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式と証明|不等式の証明の拡張について

数学2 式と証明アイキャッチ03 数学II

今回は不等式の証明の拡張について学習しましょう。

ここでは、似た不等式がいくつか出てきます。この「似ている」というのがポイントです。

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不等式の証明の拡張

1つ目に扱う不等式の証明では、基本通りに扱えば証明することは容易です。ただし、2つ目に扱う不等式の証明になると、基本通りに扱うには難しくなります。

では、どうすれば良いかと言うと、2つの不等式が似ていることに注目します。2つの不等式が似ているのは、1つ目の不等式を拡張したものが2つ目の不等式だからです。このように似ていることに注目すると、2つ目の不等式が成り立つことを証明することができます。

不等式の証明の拡張を扱った例題を解いてみよう

次の例題を解いてみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{$\left| a \right| \lt 1 \ , \ \left| b \right| \lt 1 \ , \ \left| c \right| \lt 1$ のとき、} \\[ 10pt ]
&\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad ab+1 \gt a+b \\[ 10pt ]
&(2) \quad abc+2 \gt a+b+c
\end{align*}

例題(1)の解答・解説

例題(1)
\begin{align*}
&\text{$\left| a \right| \lt 1 \ , \ \left| b \right| \lt 1 \ , \ \left| c \right| \lt 1$ のとき、} \\[ 10pt ]
&\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad ab+1 \gt a+b
\end{align*}

例題(1)の不等式を証明しないと、例題(2)の不等式を証明するのが難しくなります。基本通り、左辺と右辺の差を作ります。与えられた条件を活用できるように、上手に変形します。

左辺と右辺の差を作る
\begin{align*}
&\qquad \bigl( ab+1 \bigr) – \bigl( a+b \bigr) \\[ 10pt ]
&\quad = ab+1- a-b \\[ 10pt ]
&\quad = a \bigl( b-1 \bigr)- \bigl( b-1 \bigr) \\[ 10pt ]
&\quad = \bigl( a-1 \bigr) \bigl( b-1 \bigr)
\end{align*}

この式変形は頻出です。毎回、式変形をするのは面倒なので覚えておくと良いでしょう。

覚えておきたい式変形
\begin{align*}
&ab- a-b+1 \\[ 10pt ]
= &\bigl( a-1 \bigr) \bigl( b-1 \bigr) \\[ 10pt ]
= &\bigl( 1-a \bigr) \bigl( 1-b \bigr)
\end{align*}
※与えられた条件に合わせて因数分解する

与えられた条件を利用して、式の値について吟味します。

式の値を吟味する
\begin{align*}
&\text{$\left| a \right| \lt 1 \ , \ \left| b \right| \lt 1$ より} \\[ 10pt ]
&\quad a -1 \lt 0 \\[ 10pt ]
&\quad b -1 \lt 0 \\[ 10pt ]
&\text{であるので} \\[ 10pt ]
&\quad \bigl( a-1 \bigr) \bigl( b-1 \bigr) \gt 0 \\[ 10pt ]
&\text{すなわち} \\[ 10pt ]
&\quad \bigl( ab+1 \bigr) – \bigl( a+b \bigr) \gt 0 \\[ 10pt ]
&\text{したがって} \\[ 10pt ]
&\quad ab+1 \gt a+b
\end{align*}

不等式が成り立つことを証明することができました。1つ目の不等式を証明するのは、基本を押さえておけばとても簡単です。

例題(2)の解答・解説

例題(2)
\begin{align*}
&\text{$\left| a \right| \lt 1 \ , \ \left| b \right| \lt 1 \ , \ \left| c \right| \lt 1$ のとき、} \\[ 10pt ]
&\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 10pt ]
&(2) \quad abc+2 \gt a+b+c
\end{align*}

例題(2)の不等式は、例題(1)の不等式によく似ています。2文字から3文字に拡張されたのが例題(2)の不等式です。このように拡張された不等式では、先に証明した結果を上手に利用して証明します。

結果を利用することは難しくありませんが、その後の不等式の扱いなどが難しいので、実際に解いて手順を押さえておきましょう。

2文字から3文字になってしまったので、何とか2文字の関係を当てはめられないかを考えます。ab を1文字として扱いますab の条件を導きます。

2文字に見立てる
\begin{align*}
&\text{$\left| a \right| \lt 1 \ , \ \left| b \right| \lt 1$ より} \\[ 10pt ]
&\quad \left| ab \right| \lt 1
\end{align*}

これで、abc について、例題(1)の結果を利用することができます。

例題(1)の結果を利用する
\begin{align*}
&\text{$\left| ab \right| \lt 1 \ , \ \left| c \right| \lt 1$ と(1)の結果から} \\[ 10pt ]
&\quad (ab)c +1 \gt ab + c \\[ 10pt ]
&\text{よって} \\[ 10pt ]
&\quad abc +1 \gt ab + c
\end{align*}

ab を1文字に見立てたことで、例題(1)の結果を利用することができました。しかし、両辺ともに例題(2)の不等式とは異なります。まず、左辺を与式の左辺に揃えます。

左辺を揃える
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 10pt ]
&\quad abc +1 \gt ab + c \\[ 10pt ]
&\text{両辺に $1$ を加えて} \\[ 10pt ]
&\quad abc +2 \gt ab + c+1 \quad \text{…①}
\end{align*}

ここで、①式の右辺に注目すると、例題(1)の左辺と共通の項が見られます。例題(1)の結果をさらに利用します。

差を作って式の大小を比較する(その1)
\begin{align*}
&\text{また、(1)の両辺に $c$ を加えて} \\[ 10pt ]
&\quad ab+1 + c \gt a+b + c \quad \text{…②}
\end{align*}

