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数と式|一次不等式を扱った応用問題を解いてみよう その3(道のり・速さ・時間)

数学1 数と式 位置不等式 アイキャッチ 数学I

今回は「一次不等式を扱った応用問題を解いてみよう」のその3です。ここでは、道のり・速さ・時間を題材にして、問題文の読み方や線分図の描き方などを紹介します。

道のり・速さ・時間を題材にした問題は、中学数学はもちろんですが、高校数学でも扱われます。ですから、確実に解けるようにしておきたい問題です。

この記事では不等式を扱いますが、立式までの大まかな流れは方程式とほとんど変わりません。ですから、中学数学の方程式の文章問題が苦手な人にも役立つ内容です。ぜひ一読してみて下さい。

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道のり・速さ・時間を題材にした一次不等式の問題

さっそく問題です。

問題
家から駅までの距離は $1.5km$ である。最初毎分 $60m$ で歩き、途中から毎分 $180m$ で走る。家を出発してから $12$ 分以内で駅に着くためには、最初に歩く距離を何m以内にすればよいか。

文章中から情報を読み取ろう

文章問題では、立式に必要な情報が必ず提示されています。数学の専門用語についての知識が必要なのは、大前提です。その大前提を踏まえて、情報を正しく読み取るためには、国語の読解力も必要です。

読解力がないと、何の話をしているのか分からなかったり、誤読したりするかもしれません。このようなことが起きるのは、国語の学力が足りないことが原因だろうと思います。ですから、国語、特に現代文の学習にきちんと取り組んだ方が良いでしょう。数学だけに限らず、どの科目でも起きうることなので、現代文の学習にはしっかり取り組んだ方が吉です。

苦手な科目があるのは、その科目だけでなく、他の科目も影響しているかもしれない。

文章の読み方にはコツがあって、これが読解力につながるわけです。数学の場合で言えば、立式することを意識して読むことです。そのためには、たとえば、以下の事柄に注目することが大切です。

問題を読むときに意識したいこと

  • 求める数量は何か。
  • どんな数量が与えられているか。
  • 立式するのは、方程式(等式)なのか不等式なのか。
  • 題材に関係する公式や定理はなかったか。

これらを意識しながら文章を読んでいけば、自ずとポイントになる数量や文言が目に入ってきます。

ただ眺めるように読めば良いというわけではない。どの科目、どの問題でも、目的を意識して読むことが大切。

道のり・速さ・時間を扱った文章問題の読み方

問題
家から駅までの距離は $1.5km$ である。最初毎分 $60m$ で歩き、途中から毎分 $180m$ で走る。家を出発してから $12$ 分以内で駅に着くためには、最初に歩く距離を何m以内にすればよいか。

1つ1つの文章が短いので、それほど混乱することはないでしょうが、押さえていく箇所を確認しましょう。

与えられた数量を整理しよう

文章問題に限りませんが、問題では色々な数量が情報として与えらます。ここでは、道のり・速さ・時間を題材にしているので、これらに関する数量が与えられているはずです。

文章を読みながら、与えられた数量を丸や四角で囲みましょう。下線を引くことが多いかもしれませんが、下線よりも目立つのでより効果的です。

文章問題の読み方

また、情報を整理していくとき、特に、求める数量と単位を絶対に確認しましょう。

求める数量は最後の文章を読めば分かることがほとんどです。最後に「最初に歩く距離を何m以内にすればよいか」とあるので、歩く距離を $x$ とおけば良いことが分かります。

また、単位は、速さを参考にして統一します。速さの単位は、毎分 $60m$ や毎分 $180m$ とあるので、道のりの単位はメートル、時間の単位は分です。速さの単位を変換するより、道のりや時間の単位を変換する方が楽なので、速さの単位を参考にして統一しましょう。

与えられた数量を整理します。文章問題が苦手な人については、少し手間が掛かりますが、以下のような表にまとめると良いでしょう。

道のり・速さ・時間の情報を整理
\begin{align*}
\begin{array}{c|c|c|c}
\hline
& \text{歩く} & \text{走る} & \text{計} \\
\hline
\text{道のり} & & & 1.5km=1500m \\
\hline
\text{速さ} & \text{毎分} \ 60m & \text{毎分} \ 180m & \text{-} \\
\hline
\text{時間} & & & \text{$12$ 分以内} \\
\hline
\end{array}
\end{align*}

