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数と式|因数分解にはコツがある。因数分解の手順の見つけ方について

因数分解の手順の見つけ方 数学I

因数分解にはコツがあります。因数分解の手順の見つけ方を知っているかどうかで決まります。

手順の見つけ方を知っていれば、方針が決まります。

しっかりマスターして、自信を持って式を扱えるようになりましょう。

参考 数と式|整式の因数分解について

参考 数と式|整式の因数分解に関する問題を解いてみよう

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因数分解のために乗法公式を必ず覚えよう

因数分解でよく使われるものに乗法公式があります。乗法公式は展開のためだけではなく、因数分解のときにも利用します。

よく使われる式には、以下のような式があります。

よく使われる乗法公式
\begin{align*}
&1 \ \begin{cases} { a }^{ 2 }+2ab+{ b }^{ 2 }={ \left( a+b \right) }^{ 2 } \\[ 5pt ]
{ a }^{ 2 }-2ab+{ b }^{ 2 }={ \left( a-b \right) }^{ 2 } \end{cases} \\[ 5pt ]
&2 \quad { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } = {\left(a−b \right)}^{2} \\[ 5pt ]
&3 \quad { x }^{ 2 } +\left( a+b \right)x +ab= \left( x+a \right) \left( x+b \right) \\[ 5pt ]
&4 \quad ac{x}^{2} + \left( ad+bc \right)x +bd= \left( ax+b \right) \left( cx+d \right)
\end{align*}

これらの基本となる公式を利用できる形を作り出すことが、因数分解を進めていく上でのポイントになります。

自分が勝負できる土俵に持ち込むことが大切。型に嵌めるのが数学の問題を解くときのコツ。

因数分解のポイントは5つ

因数分解をするとき、押さえておくべきポイントが5つあります。

因数分解のポイント

  • 共通因数
  • 置き換え
  • 最低次数の文字
  • 平方の差
  • 因数分解の可能性の有無

以下、それぞれのポイントについて解説します。

因数分解のポイント1 共通因数

因数分解のポイントの1つ目は「共通因数でくくる」です。このポイントは、因数分解をするとき、最優先で確認したいポイントです。

すべての項に共通な因数があれば、最初にその因数を共通因数としてくくり出します

例1 共通因数 $3axy$ でくくる
\begin{align*}
&3{a}^{2}x{y}^{4}−6a{x}^{2}{y}^{3}+15{a}^{2}xy \\[ 5pt ]
= \ &3axy \left( a{y}^{3}−2x{y}^{2}+5a \right)
\end{align*}

例1のように共通因数がすぐに見つかれば良いですが、そうでないものもあります。

その場合、項の組み合わせを工夫して、自分で共通因数を作り出します。

例2 項の組み合わせを工夫する
\begin{align*}
&{\left( x+y \right)}^{2}+yz+xz \\[ 5pt ]
= \ &{\left( x+y \right)}^{2}+z \left( x+y \right) \quad \Leftarrow \text{自分で} \ (x+y) \ \text{を作った}
\end{align*}
入試レベルだと、例2のような問題が多くなる。与式を良く観察しよう。

因数分解のポイント2 置き換え

因数分解のポイントの2つ目は「同じ形をしたものには置き換えを利用する」です。

与式の中に同じ形をしたものが見られる場合があります。特に、同じ形をしたものが多項式であるとき、1つの文字に置き換えてみましょう。

例3 多項式を1つの文字に置き換える
\begin{align*}
&2{\left( x+1 \right)}^{2}−13 \left( x+1 \right) +15 \\[ 5pt ]
= \ &2{X}^{2}−13X+15 \quad \Leftarrow (x+1)=X \ \text{とおいた}
\end{align*}

多項式 $(x+1)$ を $X$ に置き換えたことで、与式がスッキリしました。

また、次数が高い場合、乗法公式を利用できないので、例4のように置き換えによって次数を落とすこともあります。

例4 単項式を1つの文字に置き換える
\begin{align*}
&2{x}^{4}−13{x}^{2}+15 \\[ 5pt ]
= \ &2{X}^{2}−13X+15 \quad \Leftarrow {x}^{2}=X \ \text{とおいた}
\end{align*}

例4では、置き換えによって4次式が2次式になりました。これなら乗法公式も使えそうです。

項の組み合わせを工夫して自分で作り出すときもあります。

例5 作り出したものを1つの文字に置き換える
\begin{align*}
&\left( x+1 \right) \left( x+2 \right) \left( x+3 \right) \left( x+4 \right)−8 \\[ 5pt ]
= \ &\{ \left( x+1 \right) \left( x+4 \right) \} \{ \left( x+2 \right) \left( x+3 \right) \}−8 \quad \Leftarrow \text{交換法則と結合法則を利用} \\[ 5pt ]
= \ &\{ \left( {x}^{2}+5x \right) +4 \} \{ \left( {x}^{2}+5x \right) +6 \}−8 \\[ 5pt ]
= \ & \left( X+4 \right) \left( X+6 \right)−8 \quad \Leftarrow {x}^{2}+5x=X \text{とおいた} \\[ 5pt ]
= \ &{X}^{2}+10X+16
\end{align*}
多項式を1つの文字に置き換えるやり方は、式の扱い方を大きく変えてくれるのでぜひマスターしておこう。

