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複素数と方程式|虚数解からの係数決定について

数学2 複素数と方程式 高次方程式数学II

今回は、虚数解からの係数決定について学習しましょう。前回、実数解からの係数決定を学習しましたが、それとの違いを意識しながら学習しましょう。

これまでは2次方程式が中心でしたが、ここでは、主に虚数解を用いて、3次方程式や4次方程式などの高次方程式の係数を決定します。

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方程式とその解との関係

方程式とその解との関係は、実数解と同じように、虚数解であっても成り立ちます。

方程式とその解との関係①
\begin{align*}
&\text{$x=\alpha$ が $f(x)=0$ の解であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad f(\alpha)=0
\end{align*}

当たり前ですが、解を方程式に代入すると、等式が成り立ちます。右辺が0なので、解を代入したとき、左辺も0となります。等式が成り立つのは、解を方程式に代入したときだけです。

実数解であれば、以下の事柄も成り立ちます。

方程式とその解との関係②
\begin{align*}
&\text{$x=\alpha$ が $f(x)=0$ の解であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad f(\alpha)=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\text{$f(x)$ は $x-\alpha$ を因数にもつ。}
\end{align*}

これは剰余の定理や因数定理を考えると理解できるでしょう。左辺に解を代入したとき、式の値が0となります。剰余の定理から、左辺を1次式 $x-\alpha$ で割った余りが0となるということです。そして、因数定理から、左辺は1次式 $x-\alpha$ を因数にもつことが分かります。

方程式とその解との関係まとめ
\begin{align*}
&\text{$x=\alpha$ が $f(x)=0$ の解} \\[ 5pt ]
\Longleftrightarrow \quad &f(\alpha)=0 \\[ 7pt ]
\Longleftrightarrow \quad &\text{$f(x)$ は $x-\alpha$ を因数にもつ。}
\end{align*}

方程式の解のうち実数解が分かれば、方程式とその解との関係(まとめ)を用いて、方程式の係数を決定することができます。しかし、虚数解が分かっている場合、以下の事柄を利用します。

複素数の相等
\begin{align*}
&\text{$A \ , \ B$ が 実数のとき} \\[ 5pt ]
&\quad A+Bi=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \quad \text{かつ} \quad B=0
\end{align*}

方程式に虚数解を代入すると、等式が成り立ちます。方程式の右辺は0なので、左辺を整理すれば上述のような関係を得ることができます。これによって、実部と虚部からそれぞれ係数についての方程式を2つ導くことができます。2つの方程式を連立すれば、係数を決定することができます。

解から係数を決定してみよう

解から係数を決定してみましょう。ここでは、主に虚数解を用います。

例題
\begin{align*}
&\text{3次方程式 $x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}+bx+10=0$ の1つの解が $x=2+i$ である。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、定数 $a \ , \ b$ の値と他の解を求めよ。}
\end{align*}

例題の解答・解説

3次方程式の係数を解を用いて決定します。虚数解が与えられているので、これを利用します。方程式に虚数解を代入して、左辺を整理します。

例題の解答例①
\begin{align*}
&\text{$x=2+i$ が方程式の解であるので} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( 2+i \bigr)^{\scriptsize{3}}+a\bigl( 2+i \bigr)^{\scriptsize{2}}+b\bigl( 2+i \bigr)+10=0 \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( 2+i \bigr)^{\scriptsize{3}}=2^{\scriptsize{3}}+3 \cdot 2^{\scriptsize{2}}i+3 \cdot 2i^{\scriptsize{2}}+i^{\scriptsize{3}}=2+11i \\[ 7pt ]
&\quad \bigl( 2+i \bigr)^{\scriptsize{2}}=2^{\scriptsize{2}}+2 \cdot 2i+i^{\scriptsize{2}}=3+4i \\[ 7pt ]
&\text{となるので} \\[ 5pt ]
&\quad 2+11i+a\bigl( 3+4i \bigr)+b\bigl( 2+i \bigr)+10=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを $i$ について整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad 3a+2b+12+\bigl( 4a+b+11 \bigr)i=0
\end{align*}

虚数解を代入して左辺を整理すると、複素数の相等を利用できる形になりました。因数の話にならないので注意しましょう。

虚数解を代入したら、複素数の相等へ。

複素数の相等から方程式を2つ導きます。そして、これらを連立して解きます。

例題の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad 3a+2b+12+\bigl( 4a+b+11 \bigr)i=0 \\[ 7pt ]
&\text{$3a+2b+12 \ , \ 4a+b+11$ は実数であるので} \\[ 5pt ]
&\quad 3a+2b+12=0 \ , \ 4a+b+11=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad a=-2 \ , \ b=-3 \\[ 7pt ]
&\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}-3x+10=0
\end{align*}

複素数の相等を利用する場合、実部と虚部が実数であることの断りを必ず記述しましょう。

複素数の相等は、実部と虚部が実数であるときに成り立つ。

係数が決定したので、方程式から残りの解を求めます。左辺の値が0となる文字 x の値を調べましょう。これが分かれば、因数定理を利用することができます。

例題の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}-3x+10=0 \\[ 7pt ]
&\text{方程式より} \\[ 5pt ]
&\quad f(x)=x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}-3x+10 \\[ 7pt ]
&\text{とすると} \\[ 5pt ]
&\quad f(-2)=\bigl(-2 \bigr)^{\scriptsize{3}}-2 \cdot \bigl(-2 \bigr)^{\scriptsize{2}}-3 \cdot \bigl(-2 \bigr)+10=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$f(x)$ は $x+2$ を因数にもつので} \\[ 5pt ]
&\quad f(x)=\bigl(x+2 \bigr)\bigl(x^{\scriptsize{2}}-4x+5 \bigr)
\end{align*}

