式と証明｜不等式の式変形でやってよいこと、やってはいけないことについて
今回は、不等式を変形するとき、やってよいこと、やってはいけないことについて学習しましょう。
等式と違って、不等式は基本的に大小関係のある式です。ですから、等式よりも注意して扱う必要があります。
特に、文字を含む不等式であれば、大小関係がわかりにくくなります。ですから、気付かないうちに誤った式変形をすることがあります。
式変形でやってよいこと、やってはいけないことをしっかり理解しておくことが大切です。
不等式の変形
不等式の変形については、数学１の単元ですでに学習しています。
例えば、１つの不等式について、以下のような式変形が可能です。
- 両辺にｃを加える、または両辺からｃを引く ⇒ 不等号の向きはそのまま
- 両辺にｃを掛ける、または両辺をｃで割る ⇒ ｃの符号によって不等号の向きが変わる
これらは不等式の基本的な性質です。これらを踏まえて式変形をするわけですが、両辺が文字を含む式になると正負が分かりにくくなるので、油断すると間違えてしまいます。
これから、不等式の式変形でやってよいこと、やってはいけないことをいくつか紹介します。
ここでの「やってよいこと」とは、式変形しても不等式が成り立つことで、条件によって結果が異なることがあっても規則性のあるものです。
また、「やってはいけないこと」とは、式変形によって不等号が成り立たなくなることで、規則性のないものです。想定している式変形は、以下の事柄です。
想定している式変形
- １つの不等式を式変形する場合
- 両辺の逆数をとる
- 両辺を平方する、両辺の平方根をとる
- ２つの不等式を式変形する場合
- 辺々を加える
- 辺々を掛ける
- 辺々を引く、辺々を割る
１つの不等式を式変形する場合
１つの不等式を式変形する場合です。この場合、両辺の逆数をとる変形や、両辺を平方する、両辺の平方根をとる変形をすることがあります。
両辺の逆数をとる
「両辺の逆数をとる」という変形は、等式でもよく用いられます。等式では何も問題ありませんが、不等式では気を付けましょう。不等式では、両辺の符号の組合せ（同符号か異符号か）によって結果が異なります。
まず、不等式の両辺が同符号のときです。
不等式の両辺が同符号のとき
$a \ , \ b$ が同符号のとき
\begin{align*} \quad a \gt b \ \Leftrightarrow \ \frac{1}{a} \lt \frac{1}{b} \end{align*}例）不等号の向きが変わる
\begin{align*} &\quad 10 \gt 7 \ \Leftrightarrow \ \frac{1}{10} \lt \frac{1}{7} \\[ 10pt ] &\quad -5 \gt -13 \ \Leftrightarrow \ -\frac{1}{5} \lt -\frac{1}{13} \end{align*}両辺が同符号のとき、逆数をとると絶対値の大小関係が逆転します。ですから、もとの大小関係とは逆になり、不等号の向きが変わります。
次に、不等式の両辺が異符号のときです。
不等式の両辺が異符号のとき
$a \ , \ b$ が異符号のとき
\begin{align*} &\quad a \gt b \\[ 10pt ] &\Leftrightarrow \ a \gt 0 \ , \ b \lt 0 \\[ 10pt ] &\Leftrightarrow \ \frac{1}{a} \gt 0 \ , \ \frac{1}{b} \lt 0 \\[ 10pt ] &\Leftrightarrow \ \frac{1}{a} \gt \frac{1}{b} \end{align*}例）不等号の向きは変わらない
\begin{align*} \quad 5 \gt -7 \ \Leftrightarrow \ \frac{1}{5} \gt -\frac{1}{7} \end{align*}両辺が異符号のとき、逆数をとっても正の数は正の数のままで、負の数は負の数のままです。もとから正負の違いがあるので、大小関係は変わらず、不等号の向きは変わりません。
両辺の逆数をとる：両辺が同符号か異符号かによって結果が異なる。条件「両辺が同符号か異符号か」を確認しよう。
不等式の式変形では、不等号の向きを間違うことが多いですが、例のように具体的な数を用いて考えると、些細なミスを事前に防ぐことができます。特に、負の数どうしだとよく間違えるので注意しましょう。
両辺を平方する、両辺の平方根をとる
「両辺を平方する、両辺の平方根をとる」という変形も、等式であれば問題ありませんが、不等式では注意する必要があります。
両辺を平方したり、両辺の平方根をとるには、平方するものがともに正であれば、不等号の向きはそのままで変わりません。
不等式の両辺を平方する、両辺の平方根をとる
$a \gt 0 \ , \ b \gt 0$ のとき
\begin{align*} \quad a \gt b \ \Leftrightarrow \ a^{2} \gt b^{2} \end{align*}例) 平方根の正負が不明
\begin{align*} \quad 5 \gt 3 \end{align*}ならば
\begin{align*} \quad 25 \gt 9 \end{align*}は成り立つが、$a \ , \ b$ の正負が不明のとき
$9$ の平方根が $\pm 3$，$25$ の平方根が $\pm 5$ より
\begin{align*} \quad a^{2} \gt b^{2} \ \Rightarrow \ a \gt b\end{align*}が成り立つとは一概に言えない。
なお、両辺の平方根をとるとき、平方根（平方するもの）の正負が分からなければ、不等号の向きが決まらないので注意しましょう。
また、平方するものが負であったり、両辺が異符号であったりすると、両辺を平方したとき不等号の向きは変わったり、変わらなかったりします。
平方根（平方するもの）の正負が不明のとき
例）不等号の向きに規則性がない
\begin{align*} \quad 5 \gt -3 \end{align*}ならば
\begin{align*} \quad 25 \gt 9 \end{align*}また
\begin{align*} \quad 3 \gt -5 \end{align*}ならば
