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数と式|一次不等式を扱った応用問題を解いてみよう その2(絶対値)

一次不等式の応用 絶対値を含む不等式 数学I

前回の「一次不等式を扱った応用問題を解いてみよう」のその2です。今回は絶対値を含む不等式です。

「数と式」の単元に出てくる絶対値の扱いに苦労する人が意外と多いです。最初の単元で躓いてしまうと、モチベーションがかなり下がってしまうのではないでしょうか。そんな状況にしないために躓くたびに戻って確認しましょう。

絶対値を含む不等式を復習しつつ、応用問題を解いてみましょう。

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絶対値を含む不等式の扱い方

絶対値を含む不等式では、基本的に以下のような手順で式を扱います。

  1. 絶対値の記号を外す。
  2. 一次不等式を解いて解を求める。

絶対値は、ある数に対応する点と原点との距離を表します。距離は、基準と比べて大きいや小さいなどと比較した相対的な値ではなく、比較対象を必要としない絶対的な値です。絶対値は、もともとは距離を表すものだったのが、派生して大きさとして全般的に使われることがよくあります。

絶対値を距離とイメージするのが難しいときは、絶対的な値で「大きさ=正の値」とイメージしよう。

このような定義や意味をもつ絶対値ですが、その記号を見かけたら、式に関わらず絶対値の記号を外しましょう絶対値の記号は数や式の値を距離(大きさ)として扱うことを示す記号なので、式変形では邪魔になるからです。

絶対値の記号を外してしまえば、ただの不等式にすぎません。とにかく絶対値の記号を見かけたらすぐに外してしまいましょう。

絶対値を扱った不等式(基本編)

絶対値の定義を利用する

絶対値を扱った不等式の中で最も基本的なものは、次のような2項からなる不等式です。絶対値の記号の付いていない項が定数となっています。

\begin{align*}
\left| x \right| \gt 5 \\[ 5pt ]
\left| x \right| \lt 5
\end{align*}

不等式の意味を絶対値の定義と合わせて考えてみましょう。

不等式 $\left| x \right| \gt 5$ =「文字 $x$ の絶対値が $5$ より大きい
不等式 $\left| x \right| \lt 5$ =「文字 $x$ の絶対値が $5$ より小さい

読み取った内容から、不等式の解は、原点からの距離である絶対値が $5$ よりも大きい文字 $x$ の値の範囲や、$5$ よりも小さい文字 $x$ の値の範囲であることが分かります。

このような絶対値を扱った基本的な不等式では、式を解くと言うよりも、絶対値の定義から式の意味を考えて解くと言った方が適切かもしれません。

絶対値を原点からの距離で考えるときは数直線で視覚化しよう。

絶対値の定義を利用するときは数直線を書く

絶対値の定義を考えるときは数直線を利用します。数直線を見て分かるように、不等式を満たす文字 $x$ には、原点を挟んで正の数と負の数の2つがあります。

絶対値の記号を外すとき、一般に、絶対値に挟まれた数が正の数か負の数かを場合分けします。しかし、数直線を利用すれば場合分けなしで済みます。

(正の数のとき)=(数直線では原点より正の向きのとき)
(負の数のとき)=(数直線では原点より負の向きのとき)
数直線では、正負両方を合わせて扱えるので場合分けしなくて済む。

数直線を利用すると、例の不等式の解はそれぞれ以下のようになります。

\begin{align*}
&\left| x \right| \gt 5 \\[ 5pt ]
\therefore \ &x \lt -5 \ , \ 5 \lt x \\[ 10pt ]
&\left| x \right| \lt 5 \\[ 5pt ]
\therefore \ &-5 \lt x \lt 5
\end{align*}

このように数直線を利用することで簡単に解を求めることができます。一般には次のように表せます。

絶対値を含む不等式の基本形とその解
$k \gt 0$ ( $k$ は定数)であるとき
$\left| x \right| \gt k$ の解は、$x \lt -k \ , \ k \lt x$
$\left| x \right| \lt k$ の解は、$-k \lt x \lt k$

絶対値を含む不等式の基本の形なので、すぐに解を求めることができるようにしておきましょう。
これまでをまとめると以下のようになります。
一次不等式の応用 絶対値を含む不等式(基本)

絶対値を扱った不等式(応用編)

次の不等式を解いてみましょう。絶対値を扱った不等式の中で応用的な部類に入ります。

\begin{equation*}\left| x \right| \lt -2x+3\end{equation*}

注目したいのは、左辺の項が定数項ではないことです。

絶対値の記号が付いていない項を見て、定数かどうかを確認しよう。

このような形では絶対値が特定の値より大きいのか小さいのか定まらないので、原点からの距離を考えることができません。この場合は場合分けをして絶対値の記号を外す必要があります。

