます。また、変数 $x$ が分母にあるので、$x=0$ のとき、 変数 $y$ の値は存在しません

反比例の関係にあるとき、グラフの概形や特徴は以下のようになります。

反比例のグラフの概形と特徴

  • $x=0$ のとき、 変数 $y$ の値が存在しない。
  • 双曲線と呼ばれる一対の曲線になる。
  • 双曲線の描き方は比例定数 $a$ の正負で2パターン(図参照)

反比例の関係では、変数 $x \ , \ y$ の値は、関数の式より $xy=a$ を満たす関係にあります。この関係を上手に使うと、点の座標を求めやすくなります。

グラフの概形や特徴、そして変数 $x \ , \ y$ の値の変化の様子をまとめると以下のようになります。
反比例の式とグラフ

次は1次関数や2乗に比例する関数についてです。

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数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

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