因数分解のポイント3 最低次数の文字

因数分解のポイントの3つ目は「2種類以上の文字を含む式では、最低次数の文字について整理する」です。

与式によっては2種類以上の文字を含むときがあります。このような式では、最低次数の文字に着目して、式を整理してみましょう。

例6 最低次数の文字について整理する
\begin{align*}
&4{b}^{2}+2ab−3a−9 \\[ 5pt ]
= \ &a \left( 2b−3 \right) + \left( 4{b}^{2}−9 \right) \quad \Leftarrow a \ \text{について整理} \\[ 5pt ]
= \ &a \left( 2b−3 \right) + \left( 2b+3 \right) \left( 2b−3 \right)
\end{align*}

例6の式では、$a$ は1次、$b$ は2次なので、次数の低い $a$ について与式を整理します。すると、共通因数の $(2b-3)$ を作ることができました。

2種類以上の文字があっても、最低次数が同じときがあります。そのようなときでも特定の文字について整理します。

例7 最低次数が同じときも特定の文字について整理する
\begin{align*}
&{x}^{2}−xy−2{y}^{2}−x−7y−6 \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2}+ \left( −y−1 \right)x− \left( 2{y}^{2}+7y+6 \right) \quad \Leftarrow x \ \text{について整理} \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2}+ \left( −y−1 \right)x− \left( y+2 \right) \left( 2y+3 \right) \\[ 5pt ]
= \ &\{ x+ \left( y+2 \right) \} \{ x− \left( 2y+3 \right) \}
\end{align*}

例7の式では $x \ , \ y$ はともに1次ですが、$x$ について与式を整理します。頻出のたすき掛け2セットの式です。

因数分解のポイント4 平方の差

因数分解のポイントの4つ目は「複2次式では、置き換えが上手くいかなければ、平方の差を作る」です。

参考 複2次式
\begin{equation*}
a{x}^{4}+b{x}^{2}+c
\end{equation*}

最高次数が4次である複2次式を因数分解するとき、まず考えられるのは ${x}^{2}=X$ の置き換えによって次数を落とすことです。

しかし、このやり方が上手くいかないときがあります。そんなときには、平方の差を作って因数分解してみましょう。

参考 平方の差になっている乗法公式
\begin{equation*}
{a}^{2}−{b}^{2}={\left( a−b \right)}^{2}
\end{equation*}

平方の差を利用するとき、4次の項と定数項に注目するのがコツです。4次の項と定数項が出てくるような、カッコの2乗の形を作ります。

例8 平方の差をつくる
\begin{align*}
&{x}^{4}+4{x}^{2}+16 \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{4}+8{x}^{2}+16−4{x}^{2} \quad \Leftarrow 4 \ \text{次の項と定数項に着目} \\[ 5pt ]
= \ &{\left( {x}^{2} +4 \right)}^{2}−{\left( 2x \right)}^{2}
\end{align*}
一見、次数を落とせば因数分解できそうだができない式。平方の差を利用する式では、係数がすべて正の数になっていることが多い。

因数分解のポイント5 因数分解の可能性の有無

因数分解のポイントの5つ目は「カッコの中の式について因数分解の可能性の有無を確認する」です。

5つ目は因数分解が終わったと思ったときの注意点のようなものです。ちょっと複雑な式の因数分解では、実は複数の因数分解があるにもかかわらず、最初の因数分解が終わったことで安心する人がいます。

例9 まだ因数分解できる式
\begin{align*}
&\vdots \\[ 5pt ]
= \ &\left( x−1 \right) \left( {x}^{2}+3x−4 \right)
\end{align*}

カッコの中の2次式 ${x}^{2}+3x−4$ は ${x}^{2}+3x−4=(x-1)(x+4)$ と因数分解できます。気付かずに終わってしまうと、正解にはなりません。

カッコの中の式の次数が2次以上であれば、これ以上因数分解できないか確認しよう。

また、係数が有理数の範囲で可能な限り因数分解する必要があります。式に分数が含まれる場合、正解は1つとは限りません。

例10 係数は有理数の範囲で因数分解する
\begin{align*}
&{x}^{2}−x+ \frac{1}{4} \\[ 5pt ]
= \ &{\left( x− \frac{1}{2} \right)}^{2}
\end{align*}

次の例11は、例10とどこが異なるのか比較してみましょう。

例11 係数は有理数の範囲で因数分解する
\begin{align*}
&{x}^{2}−x+ \frac{1}{4} \\[ 5pt ]
= \ &\frac{1}{4} \left( 4{x}^{2}−4x +1 \right) \quad \Leftarrow \frac{1}{4} \ \text{でくくってから因数分解} \\[ 5pt ]
= \ &\frac{1}{4} {\left( 2x−1 \right)}^{2}
\end{align*}

例10,11は同じ式を因数分解しています。しかし、結果は異なる形になりました。

それでも有理数の範囲で因数分解できているので、どちらも正解になります。このように複数の正解がある因数分解もあるので注意しましょう。

特に断りがない場合、係数が有理数となる範囲で可能な限り因数分解しよう。
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さいごにもう一度まとめ

  • まず共通因数を探そう。
  • 同じ多項式を見つけたら、1つの置き換えてみよう。
  • 同じ単項式を見つけたら、1つの置き換えて次数を落としてみよう。
  • 2種類以上の文字を含む式では、最低次数の文字について整理してみよう。
  • 複2次式で置き換えが上手くいかないとき、平方の差を作ってみよう。
  • 2次以上の式が残っているとき、これ以上因数分解できないかを確認しよう。
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