絶対値の記号は2通りの場合分けで外します。

  • 絶対値の中の数が $0$ 以上のとき( $0$ または正の数のとき)
  • 絶対値の中の数が $0$ より小さいとき(負の数のとき)

場合分けに従って、絶対値の記号を外してみます。

$x \geqq 0$ のとき
\begin{align*}\left| x \right| &\lt -2x+3 \\[ 5pt ]
x &\lt -2x+3\end{align*}
$x \lt 0$ のとき
\begin{align*}\left| x \right| &\lt -2x+3 \\[ 5pt ]
-x &\lt -2x+3\end{align*}

絶対値の記号を外した後は、一次不等式を解いて解を求めます。これまでをまとめると以下のようになります。
一次不等式の応用 絶対値を含む不等式(応用)

絶対値を扱った不等式を解いてみよう

次の不等式を解いてみましょう。
一次不等式の応用 絶対値を含む不等式の演習問題

第1問の解答・解説

\begin{equation*}
1. \quad \left| x \right| \lt 3
\end{equation*}

第1問は、絶対値の記号が付いた項と定数項の2項からなる不等式です。基本的な形なので、数直線を利用すれば場合分けなしで絶対値の記号を外せ、しかも解を求めることができます。

数直線を利用して不等式の解を求めます。文字 $x$ の絶対値が $3$ より小さくなる範囲を求めれば良いことが分かります。そのような範囲は $3$ と $-3$ の間です。

\begin{align*}
&\left| x \right| \lt 3 \\[ 5pt ]
\therefore \ &-3 \lt x \lt 3
\end{align*}

解答例は以下のようになります。
絶対値を含む不等式の演習問題 第1問

第2問の解答・解説

\begin{equation*}
2. \quad \left| x \right| \gt 2
\end{equation*}

第2問も基本的な形です。数直線を利用して不等式の解を求めます。
文字 $x$ の絶対値が $2$ より大きくなる範囲を求めれば良いことが分かります。そのような範囲は $2$ より大きい範囲、または $-2$ より小さい範囲です。

\begin{align*}
&\left| x \right| \gt 2 \\[ 5pt ]
\therefore \ &x \lt -2 \ , \ 2 \lt x
\end{align*}

解答例は以下のようになります。
絶対値を含む不等式の演習問題 第2問

第1,2問は、絶対値を扱った不等式の中で最も基本的なもの。確実に解けるようにしておこう。

第3問の解答・解説

\begin{equation*}
3. \quad \left| x-2 \right| \geqq 3
\end{equation*}

第3問は等号つきの不等号になっていますが、第2問と似たような形の不等式です。ただ、絶対値の中が、単項式 $x$ から多項式 $x-2$ になっています。

しかし、少し工夫をすれば、第2問と同じ形にすることができます。多項式 $x-2$ をたとえば1つの文字 $X$ に置き換えます。

多項式を1つの文字(単項式)に置き換えることで、基本の形に書き換えることができる。

多項式 $x-2$ を1つの文字 $X$ に置き換え、文字 $X$ についての解を求めます。

\begin{align*}
&\left| x-2 \right| \geqq 3 \\[ 5pt ]
&\left| X \right| \geqq 3 \\[ 5pt ]
\therefore \ &X \leqq -3 \ , \ 3 \leqq X
\end{align*}

絶対値の記号を外し、不等式の解を求めましたが、第3問ではもう少し続きがあります。

文字 $X$ に置き換えたので、得られた解は文字 $X$ についての解です。ですから、もとの多項式 $x-2$ に戻して、文字 $x$ についての解を求める必要があります。

文字 $X$ に置き換えたのは基本の形で解くため。実際に求めたいのは文字 $x$ についての解。

もとの多項式 $x-2$ に戻した後は、文字 $x$ についての一次不等式を解いて解を求めます。これが求めたかった解になります。

解答例は以下のようになります。
絶対値を含む不等式の演習問題 第3問

第1問~第3問は絶対値を含む不等式でも基本的な問題なので、類題もパターンで解けるようにしておきましょう。他にも一次不等式の文章問題を紹介しているので、ぜひチャレンジしてみて下さい。

さいごに、もう一度まとめ

  • 絶対値の記号が付いていない残りの項に注目する。
  • 残りの項が定数項だけのとき、数直線を利用して不等式を解く。
  • 残りの項に文字を含む項があるとき、場合分けをして絶対値の記号を外し、不等式を解く。
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