複素数と方程式|高次式の因数分解について

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数学2 複素数と方程式 剰余の定理と因数定理

今回は、高次式の因数分解について学習しましょう。ここで扱う整式は高次式です。ですから、展開や因数分解の公式をすぐには利用して因数分解することができません。

剰余の定理も関わるので、覚えていない人は確認しておきましょう。

高次式の因数分解

高次式とは、次数の高い整式のことです。高次式という場合、一般に、3次以上の次数をもつ整式のことを指します。

このような高次式を因数分解する問題では、そのほとんどで2次式や3次式の展開や因数分解で学習した公式が役に立ちません。ですから、別の手段を用いて因数分解します。

因数定理

前の単元で、剰余の定理という定理を学習しました。

剰余の定理
\begin{align*}
&\text{① 整式 $P(x)$ を1次式 $x-k$ で割ったときの余りは $P(k)$ [剰余の定理]} \\[ 5pt ]
&\text{② 整式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割ったときの余りは $P \biggl(-\frac{b}{a} \biggr)$}
\end{align*}

剰余の定理では、余りが出るのが基本ですが、実際には余りが0、つまり割り切れることもあるはずです。このような場合、整式は割る式と商との積の形で表すことができます。つまり、割る式である1次式は、整式の因数となります。

これが因数定理です。因数定理は、剰余の定理において、特に余りが0となるときの定理です。

因数定理
\begin{align*}
&\text{① 1次式 $x-k$ が整式 $P(x)$ の因数である。⇔ $P(k)=0$ [因数定理]} \\[ 5pt ]
&\text{② 1次式 $ax+b$ が整式 $P(x)$ の因数である。⇔ $P \biggl(-\frac{b}{a} \biggr)=0$}
\end{align*}

剰余の定理を利用して、整式を1次式で割ったときの余りを調べます。このとき、余りが0となれば、因数定理が成り立つので、整式は1次式を因数にもつことが分かります。因数となる1次式が分かれば、その1次式を割る式として整式を割れば、商、つまりその他の因数を知ることができます。

因数定理を扱った例題

次の例題を考えてみましょう。

例題1
\begin{align*}
&\text{次の整式は[ ]内の1次式を因数にもつことを示せ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad 2x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}-11x-6 \quad [ x-2 ] \\[ 7pt ]
&(2) \quad 6x^{\scriptsize{3}}-13x^{\scriptsize{2}}-14x-3 \quad [ 2x+1 ]
\end{align*}

例題1(1)の解答・解説

例題1(1)
\begin{align*}
&\text{次の整式は[ ]内の1次式を因数にもつことを示せ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad 2x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}-11x-6 \quad [ x-2 ]
\end{align*}

与式を1次式で割るので、剰余の定理を利用して余りを求めることができます。このときの余りが0となるかどうかを調べます。

例題1(1)の解答例
\begin{align*}
&\quad P(x)=2x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}-11x-6 \\[ 7pt ]
&\text{とおく。} \\[ 5pt ]
&\text{与式を $x-2$ で割ったときの余りは、剰余の定理より} \\[ 5pt ]
&\quad P(2)=2 \cdot 2^{\scriptsize{3}}+3 \cdot 2^{\scriptsize{2}}-11 \cdot 2-6 \\[ 7pt ]
&\text{整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad P(2)=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、因数定理より、与式は $x-2$ を因数にもつ。}
\end{align*}

与式に $x=2$ を代入して、式の値を求めます。この値が与式を $x-2$ で割ったときの余りです。式の値が0、つまり余りが0となったので、因数定理が成り立ちます。

例題1(2)の解答・解説

例題1(2)
\begin{align*}
&\text{次の整式は[ ]内の1次式を因数にもつことを示せ。} \\[ 5pt ]
&(2) \quad 6x^{\scriptsize{3}}-13x^{\scriptsize{2}}-14x-3 \quad [ 2x+1 ]
\end{align*}

例題1(1)と同じ要領で解きます。

例題1(2)の解答例
\begin{align*}
&\quad P(x)=6x^{\scriptsize{3}}-13x^{\scriptsize{2}}-14x-3 \\[ 7pt ]
&\text{とおく。} \\[ 5pt ]
&\text{与式を $2x+1$ で割ったときの余りは、剰余の定理より} \\[ 5pt ]
&\quad P\biggl(-\frac{1}{2} \biggr)=6 \cdot \biggl(-\frac{1}{2} \biggr)^{\scriptsize{3}}-13 \cdot \biggl(-\frac{1}{2} \biggr)^{\scriptsize{2}}-14 \cdot \biggl(-\frac{1}{2} \biggr)-3 \\[ 7pt ]
&\text{整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad P\biggl(-\frac{1}{2} \biggr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、因数定理より、与式は $2x+1$ を因数にもつ。}
\end{align*}

