Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/room8810/hibikore-tanren.com/public_html/wp-content/plugins/wordpress-ping-optimizer/cbnet-ping-optimizer.php on line 533
頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
スポンサーリンク

式と証明|絶対値を含む不等式の証明について

数学2 式と証明アイキャッチ03 数学II

今回は絶対値を含む不等式の証明について学習しましょう。今回も不等式の証明の応用になります。

不等式の証明では、差をつくることが基本です。しかし、前回の根号や今回の絶対値などを含む式の場合、基本通りでは上手くいきません。工夫して証明する必要があります。

スポンサーリンク
スポンサーリンク

根号や絶対値を含む不等式の証明

不等式を証明する問題において、式が根号や絶対値を含むとき、単に差をつくっても大小を比較することができません。

差をつくっても計算が進まない
\begin{align*}
&\bigl( \left| a \right| + \left| b \right| \bigr) – \left| a+b \right| \\[ 10pt ]
&\bigl( \left| a \right| – \left| b \right| \bigr) – \left| a-b \right|
\end{align*}

根号や絶対値があると、差をつくることはできても、それ以上、計算することができないことが原因です。

根号や絶対値を含む式の大小比較

式に根号や絶対値が含まれる場合、式の大小比較では以下の性質を利用します。

正の数の大小と平方の大小
\begin{align*}
&A \geqq 0 \ , \ B \geqq 0 \quad \text{のとき} \\[ 10pt ]
&A \gt B \ \Leftrightarrow \ A^{\scriptsize{2}} \gt B^{\scriptsize{2}} \ \Leftrightarrow \ A^{\scriptsize{2}} – B^{\scriptsize{2}} \gt 0
\end{align*}

比較する2数が、ともに0以上であることが条件で、この条件は問題文に必ず明記されています。この条件がないと、利用できない性質なので注意しましょう。もし、左辺や右辺が0以上である(または正である)という条件が明記されていなければ、必ず自分で断りを入れましょう

絶対値と不等式

平方の差をつくることは、根号を含む不等式の証明でもすでに扱っています。絶対値を含む式では、これに加えて絶対値の性質についての知識も持ち合わせていなければなりません。

絶対値の性質
\begin{align*}
&\text{① $a \geqq 0$ のとき} \quad \left| a \right|=a \\[ 5pt ]
&\text{② $a \lt 0$ のとき} \quad \left| a \right|=-a \\[ 10pt ]
&\text{③} \ \left| a \right| = \left| -a \right| \\[ 5pt ]
&\text{④} \ \left| a \right| \geqq a \\[ 5pt ]
&\text{⑤} \ \left| a \right| \geqq -a \\[ 5pt ]
&\text{⑥} \ {\left| a \right|}^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
&\text{⑦} \ \left| ab \right| = \left| a \right| \left| b \right| \\[ 5pt ]
&\text{⑧} \ \text{$b \neq 0$ のとき} \quad \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{\left| a \right|}{\left| b \right|}
\end{align*}

これらの性質が成り立つことにピンとこない場合、整数などの具体的な数に置き換えてみるとよく分かるでしょう。ただ、不等式の証明では、数ではなく、文字式なので気付きにくいかもしれません。演習をこなしておいた方が良いでしょう。

例題を解いてみよう

例題から不等式の証明でのポイントを確認してみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{次の不等式を証明せよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad \left| a+b \right| \leqq \left| a \right| + \left| b \right| \\[ 10pt ]
&(2) \quad \left| a \right| – \left| b \right| \leqq \left| a-b \right|
\end{align*}

例題(1)の解答・解説

例題(1)
\begin{align*}
&\text{次の不等式を証明せよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad \left| a+b \right| \leqq \left| a \right| + \left| b \right|
\end{align*}

例題(1)は、絶対値を含む不等式の証明です。絶対値がついたまま差をつくっても、それ以上、計算を進めることができません。ですから、平方の差をつくります。

与式から左辺と右辺が等しくなるか、右辺の方が左辺よりも大きくなることが分かります。ですから、(右辺)2-(左辺)2≧0を導くことができれば、不等式を証明することができます。

平方の差をつくります。

平方の差をつくる
\begin{align*}
&\bigl(\text{右辺}\bigr)^{\scriptsize{2}}-\bigl(\text{左辺}\bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
= \ &\bigl( \left| a \right| + \left| b \right| \bigr)^{\scriptsize{2}}-{\left| a+b \right|}^{\scriptsize{2}}
\end{align*}