\begin{align*} \quad 9 \lt 25 \end{align*}平方根をとるときも同様で、先ほどと同じように平方根（平方するもの）の正負が分からなければ、不等号の向きが決まりません。
両辺を平方する、両辺の平方根をとる：平方するものがともに正であれば、不等号はそのままで良い。条件「平方するものがともに正」を確認しよう。
２つの不等式を式変形する場合
辺々を加える
辺々を加えるとは、左辺どうし、右辺どうしを足し算することです。
２つの不等式について、辺々を加えるには不等号が同じ向きに揃っていることが条件です。この条件を守っていれば、辺々を加えても不等号の向きは変わりません。
辺々を加える
$a \gt b \ , \ c \gt d$ ならば
\begin{align*} \quad a+c \gt b+d \end{align*}例）不等号の向きが変わらない
\begin{align*} \quad 7 \gt 2 \ , \ 5 \gt 1 \end{align*}ならば
\begin{align*} \quad 7+5 \gt 2+1 \end{align*}すなわち
\begin{align*} \quad 12 \gt 3 \end{align*}また
\begin{align*} \quad -5 \gt -13 \ , \ 5 \gt 1 \end{align*}ならば
\begin{align*} \quad -5+5 \gt -13+1 \end{align*}すなわち
\begin{align*} \quad 0 \gt -12 \end{align*}両辺が同符号か異符号かにかかわらず、不等号の向きを揃えておけば、辺々を加えても構いません。
辺々を加える：不等号の向きを揃えて、辺々を加えて良い。不等号の向きが揃っていれば問題なし。
辺々を掛ける
２つの不等式について、辺々を掛けるには各辺がすべて正であることが条件です。この条件があれば、辺々を掛けても不等号の向きが変わりません。
辺々を掛ける
$a \gt b \ \underline{\gt 0} \ , \ c \gt d \ \underline{\gt 0}$ ならば
\begin{align*} \quad ac \gt bd \end{align*}例）不等号の向きが変わらない
\begin{align*} \quad 7 \gt 2 \ ( \gt 0) \ , \ 5 \gt 1 \ ( \gt 0) \end{align*}ならば
\begin{align*} \quad 7 \times 5 \gt 2 \times 1 \end{align*}すなわち
\begin{align*} \quad 35 \gt 2 \end{align*}例）条件に合わないと規則性がない
\begin{align*} \quad 5 \gt -7 \ , \ 2 \gt -3 \end{align*}ならば
\begin{align*} &\quad 5 \times 2 = 10 \\[ 7pt ] &\quad -7 \times (-3) =21 \end{align*}より
\begin{align*} \quad 10 \lt 21 \end{align*}各辺がすべて正でなければ、不等号の向きが変わったり、変わらなかったりします。つまり、その時々によって結果が異なり、規則性がありません。
辺々を掛ける：各辺がすべて正であれば、辺々を掛けて良い。条件「各辺がすべて正」を確認しよう。
辺々を引く、辺々を割る
２つの不等式について、辺々を引いたり、辺々を割ったりすると、ほとんどの場合で不等式が成り立ちません。ですから、これらの式変形はやってはいけません。
辺々を引く、辺々を割る
\begin{align*} \quad a \gt b \ , \ c \gt d \end{align*}という条件だけで
\begin{align*} &\quad a-c \gt b-d \\[ 7pt ] &\quad \frac{a}{c} \gt \frac{b}{d} \end{align*}といった式変形はやってはいけない。
例）
\begin{align*} \quad 7 \gt 2 \ , \ 5 \gt 0 \end{align*}のとき、辺々引くと
\begin{align*} &\quad 7-5=2 \\[ 7pt ] &\quad 2-0=2 \end{align*}となる。
また、辺々割ると
\begin{align*} &\quad \frac{7}{5} = 1.4 \\[ 7pt ] &\quad \frac{2}{0} \end{align*}となる。
いずれにしても不等式が成り立たないことがある。
両辺が同じ値になれば、不等式ではなく等式になってしまいます。
また、０で割る割り算はできません。仮に０でなかったとしても、不等号の向きがその時々で変わり、規則性がありません。
このように両辺に文字が含まれる場合、むやみに両辺を引いたり、辺々を割ったりしないようにしましょう。
辺々を引く、辺々を割る：各辺の大小関係が分かっていても、むやみに式変形しない。確実に成り立つ条件がない限り、やってはいけない。原則、式変形しない方針で。
さいごに
ここで挙げた不等式の式変形は、数学２や数学Ｂではよく用いるようになります。やって良いことと悪いことをしっかり認識して、正しく式変形を行いましょう。
1⃣ １つの不等式を式変形する場合
① 両辺の逆数をとる
条件「両辺が同符号か異符号か」によって不等号の向きが変わる。
② 両辺を平方する、両辺の平方根をとる
条件「平方するものがともに正」を満たせば、不等号の向きはそのままでよい。
2⃣ ２つの不等式を式変形する場合
③ 辺々を加える
不等号の向きを揃えれば、辺々加えてよい。不等号の向きはそのまま。
④ 辺々を掛ける
条件「各辺がすべて正」を満たせば、辺々掛けてよい。不等号の向きはそのまま。
⑤ 辺々を引く、辺々を割る
確実な条件がない限り、原則、やらない。
知っていることとそれを使えることは別物です。知識を持っていることは大切ですが、それを適切に運用できるレベルにしておかなければなりません。ぜひ、使いこなせるレベルまで仕上げましょう。
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