数量が不明のものは、この時点では無理をして埋める必要はありません。なお、速さの合計は足し算では得られないので、合計の欄に斜線を引いておきましょう。

求めるものは歩く距離なので、歩く距離の欄に $xm$ を追記します。何を $x$ とおくかが決まれば、残りの数量も決まります。

道のり・速さ・時間の情報を整理
\begin{align*}
\begin{array}{c|c|c|c}
\hline
& \text{歩く} & \text{走る} & \text{計} \\
\hline
\text{道のり} & x & 1500-x & 1.5km=1500m \\
\hline
\text{速さ} & \text{毎分} \ 60m & \text{毎分} \ 180m & \text{-} \\
\hline
\text{時間} & \frac{x}{60} & \frac{1500-x}{180} & \text{$12$ 分以内} \\
\hline
\end{array}
\end{align*}

表にまとめてしまえば、このまま立式することができます。ただ、表よりも、線分図を描いてから立式する方が一般的です。物理基礎や物理では線分図を描くので、表よりも線分図に慣れておいた方が良いでしょう。

次は作図の手順を解説します。

道のり・速さ・時間を扱った文章問題の作図

問題を読みながら、与えられた数量を丸や四角で囲んだら、それらをもとに線分図を描きます。

ほとんどの文章問題では、読んだ順に数量を追記していけば、立式に必要な図が自然と完成します。

1番目の文章の作図

1番目の文章
家から駅までの距離は $1.5km$ である。

1番目の文章から、家から駅までの距離が分かります。適当な長さの線分を引きます。線分全体の長さが家から駅までの距離に相当します。線分全体を示すように $1.5km=1500m$ を追記します。

作図の手順①

追記する数量がどの範囲に対応するのかをはっきりさせましょう。また、数字だけでなく、単位も添えて追記しましょう。

マズい作図の一例を挙げておきます。

マズい作図の一例

マズい作図の場合、数量が書いてあっても、その数量が指し示す対象が曖昧です。この問題では、区間が複数あるので、特に注意しなければなりません。

また、単位のある数量であれば、単位を添えた方が誤用せずに済みます。作図は内容の理解を助けるためのものなので、曖昧だと混乱の元になります。

作図は理解を助けるためのもの。理解の助けにならない作図や、ミスを誘発するような作図は避けよう。

2番目の文章の作図

2番目の文章
最初毎分 $60m$ で歩き、途中から毎分 $180m$ で走る。

2番目の文章から、家と駅の間に歩く区間走る区間があることが分かります。適当に線分を分割して、歩く区間と走る区間における速さをそれぞれ追記します。

作図の手順②

3番目の文章前半の作図

3番目の文章前半
家を出発してから $12$ 分以内で駅に着くためには、

3番目の文章前半から、家を出発してから駅に着くまでの時間が分かります。線分全体を示すように $12$ 分以内を追記します。

作図の手順③

3番目の文章後半の作図

3番目の文章後半
最初に歩く距離を何m以内にすればよいか。

3番目の文章後半から、歩く距離が求める数量だと分かるので、$xm$ を歩く区間に追記します。

作図の手順④

残りの作図

このままでは、走る区間の距離、歩く時間、走る時間などの情報がありません。これらは問題では与えられていない情報です。ですから、自分で導出して埋めていかなければならない情報です。

歩く距離 $xm$ を用いて追記していきます。

残りの情報を導出する
\begin{align*}
&\text{最初に歩いた距離を $xm$ とすると、} \\[ 5pt ]
&\text{走った距離は} \\[ 5pt ]
&\quad (1500-x)m \\[ 5pt ]
&\text{毎分 $60m$ で $xm$ 歩くので、要する時間は} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{x}{60} \quad \text{(分)} \\[ 10pt ]
&\text{毎分 $180m$ で $(1500-x)m$ 走るので、要する時間は} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{1500-x}{180} \quad \text{(分)}
\end{align*}

