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式と証明|恒等式の係数決定(係数比較法)について

数学2 式と証明アイキャッチ03 数学II

今回は恒等式の係数決定について学習しましょう。恒等式は扱い自体はそれほど難しい式ではありません。ただ、方程式に似ているので、恒等式が方程式の一種だと勘違いしている人がいます。しかし、恒等式は、方程式とは全く意味が異なる式です。2つの違いを知り、使い分けできるようにしましょう。

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恒等式とは

恒等式とは、式に含まれている各文字にどのような値を代入しても、その両辺の式の値が存在する限り、つねに成り立つ等式のことです。等式がつねに成り立つとき、その等式をそれらの文字についての恒等式と言います。

文字にどのような値を代入しても等式が成り立つのは、左辺の式と右辺の式が全く同じときです。また、一方の式の係数が不明であっても、恒等式になるのであれば、係数が他方の式のものと同じでなければなりません。

恒等式の定義を踏まえて、以下の等式が恒等式かどうかを調べてみましょう。

恒等式かどうかを調べる
\begin{align*}
&\text{次の等式が恒等式であるかどうかを調べよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad (x-1)^{\scriptsize{2}} = x^{\scriptsize{2}}+1 \\[ 5pt ]
&(2) \quad (a+b)^{\scriptsize{2}}+(a-b)^{\scriptsize{2}} = 2(a^{\scriptsize{2}} + b^{\scriptsize{2}})
\end{align*}

例(1)の等式の左辺を展開して、右辺と比べてみましょう。

例(1)の解答例
\begin{align*}
&\text{与式の左辺を展開すると、} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(左辺)} \ = x^{\scriptsize{2}} -2x+1 \\[ 5pt ]
&\text{よって、右辺と一致しないので恒等式ではない。}
\end{align*}

例(1)の等式では、左辺と右辺が一致しないので、特定の値でしか等式は成り立ちません。ちなみに、x=0のときであれば、等式は成り立ちます。これは方程式の解になります。恒等式と方程式とは全く別物なので、混同しないように気を付けましょう。

文字にどんな値を代入しても等式が成り立つのが恒等式、文字に特定の値を代入すると等式が成り立つのが方程式。

例(2)の等式の左辺を展開して、右辺と比べてみましょう。

例(1)の解答例
\begin{align*}
&\text{与式の左辺を展開すると、} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(左辺)} \ = a^{\scriptsize{2}}+2ab+b^{\scriptsize{2}}+a^{\scriptsize{2}}-2ab+b^{\scriptsize{2}} = 2(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}) \\[ 5pt ]
&\text{よって、右辺と一致するので恒等式である。}
\end{align*}

例(2)の等式では、左辺と右辺が一致しました。ですから、abにどんな値を代入しても等式が成り立ちます。

恒等式では、等式を満たす文字の値を考えるのではありません。恒等式となるために、左辺や右辺の係数がどのようになれば良いかを考えます。

恒等式の性質

恒等式にはいくつか性質があります。その性質を利用して問題を解いていきます。2つの整式がxについての式であるときを考えます。

恒等式の性質その1
$P \ , \ Q$ が $x$ についての整式であるとき、
① $P=0$ が恒等式 ⇔ $P$ の各項の係数はすべて $0$ である。
② $P=Q$ が恒等式 ⇔ $P$ と $Q$ の次数は等しく、両辺の同じ次数の項の係数はそれぞれ等しい。

1つ目の性質では、右辺が0であるので、xにどんな値を代入しても等式が成り立つためには、係数がすべて0でなければなりません。

2つ目の性質では、左辺と右辺がxについての整式であるので、たとえば左辺が3次式であれば、右辺も3次式でなければなりません。また、次数だけでなく、同じ次数の項の係数はともに等しくなければなりません。

他にも性質があります。

恒等式の性質その2
$P \ , \ Q$ が $x$ についての $n$ 次以下の整式であるとき、等式 $P=Q$ が $(n+1)$ 個の異なる $x$ の値に対して成り立つならば、等式 $P=Q$ は $x$ についての恒等式である。