①式の右辺と②式の左辺が共通です。これより、①式と②式を1つの不等式にまとめることができます。

2つの不等式を1つにまとめる
\begin{align*}
&\text{①,②より} \\[ 10pt ]
&\quad abc +2 \gt ab + c+1 \gt a+b + c \\[ 10pt ]
&\text{であるので} \\[ 10pt ]
&\quad abc +2 \gt a+b + c
\end{align*}

最初の不等式の関係を、次の不等式の証明に利用しています。難しく感じるかもしれませんが、差を作る解法よりも簡潔な答案を作成することできます。

例題(2)の別解例

例題(2)の不等式を差を作って証明すると以下のようになります。まず、左辺と右辺の差をつくり、証明しやすい形に変形します。

左辺と右辺の差をつくる
\begin{align*}
&\qquad \bigl( abc+2 \bigr) – \bigl( a+b+c \bigr) \\[ 10pt ]
&\quad = abc-a +2 -b-c \\[ 10pt ]
&\quad = a \bigl( bc -1 \bigr)+2 -b-c \quad \text{…①}
\end{align*}

この式の値の正負を吟味すれば、不等式の証明が終わります。1番目の項に注目します。

1番目の項に注目する
\begin{align*}
&\text{$\left| b \right| \lt 1 \ , \ \left| c \right| \lt 1$ より} \\[ 10pt ]
&\quad \left| bc \right| \lt 1 \\[ 10pt ]
&\text{よって} \\[ 10pt ]
&\quad bc-1 \lt 0
\end{align*}

1番目の項について、カッコの中の符号は定まることが分かりました。しかし、a の符号が定まらないので、項全体の符号が定まりません。ここをどう扱うかが別解例のポイントになります。

条件を利用して、1番目の項を導きます。

条件を利用する
\begin{align*}
&\text{ここで、$\left| a \right| \lt 1$ であるので} \\[ 10pt ]
&\quad a \lt 1 \\[ 10pt ]
&\text{この両辺に $bc-1 \ (\lt 0)$ を掛けると} \\[ 10pt ]
&\quad a \bigl( bc -1 \bigr) \gt 1 \cdot \bigl( bc -1 \bigr) \\[ 10pt ]
&\text{よって} \\[ 10pt ]
&\quad a \bigl( bc -1 \bigr) \gt bc -1 \quad \text{…②}
\end{align*}

a の条件を用いて、新たな不等式②を導きました。言われれば分かりますが、この不等式を導くのは、別解例の中で最も難しいかもしれません。また、両辺に負の式を掛けるので、符号の向きに注意しましょう。

符号を知りたい①式になるように、②式を変形します。

②式の変形
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 10pt ]
&\quad a \bigl( bc -1 \bigr) \gt bc -1 \quad \text{…②} \\[ 10pt ]
&\text{②の両辺に $2-b-c$ を加えて} \\[ 10pt ]
&\quad a \bigl( bc -1 \bigr)+2-b-c \gt bc -1+2-b-c \\[ 10pt ]
&\text{右辺を整理すると} \\[ 10pt ]
&\quad a \bigl( bc -1 \bigr)+2-b-c \gt bc-b-c+1 \\[ 10pt ]
&\quad a \bigl( bc -1 \bigr)+2-b-c \gt -b\bigl( 1-c \bigr)+\bigl(1-c \bigr) \\[ 10pt ]
&\quad a \bigl( bc -1 \bigr)+2-b-c \gt \bigl(1-b \bigr) \bigl( 1-c \bigr) \quad \text{…③}
\end{align*}

③式の右辺の符号が定まることを利用して、右辺の符号を吟味します。

②式の右辺の符号を吟味
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 10pt ]
&\quad a \bigl( bc -1 \bigr)+2-b-c \gt \bigl(1-b \bigr) \bigl( 1-c \bigr) \quad \text{…③} \\[ 10pt ]
&\text{$\left| b \right| \lt 1 \ , \ \left| c \right| \lt 1$ より} \\[ 10pt ]
&\quad 1-b \gt 0 \ , \ 1-c \gt 0 \\[ 10pt ]
&\text{であるので} \\[ 10pt ]
&\quad \bigl(1-b \bigr) \bigl( 1-c \bigr) \gt 0 \\[ 10pt ]
&\text{よって} \\[ 10pt ]
&\quad a \bigl( bc -1 \bigr)+2-b-c \gt \bigl(1-b \bigr) \bigl( 1-c \bigr) \gt 0
\end{align*}

③式の右辺は0よりも大きいことが分かりました。この結果、右辺よりも大きい左辺も0より大きくなることが分かります。

③式の左辺の符号の吟味
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 10pt ]
&\quad a \bigl( bc -1 \bigr)+2-b-c \gt \bigl(1-b \bigr) \bigl( 1-c \bigr) \gt 0 \\[ 10pt ]
&\text{より} \\[ 10pt ]
&\quad a \bigl( bc -1 \bigr)+2-b-c \gt 0 \\[ 10pt ]
&\text{すなわち} \\[ 10pt ]
&\quad \bigl( abc+2 \bigr) – \bigl( a+b+c \bigr) \gt 0 \\[ 10pt ]
&\text{したがって} \\[ 10pt ]
&\quad abc+2 \gt a+b+c
\end{align*}

差を作って証明する場合、1番目の項をどのように扱うかが問題になります。上手に処理できないと式の値の吟味ができません。

等式の証明よりも不等式の証明の方が難しく感じるのは、自分で新たな条件となる不等式を導く必要があるからです。ここは技術的な問題なので、演習をしっかりこなしてマスターしておきましょう。

次は、不等式の証明の拡張を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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