残りの情報を追記すると以下のようになります。

作図の手順⑤

線分図を見て分かるように、上から順に、道のり、速さ、時間と並んでいます。好き勝手に数値を追記していくのではなく、規則性を持たせて追記しましょう。

作図の手順まとめ

線分図を描く場合、与えられた情報と自分で導く情報の区別、つまり情報の整理も一緒に進めていきます。

難しく感じる人がいるかもしれませんが、慣れるまでは、決まった手順で作図することを繰り返すことです。慣れないうちに好き勝手に作図すると、定着するのに時間が掛かります。自分なりに作図の手順を決めて、繰り返し訓練しましょう。

表や線分図から立式しよう

道のり・速さ・時間を扱った文章問題では、道のりか時間のどちらかについて立式します。速さで立式することはまずありません

問題では、家から出発して駅に着くために「12分以内で」という条件があるので、不等式で立式します。ちなみに「12分で」となっていれば、方程式で立式します。

歩く区間と走る区間の道のりや速さが異なるので、各区間ごとに要する時間を求めます。これらの時間の和が12分以内であれば良いわけです。これより、不等式は以下のようになります。

立式する
\begin{align*}
&\text{(歩いた時間) + (走った時間)} \ \leqq 12 \\[ 5pt ]
&\quad \frac{x}{60} + \frac{1500-x}{180} \leqq 12
\end{align*}

「以内」は、以上や以下と同じように、等号のときを含む言葉です。立式できれば、あとは一次不等式の計算問題です。

一次不等式を解こう

不等式は分数を含むので、両辺に180を掛けて分母を払います。移項は分母を払ってからにします。

分母を払ってから移項
\begin{align*}
\frac{x}{60} + \frac{1500-x}{180} &\leqq 12 \\[ 10pt ]
3x + 1500-x &\leqq 12 \cdot 180 \\[ 5pt ]
3x -x &\leqq 12 \cdot 180 -1500 \\[ 5pt ]
2x &\leqq 12 \cdot 180 -1500 \\[ 5pt ]
x &\leqq 6 \cdot 180 – 750 \\[ 5pt ]
x &\leqq 1080 – 750 \\[ 5pt ]
x &\leqq 330 \\[ 5pt ]
\end{align*}

12と180の掛け算をしても良いですが、筆算を避けるために、右辺の掛け算を左辺の整理よりも後回しにしました。その結果、両辺を2で割ることができ、左辺を暗算で整理できました。

なお、記述例は以下のようになります。

問題の記述例
\begin{align*}
&\text{最初に歩いた距離を $xm$ とすると、} \\[ 5pt ]
&\text{走った距離は $(1500-x)m$ である。} \\[ 5pt ]
&\text{毎分 $60m$ で $xm$ 歩くとき、要する時間は} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{x}{60} \quad \text{(分)} \\[ 10pt ]
&\text{毎分 $180m$ で $(1500-x)m$ 走るとき、要する時間は} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{1500-x}{180} \quad \text{(分)} \\[ 10pt ]
&\text{したがって、家を出発して $12$ 分以内で駅に着くためには} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{x}{60} + \frac{1500-x}{180} \leqq 12 \\[ 10pt ]
&\text{両辺に $180$ を掛けて} \\[ 5pt ]
&\quad 3x + 1500-x \leqq 2160 \\[ 5pt ]
&\text{整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad 2x \leqq 660 \quad \text{よって} \ x \leqq 330 \\[ 5pt ]
&\text{したがって、最初に歩く距離を $330m$ 以内にすればよい。}
\end{align*}

ここで扱った問題は、それほど複雑ではなかったので、立式するのは簡単だったと思います。ただ、複雑そうな問題でも、基本的な手順は何も変わりません。表現が難しかったり、公式や定理の予備知識が必要だったりするだけです。色々なものを題材にした文章問題があるので、コツが掴めたらチャレンジしてみましょう。

さいごに、もう一度まとめ

  • 求める数量を絶対に押さえよう。
  • 単位を統一しよう。
  • 与えられた数量を丸や四角で囲もう。
  • 方程式と不等式のどちらで立式するかを考えよう。
  • 線分図を描こう。
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数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

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