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式と証明|条件式のある恒等式について

数学2 式と証明アイキャッチ03 数学II

今回は条件式のある恒等式について学習しましょう。

恒等式と言えば、文字にどんな値を代入しても等式が成り立つ式のことです。それにもかかわらず、条件式があるというのはどういうことなのでしょうか。

少し奇妙な感じがするかもしれませんが、どのような意味なのかを例題や演習をこなしてしっかり理解しましょう。

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条件式のある恒等式

条件式のある恒等式を扱った問題には、たとえば以下のようなものがあります。

例題
$2x+y-3z=3 \ , \ 3x+2y-z=2$ を満たすすべての実数 $x \ , \ y \ , \ z$ に対して、$px^{\scriptsize{2}}+qy^{\scriptsize{2}}+rz^{\scriptsize{2}}=12$ が成立するような定数 $p \ , \ q \ , \ r$ を求めよ。

問題の文言「~を満たすすべての実数」から分かるように、実数の中でも条件式を満たすものだけが対象です。等式が成り立つのは、条件式を満たす値を代入したときだけです。限定されていますが、その範囲内においては、等式がつねに成り立つ恒等式となるということです。

与式だけで定数の値を考えてしまうと、条件式を全く無視しているので、すべての実数に対して考えることになります。そうならないためには、条件式を与式に反映させる必要があります。

例題を解いてみよう

それでは、実際に例題を解いてみましょう。

例題
$2x+y-3z=3 \ , \ 3x+2y-z=2$ を満たすすべての実数 $x \ , \ y \ , \ z$ に対して、$px^{\scriptsize{2}}+qy^{\scriptsize{2}}+rz^{\scriptsize{2}}=12$ が成立するような定数 $p \ , \ q \ , \ r$ を求めよ。

例題の解答・解説

条件式の関係を反映させるために、与式に条件式を代入します。反映させるにあたって、文字の種類ができるだけ少なくなるように代入します。

条件式を変形する
\begin{align*}
&\text{条件式について} \\[ 5pt ]
&\quad 2x+y-3z=3 \quad \text{…①} \\[ 5pt ]
&\quad 3x+2y-z=2 \quad \text{…②} \\[ 5pt ]
&\text{とする。} \\[ 5pt ]
&\text{①×2-②から} \\[ 5pt ]
&\quad x-5z=4 \quad \text{よって} \ x=5z+4 \\[ 5pt ]
&\text{②×2-①×3から} \\[ 5pt ]
&\quad y+7z=-5 \quad \text{よって} \ y=-7z-5
\end{align*}

xy を、z を用いて表しました。これらを与式に代入します。

条件式を与式に代入する
\begin{align*}
&\quad x=5z+4 \ , \ y=-7z-5 \\[ 10pt ]
&\text{これらを $px^{\scriptsize{2}}+qy^{\scriptsize{2}}+rz^{\scriptsize{2}}=12$ に代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad p \left( 5z+4 \right)^{\scriptsize{2}}+q \left( -7z-5 \right)^{\scriptsize{2}}+rz^{\scriptsize{2}}=12 \\[ 5pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad p \left( 25z^{\scriptsize{2}}+40z+16 \right)+q \left( 49z^{\scriptsize{2}}+70z+25 \right)+rz^{\scriptsize{2}}=12
\end{align*}

文字 z の1種類だけで与式を表すことができました。もちろん、この処理によって、条件式の関係が与式に反映されています。

文字の種類ができるだけ少なくなるように代入しよう。

この式の左辺を z について整理します。少し計算が複雑かもしれませんが、丁寧に変形しましょう。

左辺を z について整理する
\begin{align*}
&\quad p \left( 25z^{\scriptsize{2}}+40z+16 \right)+q \left( 49z^{\scriptsize{2}}+70z+25 \right)+rz^{\scriptsize{2}}=12 \\[ 10pt ]
&\text{左辺を $z$ について整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad \left( 25p+49q+r \right)z^{\scriptsize{2}}+10 \left( 4p+7q \right)z+ \left( 16p+25q \right) = 12
\end{align*}

この等式が z について恒等式となるためには、両辺の同じ次数の項の係数が等しくなる必要があります。係数を比較して、定数に関する式を導出します。

係数を比較する
\begin{align*}
&\quad \left( 25p+49q+r \right)z^{\scriptsize{2}}+10 \left( 4p+7q \right)z+ \left( 16p+25q \right) = 12 \\[ 10pt ]
&\text{この等式が $z$ についての恒等式となるのは、} \\[ 5pt ]
&\text{両辺の同じ次数の項の係数が等しいときであるから} \\[ 5pt ]
&\quad \begin{cases} 25p+49q+r&=0 &\quad \text{…③} \\ 4p+7q&=0 &\quad \text{…④} \\ 16p+25q&=12 &\quad \text{…⑤} \end{cases}
\end{align*}

少し複雑な連立方程式になりましたが、これを解いて定数の値を求めます。

連立方程式を解く
\begin{align*}
&\quad \begin{cases} 25p+49q+r&=0 &\quad \text{…③} \\ 4p+7q&=0 &\quad \text{…④} \\ 16p+25q&=12 &\quad \text{…⑤} \end{cases} \\[ 5pt ]
&\text{④×4-⑤から} \\[ 5pt ]
&\quad 3q=-12 \quad \text{よって} \ q=-4 \\[ 5pt ]
&\text{これらと④から} \\[ 5pt ]
&\quad p=7 \\[ 5pt ]
&\text{さらに③から} \\[ 5pt ]
&\quad 175-196+r=0 \quad \text{よって} \ r=21 \\[ 5pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad p=7 \ , \ q=-4 \ , \ r=21
\end{align*}

この連立方程式では、扱いやすそうな④,⑤式から手を付けています。加減法代入法を用いて文字を1つずつ減らしながら解いていきます。それほど難易度の高いわけではないので、慌てず丁寧に計算しましょう。

条件式の変形について

ここでは、文字が z の1種類になるように、条件式を変形しました。しかし、どの文字であっても同じ要領で解くことができます。

統一する文字の目安は、分数の係数が出ない式に変形できるかどうかです。

たとえば、x に統一する場合を考えてみましょう。このとき、x を用いて yz を表さなければなりません。

条件式を変形する
\begin{align*}
&\text{条件式について} \\[ 5pt ]
&\quad 2x+y-3z=3 \quad \text{…①} \\[ 5pt ]
&\quad 3x+2y-z=2 \quad \text{…②} \\[ 5pt ]
&\text{とする。} \\[ 5pt ]
&\text{①×2-②から} \\[ 5pt ]
&\quad x-5z=4 \quad \text{よって} \ z=\frac{1}{5}x-\frac{4}{5} \\[ 5pt ]
&\text{②×3-①から} \\[ 5pt ]
&\quad 7x+5y=3 \quad \text{よって} \ y=-\frac{7}{5}x+\frac{3}{5}
\end{align*}

x に統一する場合、係数が分数の式が得られます。これらを用いると、式の展開があるので、係数が分数となる項が増えてしまいます。かなり面倒な計算になりそうだと予想できます。

あとの計算のことを考えて、条件式を変形しよう。

次は、条件式のある恒等式を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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