誰が見ても差が0以上であると言える形を導かなければなりません。平方して整理します。

平方の差を整理する
\begin{align*}
&\bigl(\text{右辺}\bigr)^{\scriptsize{2}}-\bigl(\text{左辺}\bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
= \ &\bigl( \left| a \right| + \left| b \right| \bigr)^{\scriptsize{2}} \underline{\underline{-{\left| a+b \right|}^{\scriptsize{2}}}} \\[ 10pt ]
= \ &{\left| a \right|}^{\scriptsize{2}} \underline{+2\left| a \right| \left| b \right|} + {\left| b \right|}^{\scriptsize{2}} \underline{\underline{- \bigl( a+b \bigr)^{\scriptsize{2}}}} \\[ 10pt ]
= \ &a^{\scriptsize{2}} \underline{+2\left| ab \right|} + b^{\scriptsize{2}} – \bigl( a^{\scriptsize{2}}+2ab+b^{\scriptsize{2}} \bigr) \\[ 10pt ]
= \ &2\left| ab \right| – 2ab \\[ 10pt ]
= \ &2\bigl( \left| ab \right| – ab \bigr)
\end{align*}

平方の差を整理するとき、絶対値の性質⑥,⑦を利用しています(2,3行目)。

絶対値の性質⑥,⑦
\begin{align*}
&\text{⑥} \ {\left| a \right|}^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}} \quad \text{より} \\[ 5pt ]
&\quad {\left| a+b \right|}^{\scriptsize{2}} = \bigl( a+b \bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
&\text{⑦} \ \left| ab \right| = \left| a \right| \left| b \right| \quad \text{より} \\[ 5pt ]
&\quad 2\left| a \right| \left| b \right| = 2\left| ab \right|
\end{align*}

平方の差を整理すると、平方完成できませんでしたが、大小比較が可能な形にはなりました。絶対値の性質④を利用して、平方の差が0以上であることを示します。

絶対値の性質を利用する
\begin{align*}
&\quad \bigl( \left| a \right| + \left| b \right| \bigr)^{\scriptsize{2}}-{\left| a+b \right|}^{\scriptsize{2}} = 2\bigl( \left| ab \right| – ab \bigr) \\[ 10pt ]
&\text{ここで、$\left| ab \right| \geqq ab$ であるので} \\[ 10pt ]
&\quad 2\bigl( \left| ab \right| – ab \bigr) \geqq 0 \\[ 10pt ]
&\text{より} \\[ 10pt ]
&\quad \bigl( \left| a \right| + \left| b \right| \bigr)^{\scriptsize{2}}-{\left| a+b \right|}^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 10pt ]
&\text{したがって} \\[ 10pt ]
&\quad {\left| a+b \right|}^{\scriptsize{2}} \leqq \bigl( \left| a \right| + \left| b \right| \bigr)^{\scriptsize{2}}
\end{align*}
絶対値の性質④
\begin{align*}
&\text{④} \ \left| a \right| \geqq a \quad \text{より} \\[ 5pt ]
&\quad \left| ab \right| \geqq ab
\end{align*}

これで、平方の差が0以上であること、すなわち左辺の平方と右辺の平方との大小関係を示すことができました。これを利用して、平方する前の左辺と右辺の大小関係を示します。

もとの左辺と右辺の大小関係を示す
\begin{align*}
&\quad {\left| a+b \right|}^{\scriptsize{2}} \leqq \bigl( \left| a \right| + \left| b \right| \bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
&\text{$\left| a+b \right| \geqq 0 \ , \ \left| a \right| + \left| b \right| \geqq 0$ であるので} \\[ 10pt ]
&\quad \left| a+b \right| \leqq \left| a \right| + \left| b \right|
\end{align*}

平方する前の左辺と右辺の大小関係を示すとき、断り(もとの左辺と右辺が0以上であること)を必ず記述しておきましょう。

例題(1)の別解例

平方の差をつくって証明するのが基本的な解法ですが、絶対値の性質を利用して証明することもできます。

絶対値の性質を利用して証明する(別解例)
\begin{align*}
&\text{$a \ , \ b$ について} \\[ 10pt ]
&\quad -\left| a \right| \leqq a \leqq \left| a \right| \ , \ -\left| b \right| \leqq b \leqq \left| b \right| \\[ 10pt ]
&\text{が成り立つ。} \\[ 10pt ]
&\text{これらを辺々加えると} \\[ 10pt ]
&\quad -\bigl( \left| a \right|+ \left| b \right| \bigr) \leqq a+b \leqq \left| a \right|+ \left| b \right| \\[ 10pt ]
&\text{$\left| a \right|+ \left| b \right| \geqq 0$ であるので} \\[ 10pt ]
&\quad \left| a+b \right| \leqq \left| a \right| + \left| b \right|
\end{align*}

