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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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図形の性質|内心について

数学A 図形の性質 数学A

今回は内心について学習しましょう。内心も図形を扱った問題では外心と同じくらい頻出です。内心のもつ性質やそれに関わる公式などを使いこなせるようにしておきましょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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内心について

内心とは三角形に内接する円の中心のことです。三角形に内接する円のことを内接円と言います。円が三角形に内接するとき、内接円は三角形の3辺と1点で交わります

内心の定義

内心の作図の仕方を覚えておきましょう。三角形には3つの内角がありますが、内角の二等分線を描くと、交点ができます。この交点が内心になります。この交点を中心にして、三角形の辺に接するように円を描くと、三角形の内接円を描くことができます。

内心を作図してみるとその性質が分かってきます。内角の二等分線を引いたので、内心は三角形の辺から等しい距離にあります。

これは角の二等分線上の点が、角をつくる辺から等距離にあるという性質をもつからです。ですから、外心と接点の距離は内接円の半径に等しくなります。

内心は内角の二等分線の交点。また、内心と接点の距離は内接円の半径に等しい。

内心や内接円と関わりのある事柄

内心や内接円と関わりのある事柄は主に3つあります。内心や内接円を扱った問題のパターンと考えても良いかもしれません。

  • 内角の二等分線
  • 角の二等分線と比の関係
  • 内接円の半径と三角形の面積の関係

内角の二等分線

△ABCにおいて内心をIとします。内心Iは内角の二等分線の交点です。この内心Iによって、どんな関係が成り立つのかを確認しておきましょう。

内角の二等分線と内心の関係

△ABCの3辺は、内接円に接しているので、それぞれ内接円の接線になっています。たとえば、辺BA , BCは点P , Qで内接円に接しています。

△IBPと△IBQに注目します。線分IP , IQは、内心Iと辺BA , BCの間の距離ですが、ともに内接円の半径となります。

また、線分IP , IQは、円の中心と接点を結んだ線分であるので、接線である辺BA , BCに対して垂直です。ですから、△IBPと△IBQは直角三角形です。

その他にも共通の辺BIをもっていたり、内角の二等分線でできた鋭角∠IBP , ∠IBQが等しかったりします。以上のことから、△IBPと△IBQは合同な直角三角形になります。

同じように考えると、内角の二等分線によって、△ABCの内部には3組の合同な直角三角形ができることが分かります。

さらに、△IBPと△IBQが合同であることから、$BP = BQ$ が成り立ちます。このことから、円外の点Bから円に対して2本の接線をひいたとき、点Bと接点P , Qの距離は等しくなることが分かります。このことを利用した問題は頻出です。

内心があれば、三角形の内部には3組の合同な直角三角形ができる。円外の1点から円に対して2本の接線が引いてあれば、直角三角形を作ろう。

内角の二等分線

角の二等分線と比の関係

角の二等分線と比の関係は既に学習済みです。

図の△ABCにおいて $BA:BC = AD:DC$が成り立ちます。

角の二等分線と比の関係を表す図

内心では角の二等分線が関係するので、$BA:BC = AD:DC$ を利用する問題がよく出題されます。このとき、自分で点Dを作図する場合が多いのが特徴です。

作図のときに注意したいのは「点Dは接点に一致するとは限らない」ということです。

△ABDと△CBDは基本的に $BA \neq BC$ または $\angle {BAD} \neq \angle {BCD}$であるので、合同とならないことは明らかです。もし、$BA = BC$ または $\angle {BAD} = \angle {BCD}$ であれば、$\angle {BDA} = \angle {BDC} = 90^{\circ}$が成り立つので、点Dは接点に一致します。

二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺の垂直二等分線。△ABCが $BA=BC$ の二等辺三角形や正三角形であれば、点Dは接点に一致。

△ABDと△CBDが合同でなければ、点Dが接点に一致しないので注意しましょう。何の根拠もなく一致すると思い込んでいる人が意外と多いので、一度は自分で作図して確かめておきましょう。

角の二等分線と比の関係

内接円の半径と三角形の面積の関係

三角形に円が内接するとき、内接円の半径を利用して三角形の面積を表すことができます。このことは既に学習済みです。

三角形の面積を求めるとき、内接円が関わっていれば公式を優先的に使いましょう。

内接円の半径と三角形の面積の関係

公式の導出では、△ABCが内角の二等分線によって3つの三角形△IBC , △ICA , △IABに分割されたと考えるのがポイントでした。このとき、△ABCの面積は3つの三角形の和で表されます。

△ABCの面積を3辺の長さと内接円の半径で表す
$BC=a \ , \ CA=b \ , \ AB=c \ , \ IQ=IR=IP=r$ とする。
\begin{align*}
\triangle ABC &= \triangle IBC + \triangle IAC +\triangle IAB \\[ 5pt ]
&= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot IP + \frac{1}{2} \cdot CA \cdot IR +\frac{1}{2} \cdot AB \cdot IQ \\[ 5pt ]
&= \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br +\frac{1}{2}cr \\[ 5pt ]
&= \frac{1}{2} r \left( a+b+c \right) \\[ 5pt ]
\therefore \ \triangle ABC &= \frac{1}{2} r \left( a+b+c \right)
\end{align*}

△IBC , △ICA , △IABにおいて、高さがともに内接円の半径、底辺は△ABCの一辺です。今回はほとんど出番のない事項になりますが、よく出題されるのでしっかり使いこなせるようにしておきましょう。

内接円の半径と三角形の面積の関係

次は実際に問題を解いてみましょう。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

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