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数列の極限|無限大にも程度の違いがある

数学3 数列の極限 アイキャッチ 数学III

今回は数学3「数列の極限」の発散の程度について学習しましょう。数列の極限とは直接関係ありませんが、気分転換に読むと良いでしょう。

極限を取ったとき、無限大に発散する場合は色々あります。どれも発散するのは同じですが、はたして発散の程度も同じなのでしょうか。

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無限大に発散する例

n , n2 , n3 を例に考えてみましょう。

例1
\begin{align*}
&\quad n \to \infty \quad \text{…①} \\[ 5pt ]
&\text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad n^{\scriptsize{2}} \to \infty \quad \text{…②} \\[ 5pt ]
&\quad n^{\scriptsize{3}} \to \infty \quad \text{…③}
\end{align*}

①~③はどれも無限大に発散しています。しかし、発散の程度は同じではありません。これはグラフを見るとよく分かります。

発散の程度の違い

同じ x に対する y の値の移り変わりに違いがあります。累乗の指数が大きくなるにつれて、その値も飛躍的に大きくなります。

また、①~③のことを言葉で言うとすれば、以下のように、異なる言い回しになります。

$n$ と同じくらいの $\infty$ を1次の無限大
$n^{\scriptsize{2}}$ と同じくらいの $\infty$ を2次の無限大
$n^{\scriptsize{3}}$ と同じくらいの $\infty$ を3次の無限大

同じ無限大の記号∞を使っていますが、言葉にすれば無限大の程度が異なることが分かります。

無限大の程度の違いを知ろう

無限大の程度が違うことをもっと体感するために、次の極限を考えてみましょう。

例2
\begin{align*}
&\displaystyle \lim_{ n \to \infty } { \frac{n^{\scriptsize{3}}}{n^{\scriptsize{2}}} } \quad \text{…④} \\[ 10pt ]
&\displaystyle \lim_{ n \to \infty } { \frac{n^{\scriptsize{2}}}{n^{\scriptsize{3}}} } \quad \text{…⑤}
\end{align*}

④式の極限を求めます。

④式の極限
\begin{align*}
&\displaystyle \lim_{ n \to \infty } { \frac{n^{\scriptsize{3}}}{n^{\scriptsize{2}}} } \\[ 10pt ]
= &\displaystyle \lim_{ n \to \infty } n \\[ 10pt ]
= &\infty
\end{align*}

⑤式の極限を求めます。

⑤式の極限
\begin{align*}
&\displaystyle \lim_{ n \to \infty } { \frac{n^{\scriptsize{2}}}{n^{\scriptsize{3}}} } \\[ 10pt ]
= &\displaystyle \lim_{ n \to \infty } { \frac{1}{n} } \\[ 10pt ]
= &0
\end{align*}

④ , ⑤式はともに分母と分子が無限大に発散する不定形です。ただ、実際に極限をとると、一方は無限大に発散し、他方は0に収束しています。これは、無限大に程度の違いがあり、n3 の方が n2 よりも速く無限大になることを示しています。

$\frac{\infty}{\infty}$ や $\infty – \infty$ の形になるものを不定形という。

無限大の程度の違いを利用しよう

このように同じ無限大に発散するとしても、発散の程度に違いがあることを知っていると、極限値の予想や確認を簡単に行うこともできます。

発散の程度の違いを利用した例
\begin{align*}
&\quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } { \frac{n^{\scriptsize{2}}-n+2}{2n^{\scriptsize{2}}+3} } \quad \text{について} \\[ 10pt ]
&\text{分母、分子の1次の項と定数項を無視して} \\[ 10pt ]
&\quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } { \frac{n^{\scriptsize{2}}}{2n^{\scriptsize{2}}} } \\[ 10pt ]
&\text{と考えても、ともに同じ極限を得ることができる。}
\end{align*}

1次の項や定数項は、2次の項に比べて無限大の程度が小さいと考えています。その考えをもとに、分母や分子にある1次の項や定数項を無視して、極限を求めてみます。

不要な項を無視した極限
\begin{align*}
&\displaystyle \lim_{ n \to \infty } { \frac{n^{\scriptsize{2}}}{2n^{\scriptsize{2}}} } \\[ 10pt ]
= &\displaystyle \lim_{ n \to \infty } { \frac{1}{2} } \\[ 10pt ]
= &\frac{1}{2}
\end{align*}

実際に計算して極限を求めてみます。

実際に計算した極限
\begin{align*}
&\displaystyle \lim_{ n \to \infty } { \frac{n^{\scriptsize{2}}-n+2}{2n^{\scriptsize{2}}+3} } \\[ 10pt ]
= &\displaystyle \lim_{ n \to \infty } { \cfrac{1-\cfrac{1}{n}+\cfrac{2}{n^{\scriptsize{2}}} }{ 2+\cfrac{3}{n^{\scriptsize{2}}} } } \\[ 10pt ]
= &\frac{1}{2}
\end{align*}

不要な項を無視しても、実際の計算と同じ結果になります。なお、実際の計算において、$\frac{\infty}{\infty}$ のときに、分母と分子を分母の最高次の項で割るのは、無限大の程度の違いを考えているからです。

1次の項や定数項を無視するのは、乱暴な感じがするかもしれません。しかし、2次の項で割って極限を取れば、もとの1次の項や定数項は0に収束します。ですから、先に省略しても構わないことが分かります。1次の項や定数項を省略するのは、無限大の程度の違いを知っているからできることです。

さいごに

極限を調べる問題では、以上のように無限大の程度の違いを考えて、極限値の予想や答えの確かめに利用することができます。無限大の程度に違いがあれば、不要な項を省略することもできます。

ただし、乱暴に感じたのは当然で、このことを利用するのは限定的にしておきましょう。便利ではありますが、あくまでも予想や確認にとどめておくことです。間違っても答案として記述しないように気を付けましょう。

極限の予想や確認に便利ではあるが、あくまでも簡易的な予想や確認に利用する程度にしておこう。
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