特に、さいごの断り(6行目)以降では、以下の性質を利用しています。

絶対値の性質
\begin{align*}
&\text{⑨ $c \geqq 0$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad -c \leqq x \leqq c \ \Leftrightarrow \ \left| x \right| \leqq c \\[ 10pt ]
&\text{⑩ $c \geqq 0$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad x \leqq -c \ , \ c \leqq x \ \Leftrightarrow \ \left| x \right| \geqq c
\end{align*}

絶対値の性質⑨において、abx , |a|+|b|=c のときに相当します。慣れないと難しいですが、とても簡潔な答案になります。

なお、等号成立については指示されていないので、答案に記述する必要はありません。ここでは練習のために、求めておきます。

等号成立の条件を求める
\begin{align*}
&\text{また、等号が成立するのは} \\[ 10pt ]
&\quad 2\bigl( \left| ab \right| – ab \bigr) = 0 \\[ 10pt ]
&\text{より} \\[ 10pt ]
&\quad \left| ab \right| = ab \\[ 10pt ]
&\text{すなわち} \\[ 10pt ]
&\quad ab \geqq 0 \\[ 10pt ]
&\text{のときである。}
\end{align*}

等号成立の条件は、絶対値の性質①から得られます。

絶対値の性質①
\begin{align*}
&\text{① $a \geqq 0$ のとき} \quad \left| a \right|=a \quad \text{より} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$\left| ab \right| = ab$ が成り立つのは} \\[ 5pt ]
&\quad ab \geqq 0 \\[ 5pt ]
&\text{のとき}
\end{align*}

例題(2)の解答・解説

例題(2)
\begin{align*}
&\text{次の不等式を証明せよ。} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \left| a \right| – \left| b \right| \leqq \left| a-b \right|
\end{align*}

例題(2)も、絶対値を含む不等式なので、基本的な方針は例題(1)と変わりません。ただし、左辺に注意が必要です。

平方の差を利用するには、左辺と右辺がそれぞれ0以上であることが条件です。左辺の値は、a , b の値によっては負の値になる場合があります。

左辺はつねに0以上ではないことに注意
\begin{align*}
&\text{たとえば $a=3 \ , \ b=-5$ のとき、左辺の値は} \\[ 5pt ]
&\quad \left| 3 \right| – \left| -5 \right| = 3-5 = -2 \lt 0 \\[ 5pt ]
&\text{となり、つねに $0$ 以上とは言えない。}
\end{align*}

このような場合、そのままでは平方の差を利用することができません。ですから、場合分けします。

定理や公式は、条件が揃って成り立つものだと思っておこう。公式や定理を覚える際には、どのような条件で成り立つのかをセットで覚えよう。

左辺が負の値をとる場合があることが分かったので、場合分けして不等式を証明します。まず、左辺が負のときです。

左辺が負のとき
\begin{align*}
&\text{[1] $\quad \left| a \right| – \left| b \right| \lt 0$ すなわち $\left| a \right| \lt \left| b \right|$ のとき} \\[ 10pt ]
&\quad \bigl(\text{左辺}\bigr) \lt 0 \ , \ \bigl(\text{右辺}\bigr) \gt 0 \\[ 5pt ]
&\text{となるので、不等式は成り立つ。}
\end{align*}

次は、左辺が0以上のときです。こちらは例題(1)と同じ要領で解きます。平方の差をつくり、(右辺)2-(左辺)2>0を導きます。

左辺が0以上のとき
\begin{align*}
&\text{[2] $\quad \left| a \right| – \left| b \right| \geqq 0$ すなわち $\left| a \right| \geqq \left| b \right|$ のとき} \\[ 10pt ]
&\bigl(\text{右辺}\bigr)^{\scriptsize{2}}-\bigl(\text{左辺}\bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
= \ &{\left| a-b \right|}^{\scriptsize{2}}-\bigl( \left| a \right| – \left| b \right| \bigr)^{\scriptsize{2}}
\end{align*}

誰が見ても差が0より大きいと言える形を導かなければなりません。平方して整理します。

平方の差を整理する
\begin{align*}
&\bigl(\text{右辺}\bigr)^{\scriptsize{2}}-\bigl(\text{左辺}\bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
= \ &{\left| a-b \right|}^{\scriptsize{2}}-\bigl( \left| a \right| – \left| b \right| \bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
= \ &\bigl( a-b \bigr)^{\scriptsize{2}} – \bigl( {\left| a \right|}^{\scriptsize{2}} -2\left| a \right| \left| b \right| + {\left| b \right|}^{\scriptsize{2}} \bigr) \\[ 10pt ]
= \ &a^{\scriptsize{2}}-2ab+b^{\scriptsize{2}} – \bigl( a^{\scriptsize{2}} -2\left| ab \right| + b^{\scriptsize{2}} \bigr) \\[ 10pt ]
= \ &-2ab + 2\left| ab \right| \\[ 10pt ]
= \ &2\bigl( -ab + \left| ab \right| \bigr)
\end{align*}