剰余の定理を利用すれば、整式の因数を知ることができます。これを突破口にして、高次式を因数分解します。

組立除法

整式の因数のうち1つでも分かれば、残りの因数を知ることができます。残りの因数を調べるとき、一般に、因数である1次式を割る式として割り算します。整式の割り算を行うわけですが、意外と計算ミスをしやすいので注意が必要です。

割る式が1次式のとき限定になりますが、筆算するよりも簡単に計算する方法があります。その計算方法が組立除法です。

組立除法は余りの有無によらず使えるので、割る式が1次式のときであれば積極的に利用しましょう。

割る式が1次式であれば組立除法。

組立除法の仕組み

組立除法は以下のような方法です。

組立除法
整式 $P(x)$ を 1次式 $x-k$ で割ったときの商 $Q(x)$ と余り $R$ を求める簡便法。

組立除法の仕組みは、恒等式の考えがもとになっています。以下の説明では、整式は3次式としますが、一般の整式であれば同様のことが成り立ちます。

組立除法の仕組み①
\begin{align*}
&\quad P(x)=ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d \\[ 7pt ]
&\text{を $x-k$ で割ったときの商を} \\[ 5pt ]
&\quad Q(x)=lx^{\scriptsize{2}}+mx+n \\[ 7pt ]
&\text{とし、余りを $R$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad P(x)=\bigl(x-k \bigr) Q(x)+R \\[ 7pt ]
&\text{と表せる。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、$l \ , \ m \ , \ n \ , \ R$ を恒等式を利用して表す。}
\end{align*}

商や余りを定義すれば、割り算の基本公式からもとの整式を表すことができます。さらにこの等式を利用すれば、商の係数や余りをもとの整式の係数で表すことができます。

組立除法の仕組み②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=\bigl(x-k \bigr)\bigl(lx^{\scriptsize{2}}+mx+n \bigr)+R \\[ 7pt ]
&\text{右辺を整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=lx^{\scriptsize{3}}+\bigl(-lk+m \bigr)x^{\scriptsize{2}}+\bigl(-mk+n \bigr)x+\bigl(-nk+R \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{両辺の係数を比較すると} \\[ 5pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
a=l \\
b=-lk+m \\
c=-mk+n \\
d=-nk+R
\end{array}
\right. \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
l=a \\
m=b+lk \\
n=c+mk \\
R=d+nk
\end{array}
\right.
\end{align*}

もとの整式の係数と、商の係数や余りとの間には上述のような関係があることが分かります。整式の係数は初めから分かっているので、得られた4つの式を用いれば、商において次数の高い項から順に係数を求めることができます。また、商の係数だけでなく、余りを求めることもできます。

このことを利用した計算形式が組立除法です。組立除法では、数の配置の仕方や数の書き込む順番が決まっています。

組立除法の仕組み

図示したような計算形式で商(厳密には商の係数)と余りを求めます。例題を用いて手順を確認しましょう。

組立除法を扱った例題

次の例題を考えてみましょう。

例題2
\begin{align*}
&\text{組立除法を用いて、商と余りを求めよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \bigl(x^{\scriptsize{3}}-10x+2 \bigr) \div \bigl( x+2 \bigr) \\[ 7pt ]
&(2) \quad \bigl(8x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}-7x+6 \bigr) \div \bigl( 4x-3 \bigr)
\end{align*}

例題2(1)の解答・解説

例題2(1)
\begin{align*}
&\text{組立除法を用いて、商と余りを求めよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \bigl(x^{\scriptsize{3}}-10x+2 \bigr) \div \bigl( x+2 \bigr)
\end{align*}

余りだけであれば、剰余の定理を利用して求めることができます。しかし、商を求める必要があるので、本来なら筆算で求めるのが基本的な解法です。

ここでは、割る式が1次式であることに注目して、組立除法を用いて商と余りを求めます。

組立除法を用いると、以下のようになります。割られる整式には2次の項がないので、その係数は0とします。

組立除法による整式の割り算(1)