この性質は少し分かりづらいですが、恒等式と方程式の違いを理解していれば分かる性質です。

証明は省きますが、一般に「n次方程式の異なる解はn個以下である」ことが知られています。等式 P = Q、すなわち PQ = 0 は、恒等式か方程式のどちらかだと考えられます(厳密に言えば、定数=0のときもある)。

ここで、もし、等式 PQ = 0 が方程式であれば、n個の異なるxの値だけで成立するわけです。しかし、(n+1)個の異なるxの値で等式が成立したとすれば、等式は方程式ではないことが分かります。このことから、等式は、方程式ではなく、恒等式だと言えます。

2次式であれば、3個の値を代入し、3次式であれば、4個の値を代入して、等式が成り立つか調べよう。

未定係数法

恒等式の未知の係数のことを未定係数と言います。この未定係数を求めるには、恒等式の性質を利用します。求め方には2通りの方法があります。

未定係数法は2通り
【1】 係数比較法
【2】 数値代入法

係数比較法は、恒等式の性質その1を利用した方法です。この方法では、両辺の同じ次数の項の係数がそれぞれ等しいことを利用します。

また、数値代入法は、恒等式の性質その2を利用した方法です。この方法では、両辺に適当な数字をいくつか代入して、連立方程式などを解きます。こちらの方が直接的で、とっつきやすいですが、注意点があります。結局、特定の値しか代入していないので、必要条件が成り立つだけで、十分ではありません。ですから、逆の確認が必要になります。詳しくは別記事で解説します。

ここでは係数比較法を取り上げます。

係数比較法を利用して解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を定めよ。} \\[ 5pt ]
&\quad 3x^{\scriptsize{2}}-2x-1 = a(x+1)^{\scriptsize{2}}+b(x+1)+c
\end{align*}

例題の解答・解説

係数比較法を利用するためには、等式の右辺を展開して整理する必要があります。

例題の解答例
\begin{align*}
&\text{等式の右辺を $x$ について整理すると、} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(右辺)} \ = ax^{\scriptsize{2}} +(2a+b)x +a+b+c \\[ 5pt ]
&\text{であるので、} \\[ 5pt ]
&\quad 3x^{\scriptsize{2}}-2x-1 = ax^{\scriptsize{2}} +(2a+b)x +a+b+c
\end{align*}

展開して整理するとき、xについて降べきの順に並べましょう。

両辺にある同じ次数の項について、係数を比較します。同じ次数の項では、係数がともに等しくなるので、係数の関係を表す等式を導出することができます。

例題の解答例
\begin{align*}
&\text{両辺の同じ次数の項の係数を比較すると、} \\[ 5pt ]
&\quad \begin{cases} 3&=a \\ -2&=2a+b \\ -1&=a+b+c \end{cases} \\[ 5pt ]
&\text{この連立方程式を解くと、} \\[ 5pt ]
&\quad a=3 \ , \ b=-8 \ , \ c=4
\end{align*}

式が3つある連立方程式であっても、解き方は2つのときと変わりません。連立方程式の解き方の基本は、代入法や加減法を利用して、文字を1種類ずつ消去していくことです。

連立方程式の計算
\begin{align*}
&\quad \begin{cases} 3&=a &\quad \text{…①} \\ -2&=2a+b &\quad \text{…②} \\ -1&=a+b+c &\quad \text{…③} \end{cases} \\[ 5pt ]
&\text{①を②に代入して、} \\[ 5pt ]
&\quad -2=6+b \quad \text{よって} \ b=-8 \\[ 5pt ]
&\text{これと①を③に代入して、} \\[ 5pt ]
&\quad -1=3-8+c \quad \text{よって} \ c=4
\end{align*}

係数比較法を利用する場合、連立方程式を解くことがメインになります。未知の係数のぶんだけ式が必要で、それらを上手に使って係数を決定します。

次は、恒等式の係数比較法を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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