平方の差を整理すると、平方完成できませんでしたが、大小比較が可能な形にはなりました。絶対値の性質を利用して、平方の差が0以上であることを示します。

絶対値の性質を利用する
\begin{align*}
&\quad {\left| a-b \right|}^{\scriptsize{2}}-\bigl( \left| a \right| – \left| b \right| \bigr)^{\scriptsize{2}} = 2\bigl( -ab + \left| ab \right| \bigr) \\[ 10pt ]
&\text{ここで、$\left| ab \right| \geqq ab$ であるので} \\[ 10pt ]
&\quad 2\bigl( -ab + \left| ab \right| \bigr) \geqq 0 \\[ 10pt ]
&\text{より} \\[ 10pt ]
&\quad {\left| a-b \right|}^{\scriptsize{2}}-\bigl( \left| a \right| – \left| b \right| \bigr)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 10pt ]
&\text{したがって} \\[ 10pt ]
&\quad \bigl( \left| a \right| – \left| b \right| \bigr)^{\scriptsize{2}} \leqq {\left| a-b \right|}^{\scriptsize{2}}
\end{align*}

これで、平方の差が0以上であること、すなわち左辺の平方と右辺の平方との大小関係を示すことができました。これを利用して、平方する前の左辺と右辺の大小関係を示します。

もとの左辺と右辺の大小関係を示す
\begin{align*}
&\quad \bigl( \left| a \right| – \left| b \right| \bigr)^{\scriptsize{2}} \leqq {\left| a-b \right|}^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
&\text{$\left| a \right| – \left| b \right| \geqq 0 \ , \ \left| a-b \right| \geqq 0$ であるので} \\[ 10pt ]
&\quad \left| a \right| – \left| b \right| \leqq \left| a-b \right|
\end{align*}

平方する前の左辺と右辺の大小関係を示すとき、断りを必ず記述しておきましょう。

例題(2)の別解例

例題(2)の不等式を変形すると、例題(1)と似た形の不等式のようになります。このことに注目すると、例題(1)の結果を利用して証明することができます。

例題(1)の結果を利用する
\begin{align*}
&\text{例題(1)より} \\[ 10pt ]
&\quad \left| a+b \right| \leqq \left| a \right| + \left| b \right| \\[ 10pt ]
&\text{が成り立つ。} \\[ 10pt ]
&\text{ここで、$a$ を $a-b$ に置き換えると} \\[ 10pt ]
&\quad \left| (a-b)+b \right| \leqq \left| a-b \right| + \left| b \right| \\[ 10pt ]
&\text{より} \\[ 10pt ]
&\quad \left| a \right| \leqq \left| a-b \right| + \left| b \right| \\[ 10pt ]
&\text{よって} \\[ 10pt ]
&\quad \left| a \right| – \left| b \right| \leqq \left| a-b \right|
\end{align*}

この別解は、すでに証明された不等式の結果を利用しています。なぜこんな置き換えが可能なのか疑問に思うかもしれません。この置き換えが可能なのは、絶対値の中にあるからです。

絶対値の中の式の値が正であろうと負であろうと、絶対値が付いている以上、正の値として扱わなければなりません。ですから、絶対値の中にある限り、置き換えても問題ありません。

なお、等号成立については指示されていないので、答案に記述する必要はありません。ここでは練習のために、求めておきます。

等号成立の条件を求める
\begin{align*}
&\text{また、等号が成立するのは} \\[ 10pt ]
&\quad 2\bigl( -ab +\left| ab \right| \bigr) = 0 \\[ 10pt ]
&\text{より} \\[ 10pt ]
&\quad \left| ab \right| = ab \\[ 10pt ]
&\text{すなわち} \\[ 10pt ]
&\quad ab \geqq 0 \\[ 10pt ]
&\text{のときである。}
\end{align*}

次は、絶対値を含む不等式の証明を扱った問題を実際に解いてみましょう。

スポンサーリンク
Amazon ノート・メモ帳ランキング
楽天市場 学習参考書ランキング
スポンサーリンク
スポンサーリンク
気になる教材があればコチラで探せます。
数学II
この記事が気に入ったら
いいね!しよう
最新情報をお届けします。
フォローする
スポンサーリンク
ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
kiri

このサイトでは、できるだけ図や表を使い、丁寧な過程を記述することを心掛けながら解説しています。このサイトの記事が、苦手意識や壁を取り除くきっかけになれば幸いです。

中学生の先取り学習や高校生の受験対策、社会人の学び直しなどに役立てて下さいませ。

フォローする
タイトルとURLをコピーしました