因数の1次式が分かったので、組立除法を利用して方程式の左辺を因数分解します(ここでは省略)。まだ2次式が残っていますが、方程式は虚数解をもつことがすでに分かっています。ですから、これ以上、因数分解できません。

これ以降は、実数解のときと変わりません。方程式に戻した後、新たに方程式を導いて解を求めます。これが与式の解になります。

例題の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad f(x)=\bigl(x+2 \bigr)\bigl(x^{\scriptsize{2}}-4x+5 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl(x+2 \bigr)\bigl(x^{\scriptsize{2}}-4x+5 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{これより} \\[ 5pt ]
&\quad x+2=0 \quad \text{または} \quad x^{\scriptsize{2}}-4x+5=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad x=-2 \quad \text{または} \quad x=2 \pm i \\[ 7pt ]
&\text{したがって、他の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x=-2 \ , \ 2-i
\end{align*}

2次方程式の解については、共役な複素数も解にもつことを知っていれば、計算せずに他の解を求めることができます。しかし、念のために解の公式で検算した方が無難でしょう。

1次の項の係数が偶数であることに注目すると、応用版の解の公式を利用できます。慣れると暗算で解を求めることができるので、マスターしておくと便利です。

共役な複素数を利用する

実数を係数とする方程式が虚数解をもつとき、共役な複素数も解となります。このことを利用すると、上述の解答例とは異なる解法で例題を解くことができます。

例題の別解その1

別解その1
\begin{align*}
&\text{虚数解を $\alpha$ とし、共役な複素数を $\overline{\alpha}$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{$\alpha$ と $\overline{\alpha}$ が解であるので、方程式の左辺は} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl(x-\alpha \bigr)\bigl(x-\overline{\alpha} \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-\bigl(\alpha+\overline{\alpha} \bigr)x+\alpha \overline{\alpha} \\[ 7pt ]
&\text{で割り切れることを利用する。}
\end{align*}

これをもとに解いてみましょう。与えられた虚数解から共役な複素数と、それを因数にもつ2次式を導きます。

別解その1の記述例①
\begin{align*}
&\text{実数を係数とする3次方程式が虚数解 $2+i$ をもつので、} \\[ 5pt ]
&\text{共役な複素数 $2-i$ もこの方程式の解である。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、方程式の左辺 $x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}+bx+10$ は} \\[ 5pt ]
&\quad \Bigl\{ x-\bigl(2+i \bigr) \Bigr\}\Bigl\{ x-\bigl(2-i \bigr) \Bigr\} \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-4x+5 \\[ 7pt ]
&\text{で割り切れる。}
\end{align*}

この2次式で方程式の左辺を割り算します。1次式ではないので筆算します。

例題の割り算

係数に文字が含まれると、計算ミスが多くなります。項の間に余白を取ると計算ミスを減らせます。

別解その1の記述例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-4x+5 \\[ 7pt ]
&\text{で割り切れる。} \\[ 5pt ]
&\text{これで割り算した商は $x+(a+4)$ で、余りは} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl(4a+b+11 \bigr)x-5a-10 \\[ 7pt ]
&\text{となり、これが0に等しいので} \\[ 5pt ]
&\quad 4a+b+11=0 \quad \text{かつ} \quad -5a-10=0
\end{align*}

割り算のとき注意したいのは、係数が不明なので、割り切れずに余りが出てくることです。あくまでも形式的に出てくるだけで、実際には割り切れるはずです。このことから新たに方程式を導くことができます。これを解くと、方程式の係数を決定できます。

割り算の余りから係数についての方程式を導こう。

係数が決定できると、割り算した商も分かります。割る2次式と商は、ともに方程式の左辺の因数であるので、これを利用して因数分解します。因数分解は割り算の結果を上手に利用しましょう。

別解その1の記述例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad 4a+b+11=0 \quad \text{かつ} \quad -5a-10=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad a=-2 \ , \ b=-3 \\[ 7pt ]
&\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl(x^{\scriptsize{2}}-4x+5 \bigr)\bigl(x+2 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{これより} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-4x+5=0 \quad \text{または} \quad x+2=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad x=2 \pm i \quad \text{または} \quad x=-2 \\[ 7pt ]
&\text{したがって、他の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x=-2 \ , \ 2-i
\end{align*}

すでに気付いている人もいるかもしれませんが、一般に、実数を係数とする3次方程式は、少なくとも1つの実数解をもつことが知られています。

例題の別解その2

別解の2つ目です。

別解その2
\begin{align*}
&\text{3つ目の解を $k$ として、3次方程式の解と係数の関係を利用する。共役な複素数を $\overline{\alpha}$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{3次方程式 $ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=0$ の解を $\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{c}{a} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta \gamma=-\frac{d}{a} \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つ。}
\end{align*}

2つ目の解法では、3次方程式の解と係数の関係を用います。この関係はもう少し後で学習するので、ここでは解説しません。

次は、虚数解からの係数決定を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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