組立除法の手順は以下の通りです。

例題2(1)の解答例
\begin{align*}
&\left\{
\begin{array}{l}
l=a \\
m=b+lk \\
n=c+mk \\
R=d+nk
\end{array}
\right. \\[ 7pt ]
&\text{上記の関係に合わせて計算していく。} \\[ 5pt ]
&\text{(1) まず、1行目に、割られる式 $x^{\scriptsize{3}}-10x+2$ の係数 $1 \ , \ 0 \ , \ -10 \ , \ 2$ と} \\[ 5pt ]
&\text{割る式 $x+2=x-(-2)$ の $-2$ を書く。$-2$ はL字で囲んでおく。} \\[ 5pt ]
&\text{(2) 最初の $1$ はそのまま下に下して $1$ と書く。(図①)} \\[ 5pt ]
&\text{(3) 次に $(-2) \times 1=-2$ を $0$ の下に書き、$0+(-2)=-2$ を下に書く。(図②,③)} \\[ 5pt ]
&\text{(4) さらに $(-2) \times (-2)=4$ を $-10$ の下に書き、$-10+4=-6$ を下に書く。(図④,⑤)} \\[ 5pt ]
&\text{(5) $(-2) \times (-6)=12$ を $2$ の下に書き、$2+12=14$ を下に書く。(図⑥,⑦,⑧)} \\[ 5pt ]
&\text{横線の下に並んだ数が、商の係数と余り。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、商 $x^{\scriptsize{2}}-2x-6$、余り$14$}
\end{align*}

整式が3次式なので、これを1次式で割ったときの商は2次式で、余りは定数です。

組立除法を利用できるのは、割る式が1次式のときだけです。それでも文字を使わずに数だけで計算できます。また、「掛けて足す」の繰り返しの計算で済みます。これまでの「掛けて引く」割り算とは異なるので注意が必要ですが、とても簡単な計算方法です。

組立除法では「掛けて足す」の繰り返し。これまでの「掛けて引く」割り算とは異なるので注意しよう。

例題2(2)の解答・解説

例題2(2)
\begin{align*}
&\text{組立除法を用いて、商と余りを求めよ。} \\[ 5pt ]
&(2) \quad \bigl(8x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}-7x+6 \bigr) \div \bigl( 4x-3 \bigr)
\end{align*}

割る式が1次式であることに注目して、組立除法を用いて商と余りを求めます。

例題2(1)と同じ要領で解きたいのですが、割る式の1次の項の係数に注意しましょう。組立除法を用いた割り算では、割る1次式の係数が1であることが条件です。

組立除法の注意点
\begin{align*}
&\text{与式を $4x-3$ で割ったときの商 $Q(x)$ と余り $R$ で表すと} \\[ 5pt ]
&\quad 8x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}-7x+6=\bigl( 4x-3 \bigr)Q(x)+R \\[ 7pt ]
&\text{組立除法では割る1次式の係数が1であるので} \\[ 5pt ]
&\quad 8x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}-7x+6=\biggl( x-\frac{3}{4} \biggr) \cdot \underline{4Q(x)}+R \\[ 7pt ]
&\text{つまり、組立除法で得られる商は $4Q(x)$ となる。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、組立除法の後に $4$ で割って、商 $Q(x)$ を求める。}
\end{align*}

商に注意して組立除法を用いると、以下のようになります。

組立除法による整式の割り算(2)

組立除法の手順は以下の通りです。

例題2(2)の解答例
\begin{align*}
&\text{(1) まず、1行目に、割られる式 $8x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}-7x+6$ の係数 $8 \ , \ -2 \ , \ -7 \ , \ 6$ と} \\[ 5pt ]
&\text{割る式 $4x-3=4 \biggl(x-\frac{3}{4} \biggr)$ の $\frac{3}{4}$ を書く。$\frac{3}{4}$ はL字で囲んでおく。} \\[ 5pt ]
&\text{(2) 最初の $8$ はそのまま下に下して $8$ と書く。(図①)} \\[ 5pt ]
&\text{(3) 次に $\frac{3}{4} \times 8=6$ を $-2$ の下に書き、$-2+6=4$ を下に書く。(図②,③)} \\[ 5pt ]
&\text{(4) さらに $\frac{3}{4} \times 4=3$ を $-7$ の下に書き、$-7+3=-4$ を下に書く。(図④,⑤)} \\[ 5pt ]
&\text{(5) $\frac{3}{4} \times (-4)=-3$ を $6$ の下に書き、$6+(-3)=3$ を下に書く。(図⑥,⑦,⑧)} \\[ 5pt ]
&\text{(6) 得られた商をさらに $4$ で割った $2 \ , \ 1 \ , \ -1$ が、本当に求めたい商の係数。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、商 $2x^{\scriptsize{2}}+x-1$、余り$3$}
\end{align*}

組立除法で得られた商だけを4で割ります(手順(6))。この手順を忘れたり、余りを割ったりしないように気を付けましょう。

割る1次式の係数が1でないときは要注意。

次は、高次式を因数分解するとき、剰余の定理や因数定理、そして組立除法がどのように関わるのかを確認しましょう。